四川省眉山市彭山区第一中学2025~2026学年高三上学期入学考试数学试卷（含解析）

这是一份四川省眉山市彭山区第一中学2025~2026学年高三上学期入学考试数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式化简集合A，再利用并集的定义求解.
【详解】，
所以.
故选：B
2. 已知复数，表示z的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求出，再利用共轭复数及复数模的意义求解即得.
【详解】，因此，
所以.
故选：C
3. 设向量，，且，则实数（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求解.
【详解】因为向量，，
所以，
因为，所以，
所以，解得，
故选:B.
4 已知，，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由同角的三角函数结合两角和的余弦展开式解方程得到，，再由两角差的余弦展开式计算即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，，
所以
故选：
5. 《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长（单位：cm）成等差数列，对应的宽为（单位：），且长与宽之比都相等，已知，，则（ ）
A. 64B. 100C. 128D. 132
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列性质计算可得，再由长与宽之比都相等可得结果.
【详解】由题意可得，
由长与宽之比都相等可得，即，
可得.
故选：C
6. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设，利用双曲线定义，可得x−y=2a=4，又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积.
【详解】
如图，由可知，，
由对称性，不妨设点在第一象限，
设，由定义，
，
，
的面积为.
故选：B
7. 若､是两个不重合的平面：①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；②设､相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；③若外一条直线与内的一条直线平行，则．以上说法中成立的有（ ）个
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】①：根据线面平行和面面平行的判定方法即可判断；②：根据线面垂直和面面垂直的判定放假即可判断；③：根据线面平行判定方法即可判断．
【详解】对①，平面内有两条相交直线分别平行于面内两条直线，可得这两条相交直线均平行于面，由平面与平面平行的判定定理可知①正确；
对②，设､相交于直线，若内有一条直线垂直于，则这条直线不一定垂直于β，故根据平面与平面垂直的判定定理可知α与β不一定垂直；故②错误；
对③，根据直线与平面平行的判定定理可知③正确．
故选：C．
8. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，；③.则下列选项不成立的是（ ）
A. B. 若，则或
C. 若，则D. ，使得
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得到函数为偶函数，且在为减函数，可判定A正确；把不等式转化为或，可判定B正确；把不等式转化为或，可判定C错误；根据题意得到为的最大值，可判定D正确.
【详解】由①，可得函数为偶函数；
②，当时，，可得在为减函数；
对于A中，因为函数在为减函数，所以，所以A正确；
对于B中，由不等式，可得或，
解得或，所以B正确；
对于C中，由，可得，
若，则或，解得或，所以C错误；
对于D中，由为上的偶函数，且在为减函数；在在为增函数，
又因为的图象是连续不断的，所以为的最大值，所以，
所以，，使得成立，所以D正确.
故选：C.
二、多选题
9. 某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ）
A. 从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人
B 随机变量
C. 随机变量的数学期望为
D. 若事件“抽取的3人都感兴趣”，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用分层抽样方法来判断A，利用超几何分布概率公式及期望公式可判断BCD.
【详解】根据分层抽样的方法，可得：
从甲社团抽取的人数为1414+21+14×7=2；
从乙社团抽取的人数为2114+21+14×7=3；
从丙社团抽取的人数为1414+21+14×7=2；故A正确；
由于抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，
用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则的可能取值有，
则PX=i=C5iC23−iC73，i=1,2,3，
此时服从超几何分布，故B错误，
则随机变量的数学期望为C51C22C73×1+C52C21C73×2+C53C20C73×3=535+4035+3035=7535=157，
故C正确；
若事件“抽取的3人都感兴趣”，则P（A）=C53C20C73=1035=27，故D错误；
故选：AC.
10. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由题可得，利用“1”的巧用，结合基本不等式一一判断各选项，即可判断出正确答案；
【详解】由，，得：；
对于A，a+b=a+b1a+12b=32+a2b+ba≥32+2a2b⋅ba=32+2,
当且仅当，结合，即，时等号成立，A错误；
对于B，a+2b=a+2b1a+12b=2+a2b+2ba≥2+2a2b⋅2ba=4，
当且仅当，结合，即，时取等号，B正确；
对于C，（当且仅当，即，时取等号），
，解得：（当且仅当，时取等号），C错误；
对于D，（当且仅当，结合，即，时取等号），
由C知：（当且仅当，时取等号），
（当且仅当，时取等号），D正确.
故选：BD
11. 已知函数在处的切线斜率为2，则下列命题正确的是（ ）
A. B. 有且只有一个极小值，且极小值等于
C. 的值域是D. 若，则恒成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】求导，根据导数的几何意义可判断A；分析函数的单调性，结合极值的定义可判断B；结合，和单调性可判断C；由可得时，，进而判断D.
【详解】由，则，
则，即，故A正确；
此时，，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
则时，取得极小值，故B正确；
又，，
所以的值域不是，故C错误；
因为，
则时，，
而，则恒成立，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12. 在的展开式中，常数项为__________.
【答案】
【解析】
【分析】写出通项公式，令，得到，从而求出常数项.
【详解】的展开式通项公式为，
令，得，
故.
故答案为：
13. 已知是等边三角形，、分别是边和的中点.若椭圆以、为焦点，且经过、，则椭圆的离心率等于________.
【答案】
【解析】
【分析】如图建立平面直角坐标系，设的边长为，即可求出、、，从而求出、，即可求出离心率.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
因为是等边三角形，、分别是边和的中点，
所以，设的边长为，
则，即，，，
又，所以，
所以椭圆的离心率.
故答案为：
14. 如图，在中，，，，，，若D，E，F三点共线，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】结合图形由平面向量的基本定理可得，再利用基本不等式的乘“1”法可得答案.
【详解】由，得，即，
，E，F三点共线，
，
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为
故答案为：.
四、解答题
15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且．
（1）求B；
（2）若，且的面积为，求b.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求出，从而求出；
（2）由三角形面积公式求出，结合，求出，由余弦定理求出答案.
【小问1详解】
，由正弦定理得，
即，
由余弦定理，得.
因为，所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以的面积为，得，
由及正弦定理，得，
所以.
由余弦定理，得，
所以.
16. 已知为等比数列，是，的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设公比为，利用等差中项和等比数列通项公式建立关系求出，得解；
（2）利用错位相减法求解.
【小问1详解】
设的公比为，因为为，的等差中项，
所以，即，
则，解得，
所以.
【小问2详解】
设的前项和为，又，
，①
，②
①②得，
所以.
17. 已知三棱锥 ，平面 平面 .

（1）求证: ;
（2）求直线 DB与平面 所成角的正弦值；
（3）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过证明平面OBP可证明结论；
（2）如图建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，然后由空间向量知识可得答案；
（3）由（2）求出平面 的法向量，然后由空间向量知识可得答案.
【小问1详解】
如图，取中点 ，连接 .
.
为等腰直角三角形，为中点.
.为中点，.
平面POB，，
面OBP. 面OBP，
【小问2详解】
平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC，
面 两两垂直
如图，以为原点， 为轴正向， 为轴正向， 为轴正向
建立空间直角坐标系，则 .
.
.
则，.
令平面的法向量为 ，则 ，可取.
则直线 DB与平面 所成角的正弦值.
【小问3详解】
由（2），.
令平面的法向量为，
则 ，可取.
则点到平面 的距离.

18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值；
（3）过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）3.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程.
（2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值.
（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，借助根与系数的关系列出三角形面积的关系式，利用对勾函数性质求出最大值．
【小问1详解】
依题意，，且，解得，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，而，则，
周长，
当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号，
所以周长的最大值为.
【小问3详解】
设直线的方程为，，
由消去得：，显然，，
，
因此面积，
令，，显然函数在上单调递增，
则当，即时，取得最小值，
所以当时，面积取得最大值3.
【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；
过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积.
19. 已知函数.
（1）求的极值；
（2）设.
（i）当时，求函数的单调区间；
（ii）若在上恒成立，求实数取值范围.
【答案】（1）有极大值，无极小值
（2）（i）答案见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）（i）求出函数的导函数，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（ii）参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围.
【小问1详解】
因为的定义域为，
所以，令，解得，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值.
【小问2详解】
（i）函数的定义域为，
则.
当时，由，解得或；
由，解得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，解得或；
由，解得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得函数在上单调递增；
当时，由，解得；由，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数的单调递增区间为和，递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为和，递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，无减区间；
当时，函数的单调递增区间为，递减区间为.
（ii）在上恒成立可转化为在上恒成立，
设，，则，
令，则，
所以函数在上单调递减，
又，，
则函数在内存在唯一的零点，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
又，得，
则，
所以，即实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．