13.分式方程应用题——北师大版数学2025年中考一轮复习测试

这是一份13.分式方程应用题——北师大版数学2025年中考一轮复习测试，共9页。
1．A、B两地相距10千米，甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲的速度是乙的速度的2倍，结果甲比乙早到13小时，设乙的速度为x千米/时，则可列方程为 ( )
A．10x−102x=13B．102x−10x=13
C．102x+13=1xD．10x+13=102x
2．明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为2.5千米，明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用4min，设妹妹跑步的速度为xkm/ℎ，则可列方程为（ ）
A．+4B．+460=2.5x
C．−4D．+460
3．佛山是国内首个被授“中国龙舟龙狮运动名城”称号的城市，“争先奋进，赛龙夺锦”的龙舟文化内核近年来成了佛山文化品牌形象和城市精神内涵的重要元素，已知2023年2月佛山某区龙舟赛的总赛程为20km，在同一场比赛中龙舟A队的平均速度是B队的1.2倍，最终A队冲刺终点的时间比B队提前20分钟，若设B队的平均速度是xkmℎ，则可列方程为（ ）
A．201.2x−20x=13B．20x−201.2x=20
C．201.2x−20x=20D．20x−201.2x=13
4．2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地展应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（ ）
A．2000x=2000x+15+240B．2000x=2000x+15−240
C．2000x=2000x−15+240D．2000x+240=2000x−15
5．5・12汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x米，所列方程正确的是（ ）
A．120x+4=1202xB．1202x=120x−4
C．120x=120x+1−4D．120x−4=120x+1
6．某工程队在黄河路改造一条长5000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程5000x−20=5000x+15，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（ ）
A．每天比原计划少铺设20米，结果延迟15天完成．
B．每天比原计划多铺设20米，结果延迟15天完成．
C．每天比原计划少铺设20米，结果提前15天完成．
D．每天比原计划多铺设20米，结果提前15天完成．
7．在题目“甲、乙两地相距300km，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶xℎ，可得方程1+25%⋅300x=300x−1，则题目中“…”表示的条件是（ ）
A．速度比原计划增加25%，结果提前1ℎ到达
B．速度比原计划增加25%，结果晚1ℎ到达
C．速度比原计划减少25%，结果提前1ℎ到达
D．速度比原计划减少25%，结果晚1ℎ到达
8．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程 为900x+1×2=900x−3，其中x表示（ ）
A．快马的速度B．慢马的速度C．规定的时间D．以上都不对
9．甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，二人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线BD上，则CE的长为（ ）
A．4mB．8mC．12mD．16m
10．实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程3×10150=10150−x，则未知数x表示的意义是（ ）
A．增加的水量B．蒸发掉的水量
C．加入的食盐量D．减少的食盐量
11．照相机成像应用了一个重要原理， 用公式 1f =1u+1v（v≠f） 表示， 其中 f 表示照相机镜头的焦距， u 表示物体到镜头的距离， v 表示胶片 （像） 到镜头的距离． 已知 f，v， 则 u= （ ）
A．fvf−vB．f−vfvC．fvv−fD．v−ffv
12．某工程队承接了 60 万平方米的绿化工程， 由于情况有变， ⋯⋯设原计划每天绿化的面积为 x万平方米， 列方程为 60（1−20%）x−60x=30， 根据方程可知省略的部分是（ ）
A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 30 天完成了这一任务
B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 20%，结果延误 30 天完成了这一任务
C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了 20%，结果延误 30 天完成了这一任务
D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了 20%，结果提前 30 天完成了这一任务
二、填空题（每题3分，共15分）
13．某自然保护区为了估计区内金丝猴的数量，第一次捕捉了24只并在做了标记后全部放回．第二次捕捉了80只，发现有4只是上次做了标记的．根据以上的方法，估计该保护区金丝猴的总只数为 只．
14．袋子里装有红、黄两种颜色的小球，除了颜色之外小球的形状、大小、材质完全相同，搅拌均匀后从袋中随机摸出一个球是红球的概率为15，如果袋中有红球有3个，则袋中的黄球有 个．
15．甲、乙两个服装厂加工一批校服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套校服，甲厂比乙厂少用4天，则乙厂每天加工 套校服．
16．为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是 ．
17．数学的美无处不在，数学家们研究发现，弹拨琴弦发出的声音的音调高低，取决于弦的长短.绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，其发出的声音就比较和谐.例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声.研究15，12，10这三个数的倒数发现：112−115=110−112. 我们称15，12，10这三个数为一组调和数.现有两个数5，3，再加入一个数x，使这三个数组成一组调和数，则x的值是 .
三、解答题（共7题，共49分）
18．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共
同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改
造的道路全长为1800米，改造总费用不超过220万元，至少安排甲队工作多少天？
19．某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．
（1）为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，预计每天工作效率比原计划增加25%，这样可提前30天完成任务，求原计划每天需要铺设多长管道？
（2）按原计划工作效率施工，每天需要支付1.2万元施工费；按增效25%施工，每天需支付2万元施工费，在（1）结论下，若完成工程所需施工费用不超过236万元，求按原计划工作效率施工至少多少天？
20．深圳市某商场准备购买足球、排球两种商品，每个足球的进价比排球多30元，用3000元购进足球和2100元购进排球的数量相同．
（1）每个足球和排球的进价分别是多少？
（2）根据对运动用品的市场调查，商场计划用不超过4800元的资金购进足球和排球共60个，其中足球数量不低于排球数量13倍，该商场有几种进货方案？（不用写出具体方案）
21．2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．
（1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
22．某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料?
（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量等于甲种边框数量的2倍，求应安排多少米材料制作甲种边框? (不计材料损耗)
23．根据如表所示素材，探索完成任务．
24．“彼此让一让，路宽心更宽”，斑马线前礼让行人是城市文明的一种具体体现，也是司机理应履行的一项法定义务，我市在锦惠路人民医院等路段设立了“礼让行人”交通标识．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究．
问题情景：如图，某无红绿灯的路口有一行人从点A处出发，通过斑马线AD时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点B（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去．已知行人的速度是1m/s，小汽车的速度为30km/ℎ，每个车道宽3m，双向车道中间有宽0.5m的隔离带．若小汽车与行人通过同一路口的时间差在5s内（不包含5s），则存在交通安全隐患，此时要求小汽车“礼让行人”．
问题思考与解决：
（1）若∠BAC=76°，
①计算此时小汽车到斑马线的距离BC；
②若在B点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点C时，小汽车前沿离行人还有1m，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车在这一段的平均速度．
（2）若小汽车刚好不需要“礼让行人”，求∠BAC的度数．
（参考数据：tan72°≈3，tan76°≈4，tan86°≈14）
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】B
10．【答案】B
11．【答案】C
12．【答案】C
13．【答案】480
14．【答案】12
15．【答案】50
16．【答案】4800x=5000x+20
17．【答案】15或154或157
18．【答案】（1）解：设乙队每天能改造管道x米，则甲队每天能改造1.5米．
根据题意，得
240x−2401.5x=2,
解得x=40，
经检验，x=40是原方程的根且符合题意
∴1.5x=60,
答：甲，乙两队每天改造的管道长度分别是60米，40米．
（2）解：设安排甲队工作m天，则安排乙队1800−60m40天，
根据题意，得
7m+5×1800−60m40≤220
解得m≥10，
答：至少安排甲队工作10天．
19．【答案】（1）20米
（2）按原计划工作效率施工至少10天
20．【答案】（1）每个排球进价70元，每个足球进价100元
（2）该商场有6种进货方案
21．【答案】（1）前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元
（2）学校最多购买了62支钢笔作为奖品
22．【答案】（1）解：设制作一个乙种边框需用材料x米，则制作一个甲种边框需用材料1+20%x米，
由题意得：12x=121+20%x+1
解得：x=2，
经检验x=2是原分式方程的解，
当x=2时，1+20%x=2.4，
答：制作一个甲种边框需用材料2.4米，制作一个乙种边框需用材料2米
（2）解：设应安排a米材料制作甲种边框，由题意得：
640−a2=a2.4×2
解得：a=240，
答：应安排240米材料制作甲种边框．
23．【答案】任务一：解：设 B 种图书标价 为x元，则A种图书的标价为1.5x元
∴5401.5x=540x−10，解得x=18
经检验x=18是原方程的解
1.5x=27
∴ A，B 两种图书的标价 分别为27元，18元.
任务二：
解设购进A种图书x本，则购进B种图书（1000-x）本
∴18x+12(1000-x)≤ 16800，解得x≤ 800
∵x≥700
∴600≤ x≤ 800且x为整数
∴x取201种整数值
∴ A，B两种图书进货方案一共有201种.
任务三：
解：设获得的总利润为W元
∴W=(0.8x27-18)x+(18-12)(1000-x)=-2.4x+6000
∵k=-2.4 < 0，
∴W随x的增大而减小
∵600 ≤ x≤ 800且a为整数
∴当x=600时，w有最大值
∴1000-600=400
∴购进A种图书600本，B种图书400本时，书店才能获得最大利润.
24．【答案】（1）解：①由题可知：AC=3+3+0.5+1.5=8，∠BAC=76°，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAC，即BC8=tan76°，
∴BC=8×tan76°≈8×4=32m；
②设小汽车在这一段的平均速度为am/s，
由题意得：32−1a=81，
解得：a=318，
经检验：a=318是该分式方程的解且符合题意，
∴小汽车在这一段的平均速度为318m/s；
（2）解：设BC=xm，30km/ℎ=253m/s，由题意得：81−x253=5或x253−81=5，
解得：x=25或x=3253，
在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAC=258≈3或tan∠BAC=BCAC=32538≈14，
又∵tan72°≈3，tan86°≈14，
∴∠BAC的度数为72°或86°．如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
素材一
某书店为了迎接“读书节”决定购进A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元．
素材二
已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本．
素材三
该书店准备用不超过16800元购进A，B两种图书共1000本，且A种图书不少于700本经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的8折销售，B种图书按标价销售．
问题解决
任务一
探求图书的标价
请运用适当方法，求出A，B两种图书的标价．
任务二
探究进货方案
A，B两种图书进货方案一共有多少种？
任务三
确定如何获得最大利润
书店应怎样进货才能获得最大利润？