2025年中考复习数学第06讲 分式方程及应用（练习，14题型模拟练+重难练+真题练）

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TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc185105778"
\l "_Tc185105779" ?题型01 分式方程的定义 05-23
\l "_Tc185105780" ?题型02 解分式方程
\l "_Tc185105781" ?题型03 以注重过程性学习的形式考查解分式方程
\l "_Tc185105782" ?题型04 与解分式方程有关的新定义问题
\l "_Tc185105783" ?题型05 与解分式方程有关的跨学科问题
\l "_Tc185105784" ?题型06 由分式方程的解求参数
\l "_Tc185105785" ?题型07 由分式方程有解、无解或有增根求参数
\l "_Tc185105786" ?题型08 由分式方程解的取值范围求参数
\l "_Tc185105787" ?题型09 分式方程与不等式组综合
\l "_Tc185105788" ?题型10 列分式方程
\l "_Tc185105789" ?题型11 利用分式方程解决实际问题
\l "_Tc185105790" ?题型12 分式方程的应用与函数的综合运用
\l "_Tc185105791" ?题型13 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用
\l "_Tc185105792" ?题型14 以数学文化为背景考查分式方程的实际应用
\l "_Tc185105793"
\l "_Tc185105794"
?题型01 分式方程的定义
1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（ ）
A．x+12=53B．13x−1+4x3x+1
C．x2x−1+32x+1=1D．3−x4+2=x−13
【答案】C
【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A．x+12=53是一元一次方程，故选项不符合题意；
B．13x−1+4x3x+1不是方程，故选项不符合题意；
C．x2x−1+32x+1=1是分式方程，故选项符合题意；
D．3−x4+2=x−13是一元一次方程，故选项符合题意．
故选：C．
2．（2021·河南信阳·模拟预测）下列方程：①1x+1=x；②x+12−3=0；③2x−1+31−x=3；④xa+xb=1（a,b为已知数），其中分式方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程；
【详解】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键．
?题型02 解分式方程
3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）分式方程1−1x=xx−1的解为 ．
【答案】x=12
【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】解：1−1x=xx−1
去分母得，xx−1−x−1=x2，
解得x=12，
检验：将x=12代入xx−1≠0，
∴原方程的解为x=12．
故答案为：x=12．
4．（2024·青海西宁·三模）解分式方程：2x−2x−1+1=21−x．
【答案】分式方程无解
【分析】本题考查了解分式方程，方程两边都乘x−1得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：2x−2x−1+1=21−x
方程两边都乘x−1，得2x−2+x−1=−2，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x−1=0，
所以x=1是增根，
即原分式方程无解．
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）解方程：3x−3−4x2−9=0．
【答案】x=−53
【分析】此题考查了解分式方程，去分母化为整式方程，解整式方程，再进行检验即可．
【详解】解：3x−3−4x2−9=0
去分母得，3x+3−4=0，
去括号得，3x+9−4=0，
移项合并同类项得，3x=−5，
系数化为1得，x=−53．
经检验，x=−53是原方程的根
6．（2024·河北邯郸·模拟预测）根据下表中的数据，写出a的值为 ，b的值为 ．
【答案】 13 −7
【分析】本题考查代数式求值，分式的求值，解分式方程，把x=2代入分式求出a的值，把m代入分式得到关于m的分式方程，求出m的值，再代入代数式求出b的值即可．
【详解】解：当x=2时，x−1x+1=2−12+1=13，
∴a=13；
当x=m时，x−1x+1=m−1m+1=2，解得：m=−3，
经检验m=−3是原方程的解，
∴当x=−3时，b=2×−3−1=−7；
故答案为：13，−7．
?题型03 以注重过程性学习的形式考查解分式方程
7．（2024·浙江杭州·模拟预测）小王同学解分式方程x+13x−6+2x+12−x=3的过程，请指出他解答过程中最先出现的错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：x+1−3(2x+1)=3①
去括号得：x+1−6x+1=3②
移项得：x−6x=3−1−1③
合并同类项得：−5x=1④
系数化为1得：x=−15⑤
∴x=−15是原分式方程的解⑥
【答案】错误的步骤是①、②，正确解答见解析
【分析】本题考查了解分式方程，观察阅读材料中的解方程过程，找出错误的步骤，修改解答过程即可．
【详解】解：错误的步骤是①、②，正确解答如下：
去分母得：x+1−3(2x+1)=3(3x−6)，
去括号得：x+1−6x−3=9x−18，
移项得：x−6x−9x=−18−1+3，
合并同类项得：−14x=−16，
解得：x=87，
检验：当x=87时，3x−6=−187≠0，
所以分式方程的解为x=87．
8．（2024·山东滨州·模拟预测）（1）先化简，再求值：(a−3b)(a+3b)+(a−3b)2，其中a=−3,b=13．
（2）小丁和小迪分别解方程xx−2−x−32−x=1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确，若正确，打“√”，如果错误，请写出正确的解答过程
【答案】（1）2a2−6ab；24；（2）小丁和小迪的解法都不正确，正确过程见解析
【分析】本题考查的是整式的化简求值、分式方程的解法，掌握整式的混合运算法则、解分式方程的一般步骤是解题的关键．
（1）根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，把a、b的值代入计算即可；
（2）根据解分式方程的一般步骤解出方程．
【详解】解：（1）原式=a2−9b2+a2−6ab+9b2
=2a2−6ab，
当a=−3，b=13时，原式=2×(−3)2−6×(−3)×13=18+6=24；
（2）小丁和小迪的解法都不正确，
正确解法如下：方程两边同乘x−2，得x+(x−3)=x−2，
去括号，得x+x−3=x−2，
移项、合并同类项，得x=1，
检验，当x=1时，x−2≠0，
∴原方程的解是x=1．
9．（2024·宁夏银川·二模）以下是小明解方程x+1x−2=12−x−2的过程，请认真阅读，并完成相应任务．
解：去分母：x+1=−1−2x−2…………．第一步．
去括号：x+1=−1−2x−4 …………，第二步
移项，合并同类项得：3x=−6…………．第三步
系数化为1，得：x=−2…………．第四步
检验：当x=−2时，x−2=−4≠0，
所以：x=−2是原分式方程的解．
(1)填空：
①以上解题过程中，第一步去分母的依据 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
(2)请你写出此方程的正确求解过程．
【答案】(1)二，去括号时第二项没有变号；
(2)x=23，过程见解析
【分析】本题考查了解分式方程步骤的依据以及解分式方程的一般步骤．
（1）观察已知条件所给的解方程的步骤，根据等式的基本性质进行解答即可；
（2）①观察已知条件所给的解方程的步骤，根据去括号法则进行解答即可；
②按照解分式方程的一般步骤解方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：①以上解题过程中，第一步去分母的依据等式的基本性质，
故答案为：等式的基本性质；
②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时第二项没有变号，
故答案为：二，去括号时第二项没有变号．
（2）解：正确的求解过程如下：
x+1x−2=12−x−2，
去分母得：x+1=−1−2x−2，
去括号得：x+1=−1−2x+4，
移项，合并同类项得：3x=2，
系数化为1，得：x=23，
检验：当x=23时，x−2≠0，
∴x=23是原分式方程的解．
10．（2024·山西忻州·三模）（1）|−9|×−132−8÷2+12−1+(−1)0．
（2）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务一：以上解题过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：该方程的正确解是 ．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】（1）2；（2）任务一：一；去分母时，1没有乘(x−3)；任务二：x=32；任务三：解分式方程必须检验（答案不唯一）
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解分式方程，熟练掌握解解分式方程的基本步骤，掌握运算顺序是解题的关键．
（1）根据含有乘方的有理数混合运算法则计算即可；
（2）根据解分式方程的步骤进行分析和解答即可．
【详解】（1）解：原式=9×19−2+2+1
=1−2+2+1
=2．
（2）解：任务一：
解方程：3x−3=1−3x3−x．
解：去分母，得3=x−3+3x，……………………………………………………第一步，
∴以上解题过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是1没有乘(x−3) ．
故答案为：一；去分母时，1没有乘(x−3)．
任务二：
解方程：3x−3=1−3x3−x．
解：去分母，得3=x−3+3x，
移项，得x+3x=3+3，
合并同类项，得4x=6，
系数化为1，得x=32．
检验：当x=32时，x−3=−32≠0．
所以x=32是原方程的根．
故答案为：x=32．
任务三：解分式方程必须检验．（答案不唯一）
?题型04 与解分式方程有关的新定义问题
11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11−32=−18．则方程x⊗−2=2x−4−1的解是（ ）
A．x=5B．x=6C．x=7D．无解
【答案】A
【分析】根据新定义可得，x⊗−2=1x−4，从而可得分式方程1x−4=2x−4−1，再解分式方程即可求解．
【详解】解：由题意可得，x⊗−2=1x−−22=1x−4，
∵x⊗−2=2x−4−1，
∴1x−4=2x−4−1，
解得：x=5，
把x=5代入x−4得，x−4=5−4=1≠0，
∴x=5是原方程的解，
故选；A．
12．（2022·河南平顶山·二模）定义运算m※n=1+1m+n，如：1※2=1+11+2=43．则方程x※(x+1)=32的解为（ ）
A．x=1B．x=−1C．x=−12D．x=12
【答案】D
【分析】根据新定义得出方程1+1x+x+1=32，再解分式方程，求出其解即可．
【详解】解：由题意，得
1+1x+x+1=32，
∴12x+1=12，
解得：x=12，
经检验，x=12是方程的根，
故选：D．
【点睛】本题考查新定义和解分式方程，理解定义和求解分式方程是解题的关键．
13．（2024·湖北武汉·模拟预测）定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为a△b=a−ba+b，a※b=a+2ba−2b，若x△1=x※2，则x= ．
【答案】0
【分析】本题考查了新运算，解分式方程，根据新运算规则得x−1x+1=x+4x−4，解出方程，即可求解；理解新运算规则，掌握解分式方程的解法是解题的关键．
【详解】解：由题意得
x−1x+1=x+4x−4，
去分母得：
x−1x−4=x+1x+4，
整理得：10x=0，
解得：x=0，
检验：当x=0时，
x+1x−4=−4≠0，
∴原方程的解为x=0，
故答案：0．
14．（2023·广东深圳·二模）对于实数a，b，定义一种新运算“θ”为： aθb=1a+b2，例如： 1θ2=11+22，则xθ−2=2x+4−2的解是 ．
【答案】x=−72/x=−3.5
【分析】利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【详解】解：∵aθb=1a+b2，
∴xθ−2=2x+4−2，即1x+4=2x+4−2，
去分母得：1=2−2x+4，
解得：x=−72，
检验：当x=−72时，x+4≠0，
∴分式方程的解是x=−72，
故答案为：x=−72
【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
15．（21-22八年级下·江苏扬州·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．
【答案】(1)不是“相似方程”，理由见解析
(2)m=2或3
【分析】（1）求出两方程的解，再根据“相似方程”的定义判断即可．
（2）由“相伴方程”的定义求得方程解的表达式，进而分类讨论求得满足条件的m的值．
【详解】（1）解：不是“相似方程”，理由如下：
解一元一次方程3－2(1－x)=4x，解得：x=12
解分式方程2x+12x−1−1=44x2−1，解得：x=12
检验：当x=12时，(2x+1)(2x－1)=0
∴分式方程无解
∴一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1不是“相似方程”．
（2）解：由题意，两个方程有相同的整数解
∴mx+6=x+4m，
∴(m－1)x=4m－6，
①当m－1=0时，方程无解；
②当m－1≠0， 即m≠1时，x=4m−6m−1 ，即x=4－2m−1
∵x，y均为整数
∴m－1=1，2，－1，－2，
∴m=2，3，0，－1，
又∵m取正整数，
∴m=2或3
综上所述，m=2或3．
【点睛】本题考查一元一次方程、分式方程、二元一次方程；按照定义求解方程是解题的关键．
?题型05 与解分式方程有关的跨学科问题
16．化学小组欲将100g浓度为98%的酒精溶液稀释为75%的酒精溶液．设需要加水xg，根据题意可列方程为 ．
【答案】0.98×100x+100=0.75
【分析】利用酒精的质量不变列方程即可．
【详解】解：设需要加水xg，
由题意得0.98×100x+100=0.75，
故答案为：0.98×100x+100=0.75．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
17．如图，把R1、R2两个电阻并联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，总电阻为R总，则U=IR总，其中，R1，R2，R总满足关系式：1R总=1R1+1R2.当R1=10，R2=30，I=1.6时，求U的值．
【答案】12
【分析】先把R1、R2、R总关系式1R总=1R1+1R2化简为最简形式，然后把未知数对应的值代入，得出R总的值，再根据U=IR总即可求出答案．
【详解】解：分式方程两边同乘以R1·R2·R总，得
R1·R2＝R2·R总＋R1·R总
把R1=10，R2=30代入上式，得：
300＝40·R总
∴R总＝7.5
又∵U=IR总，I=1.6
∴U＝12
【点睛】本题主要考查解分式方程，先把分式方程化简，再把解方程，关键是掌握分式方程化简的方法和步骤．
18．科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为ρ甲，ρ乙的液体混合（ρ甲ρ2
(3)需要加水50g
【分析】本题考查列代数式，分式的加减，分式方程的应用，掌握比差法是解题的关键．
（1）设混合溶液密度为ρ1的两种液体的体积分别为V，表示出两种液体的质量，利用公式解题即可；
（2）用含ρ甲，ρ乙式子表示出ρ2，然后利用比差法计算ρ1−ρ2的值进行比较大小；
（3）根据题意找出等量关系，利用分式方程解题即可．
【详解】（1）解：设混合溶液密度为ρ1的两种液体的体积分别为V，
∴ρ1=ρ甲V+ρ乙V2V=ρ甲+ρ乙2；
（2）设混合溶液密度为ρ2的两种液体的质量分别为m，
∴ρ2=m+mmρ甲+mρ乙=2ρ甲ρ乙ρ甲+ρ乙，
∵ρ1−ρ2=ρ甲+ρ乙2−2ρ甲ρ乙ρ甲+ρ乙=ρ甲+ρ乙2−4ρ甲ρ乙2(ρ甲+ρ乙)=ρ甲−ρ乙22(ρ甲+ρ乙)>0，
∴ρ1>ρ2；
（3）解：密度为1.2g/cm3的盐水600g的体积为6001.2=500cm3，
设需要加水xg，即加入的水的体积为xcm3
则600500+x=1.1，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解．
答：需要加水50g，才能使密度为1.1g/cm3的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中．
19．（2024·江苏无锡·二模）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足R=R1+R2；如图②，在并联电路中，总电阻R满足1R=1R1+1R2．
(1)如图③，已知R1=12Ω，R3=4Ω，总电阻为12Ω，求R2的值；
(2)如图④，已知R0为定值电阻，现有两个电阻R1和R2 R1