山西省2025届高三(上)1月期末数学试卷（解析版）

这是一份山西省2025届高三(上)1月期末数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，解得，故，
又，所以.
故选：B.
2. 已知，，且，其中i是虚数单位，则（ ）
A. 10B. C. 2D.
【答案】D
【解析】由得：，
所以解得，所以.
故选:D.
3. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数在上单调递增，
，，故的零点，
由在上单调递增，得，，
因此的零点，则.
故选:D.
4. 将单词“”的7个字母填入编号从1到12的一排方格中，每个方格至多填入1个字母，且6号方格填字母“”，则得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有（ ）
A. 400种B. 350种C. 200种D. 150种
【答案】B
【解析】第一类第一步：从1到5号方格中选出3个，填入“c”“”“l”这3个字母，有种方法；
第二步：从7到12号方格中选出3个，填入“e”“c”“t”这3个字母，有种方法，
所以得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有种；
第二类第一步：从1到5号方格中选出2个，填入“c”“”这2个字母，有种方法；
第二步：从7到12号方格中选出4个，填入“l”“e”“c”“t”这4个字母，有种方法，
所以得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有种.
所以得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有种.
故选:B.
5. 天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展.10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作.比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形测得一座山的高（如图1），再于山顶T处悬一个直径为且可以转动的圆环（如图2），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得且，由此可以算得地球的半径（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由图可知，，故，
解得.
故选：B.
6. 在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图：

由，则①，
又②，
由①+②可得，即，
故，设与夹角为，
则，解得.
故选：C.
7. 已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】A
【解析】设切点为，
由已知得，则切线斜率，
所以切线方程为，
因为直线过点，则，
化简得，
又因为切线有且仅有1条，即，解得或2，
故选：A.
8. 已知点在抛物线：（）上，是上不同的两点（异于点），若直线，被圆：截得的弦长都为，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为点在抛物线：（）上，
所以，解得，即的方程为，
设，，所以直线的方程为，
因为直线被圆：截得的弦长为，
所以，整理得，
即，即，同理可得，
所以直线的方程为，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
【答案】BCD
【解析】，时，或，A错误；
若，，则，B正确；
若，，由线面垂直性质定理知，C正确；
，，，如图，
过m作平面交于直线l，由得，
同理过m作平面与交于直线p，得，所以，而，所以，
又，，则，所以，D正确.
故选：BCD.
10. 已知函数（），对任意，恒有，且在上单调递增，则（ ）
A.
B. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
C. 奇函数
D. 在上的最大值为
【答案】ACD
【解析】由题意可知，，
因为对，恒有，
所以是函数的一个最值点，即，解得，，
当时，，又函数的单调递增区间为，，
所以，，
即解得，，
当时，，此时，符合题意，所以，，故A正确；
对于选项B：的图象应由向右平移个单位长度得到，故B错误；
对于选项C：，为奇函数，故C正确；
对于选项D：由得，所以，即函数的最大值为，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知定义域为的函数满足，且，，则（ ）
A. B. 为偶函数
C. D.
【答案】BCD
【解析】令，，则，所以，
令，，则，所以，
令，，则，所以，故A错误；
令，则，
所以，则，
令，则，所以，
所以，所以为偶函数，故B正确；
令，则，
所以，则，
所以，故C正确；
由，得，所以4为的一个周期，
由，得，，
所以，
所以，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在正四棱台中，，，则正四棱台的体积为_________.
【答案】或
【解析】如图，在正四棱台中，，
则，.
过点作交于点E，过点作交于点F，
则，又，所以，
即正四棱台的高，
所以正四棱台的体积
.
故答案为：
13. 在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为_________.
【答案】
【解析】因为点，在椭圆：上，所以，
两式相加可得，即，
又因为直线，的斜率之积为，所以，可得，
所以，
设中点为，则，，
所以，即，即中点的轨迹方程为，
故答案：
14. 若，，则_________.
【答案】或
【解析】因为
，
，
所以，故，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 数列的前项和为，，当时，.
（1）求证：数列是等差数列，并求的表达式；
（2）设，求数列的最大项的值.
（1）证明：当时，数列的前项和为，满足，
即，
整理可得，
因为，则，即，可得，
假设当时，，则，
所以对任意的，，
在等式，两边同时除以可得，
所以数列为等差数列，且其首项为，公差为2，
所以，得.
（2）解：由（1）得，
则，
当时，；当时，，
所以，
故数列的最大项为，其值为.
16. 近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅印发《城市燃气管道等老化更新改造实施方案（2022―2025年）》.某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区1000个家庭中随机抽取了100个家庭燃气使用情况进行调查，统计了这100个家庭一个月的燃气使用量（单位：），得到如下频数分布表：
（1）若采用分层抽样的方法从燃气使用量在和这两组的家庭中随机抽取8个家庭，市政府决定从这8个家庭中抽取4个跟踪调查其使用情况，记随机变量表示这4个家庭中燃气使用量在内的家庭个数，求的分布列和数学期望；
（2）将这一个月燃气使用量超过22的家庭定为“超标”家庭.若该社区这一个月燃气使用量服从正态分布，其中近似为100个样本家庭的平均值，估计该社区中“超标”家庭的户数.（结果四舍五入取整数）
附：若X服从正态分布，则，，.
解：（1）燃气使用量在的家庭个数为：（个），
在的家庭个数为：（个），
则的所有可能取值有0，1，2，
，，，
则的分布列为
所以.
（2）由题意知这100个样本家庭的平均值，
所以，
又，估计该社区中“超标”家庭的户数为159个.
17. 如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置.
（1）求三棱锥外接球的表面积；
（2）当平面平面时，证明：，并求二面角的余弦值.
（1）解：因为和均为以为斜边的直角三角形，
所以三棱锥的外接球球心即为的中点，半径，
所以外接球表面积.
（2）证明：当平面平面时，
因为，平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，设P点坐标为（），
由，，得
解得，，即P点坐标为，
，.
设平面，
所以所以令，得，
易知为平面的一个法向量，
所以，
因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
18. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线E：（，）的两条渐近线的方程分别为，，直线l是E的切线，l分别交直线，于A，B两点（A，B分别在第一，四象限），且时，的面积为8.
（1）若E的离心率为，求E的方程；
（2）试探究：是否存在双曲线E，使的面积恒为8？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由.
解：（1）双曲线E的渐近线方程分别为，，
由双曲线E的离心率为，得，解得，
当时，由对称性知，直线l方程为，此时的面积为，
则，所以双曲线E的方程为.
（2）由（1）知，当轴时，双曲线E的方程为，
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程满足条件，
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为，直线l与x轴交于点C，
依题意，得或，则，记，.
由得，同理得，
由得，
而，由直线l与双曲线E相切，得，
于是，即，
因此，
所以存在双曲线E，使的面积恒为8，且E的方程为.
19. 一般地，对于给定的两条直线：和：，把方程（（）为不全为0的实数）表示由和决定的直线系，当与相交时，是以与的交点为中心的中心直线系，当与平行时，该直线系称为平行直线系.在数学中把这种具有某种共同性质的直线的全体叫做直线系（或直线族）.记直线族（）为，直线族（）为.
（1）分别判断点，是否在直线族中的某条直线上，说明理由；
（2）若对于给定的实数（），点不在直线族中的任何一条直线上，求的取值范围；
（3）直线族包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，求的包络.
解：（1）将代入（），得，解得，
所以直线方程为，故点在直线族中的直线上；
将代入（），得，显然，方程无解，
所以点不在直线族中的任何一条直线上.
（2）因为对于给定的实数（），点不在直线族中的任何一条直线上，
则关于的方程在上无解，即关于的方程在上无解，
令（），则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又当时，，
故的值域为，又无解，
所以，即实数的取值范围为.
（3）由（2）可以猜测直线族的包络为（），则，
下面证明（）为直线族的包络，
①在曲线（）上任取一点，则，
此时的切线方程为，即为，故曲线在每一点处的切线为中的直线；
②在中任取一条直线，由①知，在曲线（）上存在一点，使得在该点处的切线为，
由①②知，（）为直线族的包络.燃气使用量(单位：)
频数
6
14
18
30
16
12
4
0
1
2