山西省运城市2024届高三(上)期末调研测试数学试卷(解析版)

这是一份山西省运城市2024届高三(上)期末调研测试数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数，则等于（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】结合题意可得：，
所以.
故选：D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，解得，
由于是的真子集，
故是的必要不充分条件.
故选：B
3. 已知是奇函数，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】由题意得，即，
所以，故，
所以，解得.
故选：C
4. 第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A. 150种B. 300种C. 720种D. 1008种
【答案】A
【解析】若三个场地分别承担个项目，则有种安排，
若三个场地分别承担个项目，则有种安排，
综上，不同的安排方法有种.
故选：A
5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，即，，即，
因为，所以，即，
且，则，
所以.
故选：D
6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，A为C的右顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】由题意得，以为直径的圆的方程为，，
渐近线方程为，
联立，解得，
不妨令，
故，
因为，所以，
所以，解得，
故离心率.

故选：C
7. 已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】由题意知
，
当时，，即关于点成中心对称，
由于等差数列中，，故，
故，
，
故数列的前17项和为
，
故选：C
8. 已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与平面夹角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，由题意可知，，
中，根据余弦定理可知，则，
过点作平面，，连结，，连结，

因为平面，平面，所以
，且平面
所以平面，平面，
所以，又因为，所以，
同理，
中，，则，
根据等面积公式，，所以，，
又，所以，
则，
直线与平面夹角的夹角为，.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 关于下列命题中，说法正确的是（ ）
A. 若事件A、B相互独立，则
B. 数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78
C 已知，，则
D. 已知，若，则
【答案】AC
【解析】对于A，若事件A、B相互独立，则,
而，A正确；
对于B，数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95已为从小到大排列，共10个数，
又，故第45百分位数为第5个数74，B错误；
对于C，由于，，
故，则，
故，C正确；
对于D，由于，，
故，故，
故，D错误，
故选：AC
10. 已知函数，则（ ）
A. 的一个周期为2B. 的定义域是
C. 的图象关于点对称D. 在区间上单调递增
【答案】ACD
【解析】对于A，由可知其最小正周期，故A正确；
对于B，由可知，
故B错误；
对于C，由可知，
此时的图象关于点对称，故C正确；
对于D，由可知，
又在上递增，显然，故D正确.
故选：ACD
11. 如图，正方体的棱长为2，P是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）

A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 三棱锥的体积为
D. 以点B为球心，为半径的球面与面在正方体内的交线长为
【答案】ABD
【解析】对于A，为边长为的等边三角形，的最小值即该等边三角形的高，为，故A正确；

对于B，如图，将等边绕旋转到与平面共面，
显然，故B正确；
对于C，当P在D上时，，故C错误；
对于D，设点B到平面的距离为d,
，
，
，，
以点B为球心，为半径的球面与面在正方体内的交线是以中心为圆心，以为半径的圆，

如图，圆有一部分在正方体外，，由A得，
，所以，，
所以有圆周在正方体内部，其长度为，故D对.
故选：ABD.
12. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，与其准线交于点，为的中点，且，点是抛物线上间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与轴交于点，抛物线在、两点处的切线交于点，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线焦点的坐标为
B. 过点作抛物线的切线，则切点坐标为
C. 在中，若，，则的最大值为
D.
【答案】CD
【解析】对于A选项，抛物线的焦点为，准线方程为，
设点，因为为线段的中点，则，
由抛物线的定义可得，解得，则，A错；
对于B选项，由A选项可知，抛物线的方程为，点，
若切线的斜率不存在，则该直线与抛物线相交，且只有一个交点，不合乎题意，
所以，切线的斜率存在，设切线的方程为，
联立可得，则，解得，
所以，切点横坐标为，纵坐标为，故切点坐标为，B错；
对于C选项，过点作与直线垂直，垂足点为点，
由抛物线的定义可得，，
由图可知，当直线与抛物线相切时，锐角取最大值，
此时，取最大值，

由B选项可知，锐角的最大值为，故的最大值为，C对；
对于D选项，设点、，
若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立可得，，
由韦达定理可得，，对函数求导得，
所以，直线的方程为，即，
同理可知，直线的方程为，
因为，则，
联立可得，即点，
则，而，
所以，，则，
所以，，
由可得，所以，，D对
故选：CD.
三、填空题：本题共4小题.
13. 已知向量，，若，则____________.
【答案】
【解析】因为，，所以，
因为，所以，
解得.
故答案为：.
14. 的展开式中的系数为______.
【答案】
【解析】
【分析】展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中的系数为.
故答案为：
15. 过原点的动直线l与圆交于不同的两点A，B.记线段的中点为P，则当直线l绕原点转动时，动点P的轨迹长度为____________.
【答案】
【解析】由题意可知圆的圆心为，半径为，
根据圆的性质可知，则为直角三角形，即P在以为直径的圆上，
设中点为E，该圆半径为，易知，
又线段的中点为P，则P在圆的内部，如图所示其轨迹即.
因为，易得，则，
所以的弧长为.
故答案为：
16. 设是函数的两个极值点，若，则的范围为____________.
【答案】
【解析】由，可得，
因为是函数的两个极值点，
所以是的两根，当时，方程不成立，
故是的两根，即与的图象有两个交点，
令则，
当时，，当时，，
所以在单调递减；在上单调递增.
则图象如下图所示，

由图象可知：且
因为，所以，
当时，不妨令，
则，即，化简得，即，
当时，，
若，则，即的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，D为边上的一点，，且______________，求的面积．①是的平分线；②D为线段的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
解：（1）由正弦定理知，，
，
代入上式得，
，，，
，.
（2）若选①：由平分得：，
，
即.
在中，由余弦定理得，
，
联立，得，
解得，
若选②：得，
，
得，
在中，由余弦定理得，
，
联立，得，
18. 已知递增的等比数列满足，且，，成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前20项和.
解：（1）设公比为，因为，，成等差数列，所以，
所以，
解得或（舍去），
所以.
（2）根据题意得
.
19. 如图，在圆柱体中，，，劣弧的长为，AB为圆O的直径．

（1）在弧上是否存在点C（C，在平面同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；
（2）求二面角的余弦值．
解：（1）存在，当为圆柱的母线时，．证明如下：
连接BC，AC，，因为为圆柱的母线，所以平面ABC，
又因为平面ABC，所以．
因为AB为圆O的直径，所以．
又，平面，所以平面，
因为平面，所以．
（2）以为原点，OA，分别为y，z轴，垂直于y，z轴的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，
因为劣弧的长为，所以，，
则，．
设平面的法向量，
则，
令，解得，，所以．
因为x轴垂直平面，所以平面的一个法向量．
所以，
又二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
20. 某学校进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案.方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A投中的概率都为，选择方案B投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.
（1）若甲选择方案A投篮，乙选择方案B投篮，记他们的得分之和为X，，求X的分布列；
（2）若甲、乙两位员工都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？
解：（1）依题意，甲投中的概率为，乙投中的概率为，
于是得，解得，
X的所有可能值为0，2，3，5，
，，
，，
所以X的分布列为：
（2）设甲、乙都选择方案A投篮，投中次数为，都选择方案B投篮，投中次数为，
则，，
则两人都选择方案A投篮得分和的均值为，
都选择方案B投篮得分和的均值为，
则，
，
若，即，解得；
若，即，解得；
若，即，解得.
所以当时，甲、乙两位同学都选择方案A投篮，得分之和的均值较大；
当时，甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，得分之和的均值相等；
当时，甲、乙两位同学都选择方案B投篮，得分之和的均值较大.
21. 已知椭圆的焦距为，左、右顶点分别为，上顶点为B，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过且斜率为k的直线l与椭圆C在第一象限相交于点Q，与直线相交于点P，与y轴相交于点M，且．求k的值．
解：（1）由题意得，解得，
又，故，即，
又，解得，，
故椭圆方程为；
（2）直线l的方程为，，
与联立得，
设，则，解得，
因为点Q在第一象限，所以，解得，
直线方程为，与联立得，故，
中，令得，故，
因为，所以，
整理得，
即，化简得，
解得或，其中不满足，舍去，满足要求，
故.
22. 已知函数，函数的图象在点处的切线方程为.
（1）讨论的导函数的零点的个数；
（2）若，且在上的最小值为，证明：当时，.
解：（1）由题意，得的定义域为，.
显然当时，恒成立，无零点
当时，取，
则，即单调递增，
又，，
所以导函数存在唯一零点.
故当时，存在唯一零点，当时，无零点.
证明：（2）由（1）知，当时，单调递增，所以，所以.
因为，函数的图象在点处的切线方程为，
所以，所以.
又，所以，所以.
根据题意，要证，即证，只需证.
令，则.
令，则，
所以在上单调递增.
又，，
所以有唯一的零点.
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以.
又因，所以，所以，
故.0
2
3
5