山西省2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份山西省2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析），文件包含山西省2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题Word版含解析docx、山西省2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知，，且，其中i是虚数单位，则（ ）
A 10B. C. 2D.
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 将单词“”的7个字母填入编号从1到12的一排方格中，每个方格至多填入1个字母，且6号方格填字母“”，则得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有（ ）
A. 400种B. 350种C. 200种D. 150种
5. 天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展.10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作.比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形测得一座山的高（如图1），再于山顶T处悬一个直径为且可以转动的圆环（如图2），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得且，由此可以算得地球的半径（ ）
A. B. C. D.
6. 在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（ ）
A. 或B. 或C. D.
8. 已知点在抛物线：（）上，是上不同的两点（异于点），若直线，被圆：截得的弦长都为，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C 若，，则D. 若，，，则
10. 已知函数（），对任意，恒有，且在上单调递增，则（ ）
A.
B. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
C. 为奇函数
D. 在上的最大值为
11. 已知定义域为的函数满足，且，，则（ ）
A. B. 为偶函数
C D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在正四棱台中，，，则正四棱台的体积为_________.
13. 在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为_________.
14. 若，，则_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 数列的前项和为，，当时，.
（1）求证：数列是等差数列，并求的表达式；
（2）设，求数列的最大项的值.
16. 近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅印发《城市燃气管道等老化更新改造实施方案（2022―2025年）》.某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区1000个家庭中随机抽取了100个家庭燃气使用情况进行调查，统计了这100个家庭一个月的燃气使用量（单位：），得到如下频数分布表：
（1）若采用分层抽样的方法从燃气使用量在和这两组的家庭中随机抽取8个家庭，市政府决定从这8个家庭中抽取4个跟踪调查其使用情况，记随机变量表示这4个家庭中燃气使用量在内的家庭个数，求的分布列和数学期望；
（2）将这一个月燃气使用量超过22的家庭定为“超标”家庭.若该社区这一个月燃气使用量服从正态分布，其中近似为100个样本家庭的平均值，估计该社区中“超标”家庭的户数.（结果四舍五入取整数）
附：若X服从正态分布，则，，.
17. 如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置.
（1）求三棱锥外接球的表面积；
（2）当平面平面时，证明：，并求二面角的余弦值.
18. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线E：（，）两条渐近线的方程分别为，，直线l是E的切线，l分别交直线，于A，B两点（A，B分别在第一，四象限），且时，的面积为8.
（1）若E的离心率为，求E的方程；
（2）试探究：是否存在双曲线E，使的面积恒为8？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由.
19. 一般地，对于给定的两条直线：和：，把方程（（）为不全为0的实数）表示由和决定的直线系，当与相交时，是以与的交点为中心的中心直线系，当与平行时，该直线系称为平行直线系.在数学中把这种具有某种共同性质的直线的全体叫做直线系（或直线族）.记直线族（）为，直线族（）为.
（1）分别判断点，是否在直线族中的某条直线上，说明理由；
（2）若对于给定的实数（），点不在直线族中的任何一条直线上，求的取值范围；
（3）直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，求的包络.
燃气使用量(单位：)
频数
6
14
18
30
16
12
4