山西省2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题 含解析

这是一份山西省2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题 含解析，共18页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 已知点在抛物线， 已知函数等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，得到，根据并集概念求出答案.
【详解】，解得，故，
又，所以.
故选：B.
2. 已知，，且，其中i是虚数单位，则（ ）
A. 10B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用复数的乘法运算，再根据复数相等列方程计算求参，最后应用模长公式计算即可.
【详解】由得：，
所以解得，
所以.
故选:D.
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据指数函数，对数函数的单调性，结合零点存在定理判断零点所在区间进而得出判断.
【详解】函数在上单调递增，
，，故的零点，
由在上单调递增，
得，，
因此的零点，则.
故选:D.
4. 将单词“”的7个字母填入编号从1到12的一排方格中，每个方格至多填入1个字母，且6号方格填字母“”，则得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有（ ）
A. 400种B. 350种C. 200种D. 150种
【答案】B
【解析】
【分析】根据分布计数原理结合分类计数原理，再应用组合数运算计算即可.
【详解】第一类第一步：从1到5号方格中选出3个，填入“c”“”“l”这3个字母，有种方法；
第二步：从7到12号方格中选出3个，填入“e”“c”“t”这3个字母，有种方法，
所以得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有种；
第二类第一步：从1到5号方格中选出2个，填入“c”“”这2个字母，有种方法；
第二步：从7到12号方格中选出4个，填入“l”“e”“c”“t”这4个字母，有种方法，
所以得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有种.
所以得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有种.
故选:B.
5. 天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展.10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作.比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形测得一座山的高（如图1），再于山顶T处悬一个直径为且可以转动的圆环（如图2），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得且，由此可以算得地球的半径（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数知识得到方程，求出.
【详解】由图可知，，故，解得.
故选：B.
6. 在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，得，再两边平方求解即可.
【详解】
由，则①，
又②，
由①+②可得，即，
故，设与夹角为，
则，解得.
故选：C．
7. 已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线方程结合切线有且仅有1条，令判别式为即可求解.
【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，
所以切线方程为，
因为直线过点，则，
化简得，
又因为切线有且仅有1条，即，解得或2，
故选：A
8. 已知点在抛物线：（）上，是上不同的两点（异于点），若直线，被圆：截得的弦长都为，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用点在抛物线上求出抛物线方程，设，，得到直线，方程，再利用垂径定理求解即可.
【详解】因为点在抛物线：（）上，
所以，解得，即的方程为，
设，，所以直线的方程为，
因为直线被圆：截得的弦长为，
所以，整理得，即，即，
同理可得，
所以直线的方程为，
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据空间线面位置关系，逐个判断即可；
【详解】，时，或，A错误；
若，，则，B正确；
若，，由线面垂直性质定理知，C正确；
，，，如图，
过m作平面交于直线l，由得，
同理过m作平面与交于直线p，得，所以，而，所以，
又，，则，所以，D正确.
故选：BCD.
10. 已知函数（），对任意，恒有，且在上单调递增，则（ ）
A.
B. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
C. 奇函数
D. 在上的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先利用辅助角公式化简，再根据正弦型函数的单调性和最值列不等式组求出判断A，再根据正弦函数的平移变换、奇偶性、单调性判断BCD即可.
【详解】由题意可知，，
因为对，恒有，
所以是函数的一个最值点，即，解得，，
当时，，又函数的单调递增区间为，，
所以，，即解得，，
当时，，此时，符合题意，所以，，故A正确；
对于选项B：的图象应由向右平移个单位长度得到，故B错误；
对于选项C：，为奇函数，故C正确；
对于选项D：由得，所以，即函数的最大值为，故D正确；
故选：ACD
11. 已知定义域为的函数满足，且，，则（ ）
A. B. 为偶函数
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】通过分别令，，及，，及，可判断A，通过分别令及 即可判断B，
通过令，得到即可判断C，由，确定4为的一个周期，进而可判断D.
详解】令，，则，所以，
令，，则，所以，
令，，则，所以，故A错误；
令，则，
所以，则，
令，则，所以，所以，
所以为偶函数，故B正确；
令，则，
所以，则，
所以，故C正确；
由，得，所以4为的一个周期，
由，得，，
所以，
所以，D正确.
故选：BCD.
【点睛】难点点睛：本题难点在于合理赋值，利用对称性求得周期，然后即可求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在正四棱台中，，，则正四棱台的体积为_________.
【答案】##
【解析】
【分析】作出辅助线，得到棱台的高，利用台体体积公式计算即可.
【详解】如图，在正四棱台中，，
则，.
过点作交于点E，过点作交于点F，
则，又，所以，
即正四棱台的高，
所以正四棱台的体积
.
故答案为：
13. 在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为_________.
【答案】
【解析】
【分析】将点，代入椭圆方程，两式相加，代入斜率的坐标公式可得，再代入中点的坐标公式化简即可求解.
【详解】因为点，在椭圆：上，所以，
两式相加可得，即，
又因为直线，的斜率之积为，所以，可得，
所以，
设中点为，则，，
所以，即，
即中点的轨迹方程为，
故答案：
14. 若，，则_________.
【答案】##
【解析】
【分析】先利用正弦和余弦的两角和差公式化简，再利用同角三角函数关系求解即可.
【详解】因为
，
，
所以，故，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 数列的前项和为，，当时，.
（1）求证：数列是等差数列，并求的表达式；
（2）设，求数列的最大项的值.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用与的关系可得，结合等差数列的定义求解即可；
（2）利用作差法分析数列的最大项即可.
【小问1详解】
当时，数列的前项和为，满足，
即，
整理可得，
因为，则，即，可得，
假设当时，，则，
所以对任意的，，
在等式，两边同时除以可得，
所以数列为等差数列，且其首项为，公差为2，
所以，得.
【小问2详解】
由（1）得，
则，
当时，；当时，，
所以，
故数列的最大项为，其值为.
16. 近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅印发《城市燃气管道等老化更新改造实施方案（2022―2025年）》.某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区1000个家庭中随机抽取了100个家庭燃气使用情况进行调查，统计了这100个家庭一个月的燃气使用量（单位：），得到如下频数分布表：
（1）若采用分层抽样的方法从燃气使用量在和这两组的家庭中随机抽取8个家庭，市政府决定从这8个家庭中抽取4个跟踪调查其使用情况，记随机变量表示这4个家庭中燃气使用量在内的家庭个数，求的分布列和数学期望；
（2）将这一个月燃气使用量超过22的家庭定为“超标”家庭.若该社区这一个月燃气使用量服从正态分布，其中近似为100个样本家庭的平均值，估计该社区中“超标”家庭的户数.（结果四舍五入取整数）
附：若X服从正态分布，则，，.
【答案】（1）分布列见解析，1
（2）159个
【解析】
【分析】（1）先利用分层抽样的概念求出在和这两组的家庭中随机抽取的家庭个数，进而得到的所有可能取值，根据古典概型的概率公式求分布列，再根据分布列和期望公式求期望即可；
（2）根据频数分布表求出平均值，再根据正态分布的性质求解即可.
【小问1详解】
燃气使用量在的家庭个数为：（个），
在的家庭个数为：（个），
则的所有可能取值有0，1，2，
，，，
则的分布列为
所以.
【小问2详解】
由题意知这100个样本家庭的平均值，
所以，
又，估计该社区中“超标”家庭的户数为159个.
17. 如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置.
（1）求三棱锥外接球的表面积；
（2）当平面平面时，证明：，并求二面角的余弦值.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）确定外接球球心即为的中点，即可求解；
（2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；
【小问1详解】
解：因为和均为以为斜边的直角三角形，
所以三棱锥的外接球球心即为的中点，半径，
所以外接球表面积.
【小问2详解】
证明：当平面平面时，
因为，平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，设P点坐标为（），
由，，得
解得，，即P点坐标为，
，.
设平面，
所以所以令，得，
易知为平面的一个法向量，
所以，
因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
18. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线E：（，）的两条渐近线的方程分别为，，直线l是E的切线，l分别交直线，于A，B两点（A，B分别在第一，四象限），且时，的面积为8.
（1）若E的离心率为，求E的方程；
（2）试探究：是否存在双曲线E，使的面积恒为8？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合对称性求出三角形面积关系，进而求出即可.
（2）由（1）可得存在的双曲线方程，再验证切线斜率不存在的情况即可得解.
【小问1详解】
双曲线E的渐近线方程分别为，，
由双曲线E的离心率为，得，解得，
当时，由对称性知，直线l方程为，此时的面积为，
则，所以双曲线E的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，当轴时，双曲线E的方程为，
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程满足条件，
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为，直线l与x轴交于点C，
依题意，得或，则，记，.
由得，同理得，
由得，
而，由直线l与双曲线E相切，得，
于是，即，
因此，
所以存在双曲线E，使的面积恒为8，且E的方程为.
19. 一般地，对于给定的两条直线：和：，把方程（（）为不全为0的实数）表示由和决定的直线系，当与相交时，是以与的交点为中心的中心直线系，当与平行时，该直线系称为平行直线系.在数学中把这种具有某种共同性质的直线的全体叫做直线系（或直线族）.记直线族（）为，直线族（）为.
（1）分别判断点，是否在直线族中的某条直线上，说明理由；
（2）若对于给定的实数（），点不在直线族中的任何一条直线上，求的取值范围；
（3）直线族包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，求的包络.
【答案】（1）点在点不在，理由见解析
（2）
（3）（）
【解析】
【分析】（1）根据直线族的定义，将点，代入求是否有实数解即可；
（2）根据直线族的定义，原问题可转化为关于的方程在上无解，令（），利用导数求的单调性进而求出值域即可求解；
（3）根据直线族中的取值范围猜测包络线的方程，再用包络线的切线方程进行验证，从而确定所求的方程为包络线方程.
【小问1详解】
将代入（），得，解得，
所以直线方程为，故点在直线族中的直线上；
将代入（），得，显然，方程无解，
所以点不在直线族中的任何一条直线上.
【小问2详解】
因为对于给定的实数（），点不在直线族中的任何一条直线上，
则关于的方程在上无解，即关于的方程在上无解，
令（），则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又当时，，
故的值域为，又无解，
所以，即实数的取值范围为.
【小问3详解】
由（2）可以猜测直线族的包络为（），则，
下面证明（）为直线族的包络，
①在曲线（）上任取一点，则，
此时的切线方程为，即为，故曲线在每一点处的切线为中的直线；
②在中任取一条直线，由①知，在曲线（）上存在一点，使得在该点处的切线为，
由①②知，（）为直线族的包络.
【点睛】难点点睛：新定义出题的特点，就是先给出一段材料，然后利用材料中的有用信息解决题目，关键是理解定义，把要解决的问题转化为材料中的公式或者概念，难度较大.
燃气使用量(单位：)
频数
6
14
18
30
16
12
4
0
1
2