2025届山西省太原市高三(上)期中考试数学试卷（解析版）

这是一份2025届山西省太原市高三(上)期中考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，解得或，
或，
所以.
故选：D.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以.
故选：B.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】或，，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
4. 已知，，若，则实数（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】A
【解析】，
因为，
所以，
解得：，
故选：A
5. 已知奇函数在0,+∞上是减函数，则fx可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A:由，可知在上不是减函数，错误；
对于B：当，，又在上都是减函数，故在上是减函数，正确；
对于C：由，可知在上不是减函数，错误；
对于D：当，，
又在上都是减函数，所以在上是增函数，故错误.
故选：B
6. 已知是等比数列，且，，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由已知等比数列，，设公比为，
所以，
所以，
解得，
所以，，
所以，A选项错误；
，B选项错误；
，C选项正确；
，D选项错误；
故选：C.
7. 已知的三个顶点在半径为2的球的球面上，，，，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示
，，，
则，
所以，，易知直角三角形，,
所以的外接圆的圆心为的中点，半径，
连接,因为点为球心，所以平面，
即的长为点到平面的距离，
在中，，
，
.
所以三棱锥的体积为.
故选：A
8. 已知函数（）在上单调，在上存在极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数，令，
则其减区间为，增区间为，，
由函数在上单调，则，解得，
①当函数在上单调递减时，则，解得，
由，则，；
②当函数在上单调递增时，则，解得，
由，则不符合题意；
易知当，即时，函数取得极值，
可得，解得，由，则，，
综上所述，.
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知中，角所对的边分别是且，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 是锐角三角形B.
C. 的面积为D. AB的中线长为
【答案】BC
【解析】对于A，由题意可知边最大，所以角为的最大内角，
易知，因此角为钝角，可得A错误；
对于B，易知，又，可得，即B正确；
对于C，由，可得的面积为，即C正确；
对于D，设AB的中线为，易知，可得，即D错误.
故选：BC
10. 已知定义域为的函数满足对于任意x，，都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的图象关于点1,0对称
C. 的图象关于直线对称D.
【答案】AC
【解析】对于A，令，可得，
由，则，解得，
令，可得，故A正确；
对于B，由题意可知在函数的图象上，而点关于的对称点为，
易知不在函数的图象上，故B错误；
对于C，设点在函数的图象上，点关于直线x=1的对称点为，
当点在函数的图象上时，函数的图象一定关于直线x=1对称，
此时由，可得，
令，可得，则，故C正确；
对于D，令，可得，则，
当时，令，可得，
则，所以；
当时，令，可得，
则，，
所以，
综上所述，，故D错误.
故选：AC.
11. 已知直三棱柱中，，，与平面ABC和平面所成角均为，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线AB与平面所成角为B. 直线与平面所成角为
C. 点C到直线的距离为D. 点C到平面的距离为
【答案】BCD
【解析】因为平面，则与平面ABC所成的角为，
且，则，
因为平面，平面，则，
且，，平面，可得平面，
又因为∥，则平面，
可知与平面所成角均为，则，
可得，
对于选项A：设点B到平面的距离为，
因为，即，解得，
设直线AB与平面所成角为，
则，所以直线AB与平面所成角不为，故A错误；
对于选项B：因为平面，平面，则，
且，，平面，可得平面，
可知直线与平面所成角为，
则，所以直线与平面所成角为，故B正确；
对于选项C：在中，，
设点C到直线的距离为，
由的面积可得：，解得，
所以点C到直线的距离为，故C正确；
对于选项D：设点C到平面的距离为，
因为，即，解得，
所以点C到平面的距离为，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知是等差数列的前项和，且，，则__________.
【答案】145
【解析】由，及，，
可得：，，
所以即，
所以，
所以.
13. 已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】由题意可得，则，解得，
由函数在上单调递减，
则，可得，解得.
14. 如图，扇形的半径为，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值为__________.

【答案】
【解析】如图所示，
过点作于点，交于点，
则
设，，则，
又，
所以，，
由矩形可知，
在中，，
所以，
则
又，则，
则当，即时，最大为.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，.
（1）求；
（2）若是奇函数，当时，求的值域.
解：（1）由题意得，∴，
∴；
（2）由题意得的定义域为，且是奇函数，
∴，∴，经检验合题意，
∴，
因为，在上单调递增，
所以上单调递增，，，
∴当时，的值域为.
16. 已知单调递增的等比数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设（），是数列的前n项和，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）设的公比为q，
则，
解得或（舍去），
∴（）；
（2）由（1）可得（），
∴，①
∴，②
①－②，整理得，
所以对于任意的，不等式恒成立，
即不等式对于任意的恒成立，
∴，解得，
∴实数的取值范围是.
17. 已知函数，x∈R，设锐角三个角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）若，，，求b，c的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若，，，求的取值范围.
解：（1）由题意得，
∴，
∵，∴，∴，
∵，由正弦定理可得，即，
∵，由余弦定理得，
∴，；
（2）由题意得，∴，
∵，∴，∴，
∴，
而，故，∴，∴，
∴的取值范围为.
18. 如图，三棱锥中，，，，为中点，点满足.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
（1）证明：连接，
∵，，
∴是正三角形，
∴，
同理可得，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在平面内，
∴平面；
（2）解：由（1）得，，，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则A1,0,0，，，P0,0,1，
∵，
∴，
显然是平面的一个法向量，
设m=x,y,z是平面的一个法向量，则，
∴.
取，则，，
∴，
∴，
∴由题可知二面角为钝角，故二面角的大小为；
（3）解：假设存在点，设（），则，
∴，
∵直线与平面所成角的正弦值为，
∴，
∴或（舍去），
∴.
19. 已知函数，令，过点作曲线y=fx的切线，交轴于点，再过作曲线y=fx的切线，交轴于点，……，以此类推，得到数列（）.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）若数列的前项和为，求实数的值；
（3）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
（1）证明：由题意得曲线y=fx在点处的切线方程为
，即，
令，解得，则，即（），
所以数列是以为首项、为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可得（），
所以，
所以数列是以为首项、为公比的等比数列，
其前4项的和为，
所以实数；
（3）解：原不等式等价于0,+∞上恒成立，
令，，则，
令，，则，
所以在0,+∞上递减，所以，
令h'x