必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教案

这是一份必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教案，共6页。

课题
正弦定理
课型
新授课
课时
2
学习目标
能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.
2.能用向量方法发现和证明正弦定理.
3.会用正弦定理求解已知两边和其中一条边的对角、已知两角和夹边等解三角形问题.
学习重点
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理.
2.运用正弦定理解三角形.
学习难点
1.正弦定理的证明.
2.正弦定理在解三角形中的应用.
学情分析
本节课与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。并为以后学习余弦定理提供了方法上的模式，为运用正、余弦定理解决测量、工业、几何等方面的实际问题提供了理论基础，使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发他们的学习兴趣。而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，正弦定理的知识非常重要。
核心知识
运用正弦定理解三角形.
教学内容及教师活动设计
（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）
教师个人复备
情景引入
探究问题 ：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其 夹角、已知三边直接解三角形的公式．如果已知两角和一边， 是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论.实际 上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系.从量 化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：
在 中，设 的对边为 a, B 的对边为b ，求 A, B, a, b之间的定量关系.
如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在 中，已知“ A, B, a 求b ”的问题.
我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.根据 锐角三角函数，在 中（如图），有

这两个式子有共同元 c ，
利用它把两个式子联系起来，可得
又因为 sin C = sin 90。= 1 ，上式可以写成边与它的对角的正弦
的比相等的形式，即
在直角三角形中，有
对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否任然成立？
因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量的方 法来研究.
我们希望获得 中的边 a, b, c 与它们所对角 A, B, C 的 正弦之间的关系式．在向量运算中，两个向量的数量积与长 度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究.
思考 1：向量的数量积运算中出现的是角的余弦,而我们 需要的是角的正弦，如何实现转化？
由诱导公式 可知，我们可以通过构造角
之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系. 下面先研究锐角三角形的情形.
---→
---→
如图，在锐角 中，过点 A 作与 AC 垂直的单位向量
j ，则 j 与的夹角为 的夹角为 .
---→ -- ---→ ---→ -- ---→
因为
所以
由分配律，得 j .
也即a sin C = c sin A, 所以
同理如下图在钝角中，同理可得上述结论.
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即 这个公式表达形式的统一性、对称性，不仅使结果更和谐优美，而且更突显了三角形边角关系的本质.
问题：利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？
正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的 角的正弦之间的一个定量关系.利用正弦定理，可以解决“ 已 知两角和一边，解三角形 ”和“ 已知两边和其中一边的对角， 解三角形 ”的问题.
正弦定理的拓展：

例题讲解

例9
（1）在△ABC中，A＝60°，a＝6eq \r(3)，则eq \f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________.
解析：由正弦定理得eq \f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq \f(a,sinA)＝eq \f(6\r(3),sin60°)＝12.
(2)在△ABC中，a＝2bcsC，则△ABC的形状为________．
解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，代入式子a＝2bcsC，得2RsinA＝2·2R·sinB·csC，所以sinA＝2sinB·csC，即sinB·csC＋csB·sinC＝2sinB·csC，化简，整理，得sin(B－C)＝0.
∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B＝C.答案：等腰三角形
(3)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cs A∶cs B∶cs C＝________.
解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，
设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(2k2＋4k2－3k2,2×2k×4k)＝eq \f(11,16)，同理可得：cs A＝eq \f(7,8)，cs C＝－eq \f(1,4)，
∴cs A∶cs B∶cs C＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4).
课堂小结
叙述正弦定理及拓展
课堂练习
课堂小结
叙述正弦定理及拓展形式
板书设计
正弦定理
正弦定理拓展
作业设计
正弦定理作业
教学反思
1. 增加探究式学习环节，让学生通过测量不同三角形的边角，自主归纳比例关系。
2. 设计跨学科项目，如结合物理中的力的分解问题，体现数学工具性。
3. 利用思维导图梳理解三角形的知识网络，明确正弦定理的定位。