高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算教学设计，共10页。教案主要包含了预设的答案，设计意图，活动预设等内容，欢迎下载使用。
课题
6.2.2 向量的减法
课型
新课型
课时
1课时
学习目标
1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法运算及运算规则，并理解其几何意义.
2.类比向量加法的三角不等式，探究向量减法的三角不等式，并学会简单的应用.
学习重点
教学重点：向量减法的运算和几何意义；
学习难点
教学难点：对向量减法定义的理解，向量的三角不等式.
学情分析
学生已经学习了平面向量的加法运算及几何意义，会运用三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和向量，具备了一定的作图能力，这为学习向量的减法运算打下了很好的基础.类比数的减法运算时，应让学生注意对“被减数”的理解.
核心知识
1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义.
2.掌握向量减法的几何意义.
3.能熟练地进行向量的加、减综合运算
教学内容及教师活动设计
（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）
教师个人复备
1.创设问题，类比数的减法运算定义向量的减法运算
问题1：（1）在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”. 类比数的减法，如何定义向量的减法法则？
（2）类比实数的相反数是，对于向量，你能定义“相反向量”吗？它有哪些性质？
（3）你认为向量的减法该怎样定义？
【预设的答案】（1）先定义相反向量；（2）与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，性质如下：①；②零向量的相反向量仍是零向量；③；④如果互为相反向量，那么，，；（3）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
【设计意图】引导学生类比数的减法，故要定义向量的减法就得先定义相反向量；实数的相反数是，定义相反向量并得出其性质，为帮助学生探讨向量的减法法则进行准备；进而联想数的减法的定义，积极思考、尝试定义向量的减法.
eq \\ac(○,?)思考
在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？
与数x的相反数是－x类似，我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作－．由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此和－互为相反向量，于是
－(－)＝．
我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．
2. 动手实践，理解向量减法的几何意义
问题2：已知向量，向量的几何意义是什么？
活动：学生自己画图、探索、小组交流，教师组织学生代表展示，讲解.
【活动预设】
如图1，，，，连接，由向量减法的定义知
在四边形中，平行与且等于，所以是平行四边形，所以
教师讲授：（向量减法的作图步骤）如图2，已知向量，在平面内任取一点（强调共起点），作，，则，即可以表示为从减向量的终点指向被减向量的终点的向量（需格外强调向量减法的结果的方向，明确向量减法的几何意义）.
【设计意图】让学生明确向量减法的几何意义.
追问：（1）在图中，如果从的终点到的终点作向量，那么所得向量是什么？
(2) 如果改变图中向量的方向，使∥，怎样作出呢？
【预设的答案】（1）向量；（2）当向量共线时，详见向量的三角不等式.
由两个向量和的定义易知
＋(－)＝(－)＋＝，
即任意向量与其相反向量的和是零向量．这样，如果，互为相反向量，那么
＝－，＝－，＋＝．
向量加上的相反向量，叫做与的差，即
－＝＋(－)．
求两个向量差的运算叫做向量的减法．
我们看到，向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
◆探究
向量减法的几何意义是什么？
如图6.2-10，设＝，＝，＝－，连接AB，
由向量减法的定义知
．
在四边形OCAB中，OBeq \\ac(\s\up14(‖),\s\d5(＝))CA，所以OCAB是平行四边形．
所以．
由此，我们得到－的作图方法．
如图6.2-11，已知向量，，在平面内任取一点O，作，，则，即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
eq \\ac(○,?)思考
(1)在图6.2-11中，如果从的终点到的终点作向量，那么所得向量是什么？
(2)如果改变图6.2-11中向量的方向，使∥怎样作出－呢？
【设计意图】
在形成概念后，遵循从一般到特殊的思路，在实践活动中进行再认识，熟悉概念，从外延的角度加深概念的理解，为下一个环节作铺垫；类比上一小节学习向量的加法运算时所学的向量的三角不等式，探究有关向量减法的三角不等式.
应用新知
例3 如图6.2-12(1)，已知向量，，，，求作向量，．
作法：如图6.2-12(2)，在平面内任取一点，作，，，．
则，．
题型总结：化简向量的一般思路：
（1）转化为向量的加法：首尾相接；（2）直接计算向量的减法：两向量共起点（起点的字母必须相同）.
【变式】如图所示，解答下列各题：
(1)用表示；
(2)用表示；
(3)用表示；
(4)用表示.
【答案】(1).
(2)
(3)
(4)
【知识点】相反向量、向量加法的法则、向量减法的法则
【分析】（1）由向量的加法运算求解即可；
（2）由向量的减法运算和相反向量的定义求解即可；
（3）由向量的加法运算求解即可；
（4）由向量的加法运算和相反向量的定义求解即可；
【详解】（1）因为.
（2）因为.
（3）因为.
（4）因为.
对于相反向量的两点说明
(1)相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
(2)避免一个误区：即将相反向量等同于方向相反的向量，而是方向相反且模相等的向量．
例4 如图6.2-13，在□ABCD中，，，你能用，表示向量，吗？
解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道．
同样，由向量的减法，知．
【变式】如图，已知，，，，试用表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】向量减法的法则
【分析】由向量减法法则进行求解.
【详解】（1）
（2）
（3）
对向量减法的三点说明
(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，，就可以把减法转化为加法.
(2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点．
(3)向量减法满足三角形法则. 在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
课堂总结
知识清单：
相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
设向量，我们把与长度相同，方向相反的向量叫做的相反向量。
记作：。
规定：的相反向量仍是。
向量减法的概念：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算叫做向量的减法．
3.向量减法的几何意义。
4.注意点：
(1)零向量的相反向量仍是零向量．
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．
板书设计
6.2.2向量的减法运算
一'、向量减法
二、例题讲解
作业设计
教材第12〜13页练习第1,2题.
习题6.2 4（5）、（6）、（7）
教学反思