新高考数学三轮复习考前冲刺练习09 解析几何小题综合（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2023·广东湛江·统考二模）若与轴相切的圆与直线也相切，且圆经过点，则圆的直径为（ ）
A．2B．2或C．D．或
【答案】B
【分析】根据题意设出圆的方程，代入点的坐标可求圆的方程，从而可得圆的直径.
【详解】因为直线的倾斜角为，
所以圆的圆心在两切线所成角的角平分线上．
设圆心，则圆的方程为，
将点的坐标代入，得，
整理得，解得或；
所以圆的直径为2或．
故选：B.
2．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）平行四边形ABCD内接于椭圆，椭圆C的离心率为，且AB，AD的倾斜角分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，则，将点的坐标代入椭圆方程作差得到，也即，然后利用两角和与差的余弦公式和同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】设，，，
∴，，相减整理得，
即，．
∵，
∴，
故选：D.
3．（2023·河北张家口·统考一模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】运用双曲线定义求得a、c的值，进而求得两条渐近线方程，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由，得．
因为，
所以．
又因为，
所以，
故双曲线的方程为，
所以两条渐近线的方程为．
设，则，
故．
不妨设，则，
所以，
所以．
故选：B．
4．（2023·福建·统考模拟预测）已知双曲线（，）的渐近线与交于第一象限内的两点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的渐近线公式和角度之间的关系求出进而求出双曲线的离心率即可.
【详解】满足，又满足，故，轴，，
可得，．
故选：B．
5．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出图形，分析可知当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值.
【详解】如下图所示：
直线的斜率为，倾斜角为，故，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
易知直线交轴于点，所以，，
由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，
由圆的几何性质可知，且，则，
故.
故选：A.
6．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为左顶点，B为短轴的一个端点，若，，构成等比数列，则圆C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由等比数列性质得出关于的齐次方程，变形后可求得离心率．
【详解】由题可知，因为，，构成等比数列，
所以，即，即，
所以，解得或（舍）．
故选：D．
7．（2023·浙江·统考二模）已知是圆上一点，是圆的直径，弦的中点为.若点在第一象限，直线、的斜率之和为0，则直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可得圆的方程，设直线的斜率为，则直线的方程为，代入圆的方程可得的坐标，从而可得的坐标，于是根据斜率关系可解得的值，由于点在第一象限，对的值进行取舍，即可得所求.
【详解】已知是圆上一点，所以
设直线的斜率为，则直线的方程为，所以，
则，恒成立，所以
由于，所以，则，由于是圆的直径，
所以，则弦的中点为坐标为
因为直线、的斜率之和为0，所以，整理得
解得或，又点在第一象限，所以，故，即直线的斜率是.
故选：C.
8．（2023·重庆·统考模拟预测）已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求出，转化为直线上存在与C距离为2的点，利用点到直线距离建立不等式求解即可.
【详解】由可得，
圆心，半径，
过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，
连接，如图，
由知，，又，
所以，
由题意，只需直线上存在与圆心距离为的点即可，
即圆心到直线的距离，
解得，
故选：C
9．（2023·湖南·校联考二模）已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，可得M点的坐标为，则，即可得答案.
【详解】设，令，
则
，则M.
如图，当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，为，即直线到点M距离，为.
故选：D
10．（2023·江苏南通·二模）已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，有，，，由弦长公式可得，，四边形AMBN的面积为，解得，可求双曲线的离心率.
【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，
圆O：，圆心为，半径为，
设，，点P在双曲线上，，则有，，可得，
过O作MN的垂线，垂足为D，O为的中点，则，，
同理，，由，
四边形AMBN的面积为，
，化简得，则有，则C的离心率.
故选：D
二、多选题
11．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知P，Q是双曲线上关于原点对称的两点，过点P作轴于点M，MQ交双曲线于点N，设直线PQ的斜率为k，则下列说法正确的是（ ）
A．k的取值范围是且B．直线MN的斜率为
C．直线PN的斜率为D．直线PN与直线QN的斜率之和的最小值为
【答案】ABC
【分析】因为直线与双曲线两支各有一个交点，则斜率k在两条渐近线斜率之间可判断A；设点，，，表示出可判断B；由双曲线的第三定义知，再结合，求出可判断C；由均值不等式可判断D.
【详解】设点，，，直线与双曲线两支各有一个交点，
则斜率k在两条渐近线斜率之间，即且，选项A正确；
∵，，选项B正确；
设，则，
，
因为，在双曲线上，
所以，两式相减，则，
所以，
又，∴，选项C正确；
，当且仅当，即时取等，即，
但，所以等号无法取得，选项D错误．
故选：ABC.
12．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知点在圆：上，点，，则（ ）
A．点到直线的距离的最小值是B．的取值范围是
C．的取值范围是D．当为直角三角形时，其面积为3
【答案】ACD
【分析】根据圆心到直线的距离即可判断A；由，求出的范围，即可判断B；当到圆相切时，若点在第一象限，此时最小，若点在第二象限，此时最大，通过角度的计算得出的取值范围，即可判断C；当为直角三角形时，求出点到直线的距离，进而求出面积即可判断D．
【详解】由题可知直线的方程为：，，
对于A：因为圆心到直线的距离是，
所以点到直线的距离的最小值是，故A正确；
对于B：记线段的中点为，则，
则，
因为，
所以的取值范围是，故B错误；
对于C：由题可知，，
当到圆相切时，若点在第一象限，此时最小，
因为，，所以，
所以；
若点在第二象限，此时最大，同理可得，
所以的取值范围是， 故C正确；
对于D：因为的取值范围是，同理可得的取值范围是，
所以当为直角三角形时，，则，
设点坐标为，
则，
得点在直线上，
所以点到直线的距离为，
所以面积为，故D正确；
故选：ACD．
13．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，研究发现：平面和直线所成的角为，该圆锥侧面与平面的交线为曲线.当时，曲线为圆；当时，曲线为椭圆；当时，曲线为抛物线；当时，曲线为双曲线.则下列结论正确的为（ ）
A．过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2
B．的取值范围为
C．若为线段上的动点，则
D．若，则曲线必为双曲线的一部分
【答案】ACD
【分析】A选项，设，表达出截面面积，利用基本不等式求出最大值；B选项，可举出反例得到；C选项，将立体图形展开，得到三点共线时，取得最小值，利用余弦定理求出最小值；D选项，由二倍角公式得到，根据得到，D正确.
【详解】对选项A：如图1，设截面为为中点，连接，设，则，当，即时等号成立，A正确；
对选项B：如图2，中，，则当时，，B错误；
对选项C：如图3，为等腰直角三角形，，将放平得到，当三点共线时最小，为中点，连接，则，
，C正确；
对选项D：由，可解得或者，而，
所以，从而该圆锥侧面与平面的交线必为双曲线的一部分，D正确.
故选：ACD.
【点睛】立体几何中截面的处理思路：
（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；
（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；
（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；
（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.
14．（2023·广东·统考模拟预测）双曲线的左右焦点分别为，，P为双曲线右支上异于顶点的一点，的内切圆记为圆，圆的半径为，过作的垂线，交的延长线于，则（ ）
A．动点的轨迹方程为
B．的取值范围为（0，3）
C．若，则
D．动点的轨迹方程为
【答案】ABD
【分析】由双曲线的定义和切线长的性质即可判定A的正误；根据双曲线渐近线的性质，可知B的正误，利用，可求出点坐标，从而可得C的正误； 由过内切圆的圆心和，得为的中点，再根据双曲线的定义得，从而可得动点的轨迹方程.
【详解】设，设的内切圆分别与边，，切于，，三点，如图所示.
A选项：由题知，,，
，
所以，，显然，故A正确；
B选项：根据对称性，不妨假设点在轴上方，根据A选项可设，
双曲线的一条渐近线为，考虑点在无穷远时，直线的斜率趋近于，此时的方程为，
此时圆心到直线的距离为，解得，
所以的取值范围为（0，3），故B正确；
C选项：时，，，此时，
所以，，因为，，所以，故C错误；.
D选项：分别延长，交于点，
因为过内切圆圆心，所以为角平分线，且 ，
所以，且为的中点，所以.
又因为点为的中点，为的中点，所以 ，
所以动点的轨迹方程为，显然，
又考虑点在无穷远时，此时直线趋近于渐近线，直线为，
联立方程组，解得，所以点的横坐标，
动点的轨迹方程为.故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：解析几何中三角形内切圆的转化方法：
（1）圆外一点向圆引切线，切线长相等；
（2）圆心与三角形三个顶点的连线分割成的三个三角形的面积和等于大三角形的面积；
（3）圆心是三角形内角平分线的交点，利用角平分线的性质进行转化.
15．（2023·浙江·统考二模）抛物线的焦点为，准线交轴于点，点为准线上异于的一点，直线上的两点，满足（为坐标原点），分别过，作轴平行线交抛物线于，两点，则（ ）
A．B．
C．直线过定点D．五边形的周长
【答案】ABD
【分析】对于选项A，通过设出，利用条件求出，再通过求出和的值，从而判断出选项A的正误；对于选项B，通过求的值，得到，从而得出，即选项B正确；对于选项C，通过求出直线直线的方程，进而可判断点是否在直线上，从而判断出选项C的正误；对于选项D，利用抛物线的定义，将五边形的周长转化成求，再利用条件得到周长关于的函数，再利用不等式的基本性质即可判断出选项D的正误.
【详解】如图，不妨设，点在轴上方，
因为，则，易得，设，则，得到，所以，且，即，
选项A，如图，令，，，则，
因为，，，，
所，
所以，所以选项A正确；
选项B，因为，，则，
所以，即，选项B正确；
选项C，易知直线斜率存在，设直线的斜率为，，将代入，
得到，所以，同理可得，
所以，
所以直线的方程为，
假设直线过定点，则有，
得到，即，不对恒成立，所以选项C不正确；
选项D，由抛物线的定义知，，所以五边形的周长，
又因为，，，，，
所以
，
又因为，所以，
，
所以，故选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】解决解析几何问题，关健在于通过几何条件，把几何问题转成代数问题来求解.
三、填空题
16．（2023·辽宁锦州·统考二模）写出过点且与圆相切的一条直线的方程___________.
【答案】或
【分析】考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径解得答案.
【详解】圆，圆心，半径，
当直线斜率不存在时，验证知满足条件；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得，故直线方程为，
即.
综上所述：直线方程为或.
故答案为：或
17．（2023·河北张家口·统考一模）已知点为椭圆的右焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为，则C的离心率为__________．
【答案】
【分析】运用点差法及中点坐标公式代入可求得a、c关系式 ，结合离心率公式即可求得结果.
【详解】设，，代入椭圆的方程可得，．
两式相减可得①，
又因为，，，
所以代入①可得：，化简得．
经检验符合题意.
又因为，
所以，
故离心率．
故答案为：.
18．（2023·福建·统考模拟预测）写出过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程___________.
【答案】（只需填其中的一个即可）
【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心、半径.根据弦长，得出圆心到直线的距离.先判断斜率不存在时是否满足，然后设出斜率，得出直线方程，表示出圆心到直线的距离，得出方程，即可解出的值.
【详解】圆的方程可化为，圆心为，半径，
由弦长为可得，圆心到直线的距离.
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心在直线上，弦长为，不满足题意，所以直线的斜率存在.
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
此时圆心到直线的距离，解得.
所以，直线的方程为或.
故答案为：.
19．（2023·重庆·统考模拟预测）已知圆及圆，若圆上任意一点，圆上均存在一点使得，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】问题转化为为射线与圆交点时，使过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为，则有，为圆半径，即可求范围．
【详解】由，即在上运动，而为圆上任意一点，
要使圆上存在一点使，
即过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为即可，
所以，只需为射线与圆交点时，使过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为，
如上图，上述两条垂线刚好与圆相切为满足要求的临界情况，
所以，只需，为圆半径，即，
又，故，可得.
故答案为：
20．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l倾斜角为，交C于两点，过两点分别作C的切线，，其交点为，，与x轴的交点分别为，则四边形的面积为________.
【答案】4
【分析】设出和切线，的方程，联立切线方程和抛物线方程，利用，得到，，进而求出直线方程，从而求出，再利用，将问题转化求的长度，利用条件得出，再联立直线方程和抛物线方程即可求出结果.
【详解】如图，设,，易知过两点的抛物线C的切线，斜率均存在，
不妨设，，联立，
消得到，即，
所以，又，所以，得到，
所以，即，也即，
同理可得直线为，又因为直线与交于，
所以可得，，从而得到直线的方程为，
又因为直线过焦点且倾斜角为，所以得到，即，且直线直线的方程为
又由，令，得到，即，
由，令，得到，即，
又由，消得到，由韦达定理得，
所以，
又易知，所以四边形的面积为，
故答案为：4.