新高考数学三轮复习考前冲刺练习06 三角函数小题综合（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知角，满足，，则（ ）．
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据和角公式可得，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即可求解.
【详解】由得，进而，
所以，
故选：B
2．（2023·山东青岛·统考模拟预测）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由诱导公式把化为，再用二倍角公式变形，从而求出，再求出.把变形为再用和差角公式即可计算.
【详解】由
得
所以.
因为，所以，所以，
所以，所以，
，
所以
.
故选：A
3．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，利用导数的几何意义及三角函数的诱导公式，结合三角函数的齐次式的解决方法及同角三角函数的商数关系即可求解.
【详解】因为，
所以
所以，解得，
所以
由题意可知，，
所以.
故选：B.
4．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，若的图象关于点对称，且直线与函数的图象的两个交点之间的最短距离为，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的单调递减区间是，
C．的图象关于直线对称
D．的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数
【答案】C
【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项进行检验即可求解.
【详解】由题知直线与函数的交点之间的最短距离为，所以，故A正确；
所以，所以，
因为的图象关于点对称，所以，即，，
又因为，所以当时，，所以，
令，，解得，，
所以的单调递减区间为，，故B正确；
因为，故C错误；
函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数
为奇函数，故D正确．
故选:C．
5．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.
【详解】由，得，
即函数的单调递减区间为，
令，则函数其中一个的单调递减区间为：
函数在区间内单调递减，
则满足，得，所以的取值范围是.
故选：D.
6．（2023·湖南常德·二模）已知函数，，将函数的图象经过下列哪种可以与 的图象重合（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】C
【分析】利用诱导公式结合三角函数的平移即可.
【详解】，
将函数的图象向右平移个单位：；
故选：C
7．（2023·湖南常德·统考一模）将函数（）的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若函数）的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由函数的图像平移变换得到函数，再根据正弦函数的图像性质得到是函数一条对称轴，从而得出（），
结合正弦函数的周期与单调性的关系得到，即可得到答案.
【详解】由题意得：，
又函数）的一个极值点是，即是函数一条对称轴，
所以，则（），
函数 在上单调递增，则函数的周期，
解得，则，，
故选：A.
8．（2023·浙江·校联考二模）函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程在内有两个不同的解α，β，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的图象性质、图象变换和三角恒等变换公式，以及诱导公式求解.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，
所得函数的解析式为，
因为所得函数为奇函数，所以，
则有，
因为，所以，
所以，
，
因为，所以，
所以由，
可得，
所以，且，
则，
所以，
故选:B.
9．（2023·广东佛山·统考二模）已知函数，若存在，，，且，使，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由范围可求出整体的范围，结合的图象，根据对称性即可求出的值.
【详解】
解：令，因为，， ，
所以，， ，，
因为，
结合的图象（如图所示），
得到，或，,
因为，
所以，，
则解得，此时，，，满足题意，
或解得，不符合题意舍去.
故选：.
10．（2023·江苏南通·二模）记函数的最小正周期为T．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得.
【详解】根据最小正周期，可得，解得；
又，即是函数的一条对称轴，
所以，解得.
又，当时，.
故选：C
二、多选题
11．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）若函数同时满足以下条件：①是函数的零点，且；②，有，则（ ）
A．
B．将的图象向左平移个单位长度得到的图象解析式为
C．在上单调递减
D．直线是曲线的一条对称轴
【答案】ABC
【分析】由条件先得出，再利用三角函数的图象与性质逐项分析正误即可.
【详解】函数的零点，即方程的解，所以，，
由②知是函数的一条对称轴，则有，
解得，所以.故A正确；
将的图象向左平移个单位长度得到函数.故B正确；
令，即时函数单调递减，，故C正确；
时，，显然不是函数的对称轴，故D错误；
故选：ABC
12．（2023·浙江台州·统考二模）已知函数的最小正周期为,且图象经过点,则( )
A．
B．点为函数图象的对称中心
C．直线为函数图象的对称轴
D．函数的单调增区间为
【答案】ACD
【分析】先求出的解析式,然后逐项分析验证即可.
【详解】因为最小正周期,所以,所以A对.
因为,所以,又,所以.
所以.
因为,所以B错.
因为,所以直线为函数图象的对称轴,所以C对.
由,得.
所以函数的单调增区间为,所以D对.
故选: ACD
13．（2023·湖北·统考二模）已知函数（其中，，T为图象的最小正周期，满足，且在恰有两个极值点，则有（ ）
A．
B．函数为奇函数
C．
D．若，则直线为图象的一条切线
【答案】BCD
【分析】根据三角函数的图象与性质可得，，继而可判定各选项.
【详解】因为，， 所以，
则（不符题意，舍去）或
故，而，则，即A错误；
，而，所以是奇函数，B正确；
由在恰有两个极值点，根据正弦函数的图象及性质可得，故C正确；
当时，由上可得，即，则
当时，，则是的一条切线，即D正确.
故选：BCD
14．（2023·广东深圳·统考二模）已知是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示)，则（ ）
A．的定义域为
B．当时，取得最大值
C．当时，的单调递增区间为
D．当时，有且只有两个零点和
【答案】BCD
【分析】先利用待定系数法求出，再根据原点右侧的第二个零点为，即可判断A；求出的值即可判断B；求出当时的减区间，结合函数为偶函数即可判断C；求出当时的零点，结合函数为偶函数即可判断D.
【详解】由图得，且位于增区间上，
所以，又因为，所以，
，
则，得，所以，
所以，
由图可知，原点右侧的第二个零点为，
所以的定义域为，故A错误；
当时，，
因为为最大值，则当时，取得最大值，故B正确；
当时，令，则，
又因为，
所以当时，的减区间为，
因为函数为偶函数，
所以当时，的单调递增区间为，故C正确；
当时，，令，
得或，则或，
因为函数为偶函数，
所以当时，有且只有两个零点和，故D正确.
故选：BCD.
15．（2023·江苏·统考一模）已知，且，，是在内的三个不同零点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意结合余弦函数的图像性质，解出，，，即可判断选项A、B，将根据诱导公式化为，分子分母同乘，结合倍角公式即可判断C，将通过诱导公式化为，再将分子分母同乘，结合积化和差公式进行化简即可判断D.
【详解】解：由题知，，是的三个根，
可化为，即，
所以可得或，，
解得或，，
因为，所以不成立，
当，成立时，取，解得，
取，解得，取，解得，
取，解得（舍），
故，，，
所以选项A正确；
因为，所以选项B错误；
，
故选项C正确；
而
，
根据积化和差公式：，
所以原式可化为：
，故选项D正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有：
（1）利用诱导公式将角化为关系比较接近的；
（2）遇见的形式，分子分母同乘，再用倍角公式化简；
（3）积化和差公式：，，，.
三、填空题
16．（2023·福建厦门·统考二模）将函数的图象向左平移个单位长度．得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝_______．
【答案】
【分析】首先根据平移规律求函数的解析式，再根据函数是奇函数，求的值.
【详解】函数向左平移个单位长度，得到函数，
函数是奇函数，所以，则，，
则，，因为，所以.
故答案为：
17．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，则________．
【答案】
【分析】先通过条件确定角的范围，进而可求出，再利用，通过诱导公式以及二倍角的正弦公式化简计算.
【详解】，，
，
，
若，则，与矛盾，
故，
，
故答案为：.
18．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知函数，且对任意实数x都有，则的值为__________．
【答案】/0.96
【分析】由得函数的图象关于直线对称，结合正弦函数的性质得，求出，再利用齐次式法计算作答.
【详解】因为对任意实数x都有，则函数的图象关于直线对称，
而，其中锐角由确定，
因此当时，函数取得最值，即为的极值点，又，
于是，即，解得，
所以.
故答案为：
19．（2023·河北石家庄·统考一模）已知，则___________.
【答案】/
【分析】利用诱导公式、二倍角正弦公式找到目标式与已知函数的关系，应用同角三角函数关系求得，即可求值.
【详解】由.
由，则，故，
所以.
故答案为：
20．（2023·山东青岛·统考模拟预测）设函数，其中，且，将的图象上各点横坐标伸长为原米的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到图象，则在区间上的最小值为________.
【答案】/
【分析】根据三角函数的图像变换求出的解析式，再根据正弦函数的图象性质求解.
【详解】因为，所以，
所以，解得，
因为，所以，
所以，
将的图象上各点横坐标伸长为原米的2倍（纵坐标不变），
可得，
再将得到的图象向左平移个单位，得到图象，
则，
因为，所以，
所以当，即时，
有最小值为，
故答案为: .