高考数学三轮冲刺压轴小题20 解析几何中的定值与定点问题 (2份打包，解析版+原卷版)

一．方法综述 

解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；

（1）定值问题：[：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；

一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；

另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。

（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

二．解题策略

类型一 定值问题

【例1】过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（　　）

A． B． C．2p D．

【举一反三】

1.已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（　　）

A．2 B．2 C．1 D．

2．如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（　　）

A． B． C． D．

3．已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝　　．

类型二 定点问题

【例2】已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（　　）

A．（0，1） B．（0，2） C．（1，0） D．（2，0）

【举一反三】

1．已知抛物线，过点作该抛物线的切线，，切点为，，若直线恒过定点，则该定点为（    ）

A． B． C． D．

2．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（   ）

A．    B．    C．    D．

3．已知椭圆的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，满足，则直线MN经过的定点为___________．

三．强化训练

1．直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率，满足，则的横截距（   ）

A．为定值    B．为定值          C．为定值    D．不是定值  

2．如果直线（，）和函数（，）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

3．过轴上的点的直线与抛物线交于两点，若为定值，则实数的值为（   ）

A.            B.           C．          D．

4．已知A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，则“•＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的（　　）

A．充分非必要条件 B．充要条件 

C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件

5．设是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为（  ）

A．定值 B．定值

C．定值 D．不确定，随点位置变化而变化

6．设点是圆上任意一点，若为定值，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．

7．已知圆： ，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线， 为切点，则直线经过定点（     ）

A．    B．    C．    D．

8．已知圆O：，直线l：y=kx+b(k≠0)，l和圆O交于E，F两点，以Ox为始边，逆时针旋转到OE，OF为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题：

①当k为常数，b为变数时，sin(α＋β)是定值；

②当k为变数，b为变数时，sin(α＋β)是定值；

③当k为变数，b为常数时，sin(α＋β)是定值．

其中正确命题的个数是(    )

A．0 B．1 C．2 D．3

9．斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是（  ）

A．为定值 B．为定值

C．点的轨迹为圆的一部分 D．点的轨迹是圆的一部分

10．已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值的是（  ）

A． B．

C． D．

11．在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（ ）

A． B． C． D．

12．有如下3个命题；

①双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是定值；

②双曲线的离心率分别是，则是定值；

③过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是，则直线过定点；其中正确的命题有（　　）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

13．已知为坐标原点，点在双曲线（为正常数）上，过点作双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的值为（    ）

A． B． C． D．无法确定

14．已知、是双曲线：的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点，使得，为坐标原点，且，则的值为（    ）.

A．

B．

C．

D．

15．已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为

A．16 B．12 C．8 D．随变化而变化

16．已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，，平分角，则与的面积之和为(    )

A．1 B． C．2 D．3

17．已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点，且，则直线过定点（    ）

A． B． C． D．

18．已知椭圆，圆，过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线，切点分别为，直线与轴，轴分别交于点，则（　　）

A． B． C． D．

19．已知椭圆的左右顶点分别为，过轴上点作一直线与椭圆交于两点（异于），若直线和的交点为，记直线和的斜率分别为，则（　　）

A． B．3 C． D．2

20.抛物线上两个不同的点，，满足，则直线一定过定点，此定点坐标为__________．

21．已知点，圆点是圆上任意一点，若为定值，则________.

22．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．

23．在平面直角坐标系xOy中，椭圆上一点，点B是椭圆上任意一点（异于点A），过点B作与直线OA平行的直线交椭圆于点C，当直线AB、AC斜率都存在时，=___________.

24．为圆上任意一点，异于点的定点满足为常数，则点的坐标为______．

25．在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________

26．椭圆：的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若直线 的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为__________．

27．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线相交于、两点，若以线段为直径的圆过定点，则______．

28．双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_____.

29．过双曲线的右焦点的直线交双曲线于、两点，交轴于点，若，，规定，则的定值为.类比双曲线这一结论，在椭圆中，的定值为________.

30．若M，P是椭圆两动点，点M关于x轴的对称点为N，若直线PM，PN分别与x轴相交于不同的两点A(m，0)，B(n，0)，则mn=_________.

31．椭圆：的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若直线 的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为__________．