新高考数学三轮冲刺练习培优专题06 数列求和与递推综合归类（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc15961" 重难点题型归纳 PAGEREF _Tc15961 \h 1
\l "_Tc10501" 【题型一】等差与等比型累加法 PAGEREF _Tc10501 \h 1
\l "_Tc5508" 【题型二】 换元型累加、累积法 PAGEREF _Tc5508 \h 3
\l "_Tc15792" 【题型三】周期数列型递推 PAGEREF _Tc15792 \h 4
\l "_Tc25254" 【题型四】 二阶等比数列型递推 PAGEREF _Tc25254 \h 6
\l "_Tc10242" 【题型五】分式型求递推 PAGEREF _Tc10242 \h 7
\l "_Tc21798" 【题型六】 前n项积型递推 PAGEREF _Tc21798 \h 8
\l "_Tc18500" 【题型七】“和”定值型递推 PAGEREF _Tc18500 \h 9
\l "_Tc26808" 【题型八】 分段型等差等比求和 PAGEREF _Tc26808 \h 11
\l "_Tc7589" 【题型九】 函数中心型倒序求和 PAGEREF _Tc7589 \h 12
\l "_Tc28915" 【题型十】 分组求和型 PAGEREF _Tc28915 \h 14
\l "_Tc16886" 【题型十一】 错位相减型求和 PAGEREF _Tc16886 \h 16
\l "_Tc19095" 【题型十二】正负相间型求和 PAGEREF _Tc19095 \h 19
\l "_Tc26723" 【题型十三】 无理根式型裂项相消求和 PAGEREF _Tc26723 \h 20
\l "_Tc10211" 【题型十四】 指数型裂项相消 PAGEREF _Tc10211 \h 22
\l "_Tc7916" 【题型十五】 等差指数混合型裂项 PAGEREF _Tc7916 \h 23
\l "_Tc22695" 【题型十六】裂和型裂项相消 PAGEREF _Tc22695 \h 26
\l "_Tc20647" 【题型十七】分离常数型裂项 PAGEREF _Tc20647 \h 27
\l "_Tc13313" 好题演练 PAGEREF _Tc13313 \h 29
重难点题型归纳
【题型一】等差与等比型累加法
【典例分析】
1.（等差累加法）已知数列中，已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【详解】由得：，，……，，，各式相加可得：，
又，，.故选：B.
2.（等比累加法）已知数列满足，，则（ ）
A．510B．512C．1022D．1024
【答案】B【详解】由,得，，，
，以上各式相加得，，
所以，所以.故选：B.
【变式演练】
1. 已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意设，所以，，所以，，构成等比数列，即，求出即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，所以，所以，
，又、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，
即，，构成等比数列，所以，
解得，（舍去），所以.
故选：A.
2. 已知数列中，，前项和，则的通项公式为___________.
【答案】
【分析】由，变形可得则，两式相减变形可得，又由，计算可得，验证即可得答案．
【详解】根据题意，数列中，，，①，②，
①②可得：，变形可得：，
则；
时，符合；故答案为：．
【题型二】 换元型累加、累积法
【典例分析】
.已知数列满足：，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．数列的最小项为和 D．数列的最大项为和
【答案】C【详解】
令，则，又，所以，，， ，，
所以累加得，所以，
所以，
所以当时，，当时，，即，当时，，
即，所以数列的最小项为和，故选：C.
【变式演练】
1. （换元对数累加法）在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意得，，则，…，，
由累加法得，，即，
则，所以，故选：D
2. 已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的取值集合.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为，所以.因为，，…，，所以，于是.
当时，，所以.
（2）因为，所以是递增数列.
因为，，，，，
所以，，，，，
于是所有正整数的取值集合为.
【题型三】周期数列型递推
【典例分析】
已知数列满足，，，则_________．
【答案】-6
【解析】由已知有，所以，所以数列是周期数列，且周期为4，，而，所以。
【变式演练】
1. 数列中，，，，那么
A．1B．2C．3D．-3
【答案】B
【详解】
由题意，得，，，，，…，由此发现数列是以6为周期的数列，又，所以，故正确答案为B.
2. 数列的首项，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：因为，且，所以，，，，，，所以数列是以为周期的周期数列，所以。故选：A
【题型四】 二阶等比数列型递推
【典例分析】
已知数列满足，则______________
【答案】
【解析】由，得：，
∴数列为首项为1，公比为2的等比数列，∴，即
【变式演练】
1. 已知数列中，，（且），则数列通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【详解】
由，知：且()，而，，
∴是首项、公比都为3的等比数列，即，故选：C
2. 已知数列满足：，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）；（2）见解析
试题解析：（1）解：由知，代入得：，
化简得：，即是等比数列，又，则，进而有．
（2）证明：由于，
所以．
【题型五】分式型求递推
【典例分析】
在数列中，，，则是这个数列的第________________项．
【答案】2018【分析】同取倒数，得到关于是等差数列；进而求得的通项公式即可求出项数．详解】
由已知得，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，令，解得
【变式演练】
1. 已知数列满足.记，则数列的前项和=__________．
【答案】.详解：由得，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，记，则
（1），式子两边都乘以2得
（2），两式相减得：
所以，故答案为.
2. 数列满足：，且 ，则数列的通项公式是=_____．

【答案】【详解】
原等式可化简为：，所以数列为以3为首项，2公差的等差数列，
则，所以.
【题型六】 前n项积型递推
【典例分析】
设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，.则下列结论正确的是（ 多选题 ）
A．B．C．的最大值为D．的最大值为
【答案】ABC
【详解】，，，，，A.，故正确；
B.，故正确；C.是数列中的最大项，故正确．D. 因为，，的最大值不是，故不正确.故选：ABC．
【变式演练】
1. 若数列满足，且，则数列的前2016项之积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因,且,,,,,,,故数列是周期为6的数列，则
，，应选C.
2. 设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，且，，下列结论正确的是（ 多选题 ）
A．B．
C．数列无最大值D．是数列中的最大值
【答案】ABD【详解】根据题意，等比数列的公比为q，若，
则，又由，必有，则数列各项均为正值，
若，必有，，则必有，依次分析选项：
对于A，数列各项均为正值，则，必有，A正确；
对于B，若，则，B正确，
对于C，根据，可知是数列中的最大项，C错误；
对于D，易得D正确，故选：ABD.
【题型七】“和”定值型递推
【典例分析】
若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则______.
【答案】
解：令 ，则 ①，②，
①-②得：，即,又，所以，
所以,即，
所以
所以.故答案为
【变式演练】
1. 已知数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为 ( )
A．5 B． C．D．
【答案】B【解析】
因为，所以 因此， ，选B.
2. 知数列满足：，且a1=2，则________________．
【答案】
【详解】∵数列{an}满足a1=2，an+1+an=4n-3（n∈N*），∴当n=1时，a2+a1=1，解得a2=-1．
当n≥2时，an+2+an+1=4n+1，∴an+2﹣an=4，
∴数列{an}的奇数项构成等差数列，首项为2，公差为4；偶数项构成等差数列，首项为-1，公差为4．
∴a2k﹣1=2+4（k﹣1）=4k﹣2，即n为奇数时：an=2n．
a2k=-1+4（k﹣1）=4k-5，即n为偶数时：an=2n-5．∴．
【题型八】 分段型等差等比求和
【典例分析】
已知数列满足，.
(1)记，写出，，并求数列的通项公式；
(2)求的前12项和.
【答案】(1)，，(2)
【分析】（1）由数列的通项公式可求出，从而得到，又由可知数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.故；
（2）由数列的通项公式可得数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，然后根据等比数列求和求解即可.
（1）
解：由题意得：
当时，①
当时，②
由② ，即，③
把③ 代入①，得
故，且，，
所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.故.
（2）
把① 代入②，得，且
所以数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，故，
于是
.
【变式演练】
.已知数列满足
(1)求的值；
(2)求的前50项和．
【答案】(1)2，(2)675
【分析】（1）根据递推公式依次求出2,3,4,5项即可；（2）先说明奇数项成等差，然后将和分为奇数项与偶数项的和分别求和即可.
【详解】（1）根据递推公式可知：．
（2）根据递推公式知：当时，．
于是，即．
所以，是以1为首项，1为公差的等差数列；且
【题型九】 函数中心型倒序求和
【典例分析】
已知，是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M为AB的中点，且M在直线上．
(1)求的值及的值；
(2)已知，当时，，求；
(3)若在（2）的条件下，存在n使得对任意的x，不等式成立，求t的范围．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）利用中点坐标公式求出，将带入化简求出；
（2）利用倒序相加求和法求出；
（3）根据条件将不等式转化为求解.
【详解】（1）由题意设，
①当时，，，；
②当时，因为M为AB的中点，所以，
，综合①②得，，.
（2）由（1）可得，当时，，所以，
当时，，③
，④
③+④得，则，
当时，满足，所以.
（3）令，则，因为存在n使得对任意的x，不等式成立，
所以，由（2）得，则，所以，即，
所以t的范围为.
【变式演练】
已知为等比数列，且，若，求的值．
【答案】2021
【分析】利用函数解析式和等比数列的性质求得，继而求出答案
【详解】因为为等比数列，，所以，
因为，所以，
同理可得，
所以
【题型十】 分组求和型
【典例分析】
已知等比数列的公比大于1，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设出公比，根据题目条件列方程求解；
（2）先写出，利用裂项求和，分组求和的办法表示出.
（1）设等比数列的公比为，由，得，
解之得或（舍去），由得，，所以的通项公式为.
（2）
由（1）知，
所以的前项和为
【变式演练】
设为数列的前项和，已知 ，若数列满足，
(1)求数列和的通项公式；
(2)设 求数列的前项的和.
【答案】(1) ，，(2)
【分析】（1）求数列的通项公式时，利用化简式子，结合等差数列的定义和通项公式来求. 求数列的通项公式时，直接借助等比数列的定义和通项公式来求.
（2）结合（1）的结论先求出数列的通项公式，分为奇数和偶数两个方面，借助裂项相消法和分组求和法来求出数列的前项的和.
【详解】（1）由 ①，得：
当时，，即，解得或（负值舍去），.
当时， ②，
得：，
即
所以，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
所以 .
因为数列满足
所以数列是等比数列，首项为，公比，所以.
故：，.
（2）因为，所以
所以， 其中为奇数时，
当为偶数时，
所以
当为奇数时，
因此.故： .
【题型十一】 错位相减型求和
【典例分析】
已知数列满足，且，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若数列满足，求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据题意化简可得证明即可；
（2）由（1）可得，进而得到，再根据错位相减法求的前n项和即可.
【详解】（1）由，得，
所以
，
又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）可知，，
所以.记的前n项和为，
则①，
②，
由①-②得
，所以.
【变式演练】
.
已知等比数列的首项，公比为q，是公差为的等差数列，，，是与的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前n项和为，数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)或(2)
【分析】（1）根据是与的等比中项，利用基本量法可得，进而得到，再根据，可得或；
（2）由（1），化简可得，再根据错位相减可得.
【详解】（1）第一步：求数列的通项公式
因为是公差为的等差数列，，是与的等比中项，
所以，（等比数列的性质）
解得或（舍去），（注意）
所以数列的通项公式为．
第二步：求数列的通项公式
所以，又，所以，
所以数列的通项公式为或．
（2）第一步：求数列的通项公式
由（1）得，或，
由，得，
第二步：利用错位相减法求和
于是，
，
则，（运用错位相减法求和时最后一项注意变号）
即，整理得，所以数列的前n项和．
【题型十二】正负相间型求和
【典例分析】
已知数列各项均为正数，且．
(1)求的通项公式
(2)设，求．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题知，进而得为等差数列，再根据等差数列通项公式求解即可；
（2）结合（1），根据分组并项求和法求即可即可.
【详解】（1）解：因为
所以，，
因为数列各项均为正数，即，
所以，，即数列为等差数列，公差为，首项为.
所以
（2）解：由（1）知，其公差为，
所以，
所以，
【变式演练】
. 设等差数列的前n项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
【答案】(1);(2).
【分析】（1）由题意可列出方程组，求得首项和公差，即可得答案；
（2）由（1）可得的表达式，讨论n的奇偶性，结合并项求和，可得答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，可得，
则 ，解得 ，
所以 .
（2）由(1)知，
当n为偶数时，，
所以当n为偶数时， ；
当n为奇数时，， .
【题型十三】 无理根式型裂项相消求和
【典例分析】
设数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式：
(2)若，求数列和的前10项的和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据和的关系即可相减求解是等比数列，进而可求通项，
（2）由，可得的通项，进而根据分组求和即可求前10项的和.
（1）
由得:当时，，故，即，当时，，故是以公比为3，首项为3的等比数列，因此.
（2）
当为偶数时，
当为奇数时，，
所以数列和的前10项的和：
【变式演练】
.设数列的前n项和满足，，，
（1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式﹔
（2）设，求证：.
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由，作差得到，进一步得到，再作差即可得到，从而使问题得到解决；
（2），求和即可.
【详解】
（1），，
两式相减：①
用换，得②
②—①，得，即，
所以数列是等差数列，又，
∴，，公差，所以.
（II）.
【题型十四】 指数型裂项相消
【典例分析】
已知数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据，作差得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出其通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）解：因为，当时，解得，
当时，所以，即，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.
（2）解：由（1）可得，
所以
.
【变式演练】
.数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）把递推关系式里的换成得到一个新的递推公式，两个递推相减可得到.
(2)裂项相消求和，然后求和的范围.
【详解】（1）当时，
①
②
②减①得： 经检验也符合综上：
（2）
又因为，又因为恒成立，即或。所以的范围为
【题型十五】 等差指数混合型裂项
【典例分析】
已知数列满足，其中是的前项和.
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据的关系可得，根据此递推关系即可根据等差中项求证，
（2）根据裂项求和即可求解.
【详解】（1）由得：当时，，
两式子相减得①，因此可得②，
①②相减得：，由于 ，所以，
所以是等差数列；
（2）由（1）知是等差数列，，所以，
因此，
所以.
【变式演练】
已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，若数列的前项和，证明：．
【答案】(1)，(2)证明见解析
【分析】（1）由题意求得等比数列的公比和首项，可得其通项公式，由数列的前项之积为可得，结合可得即，从而 是以2为公差的等差数列，求得答案；
（2）利用列项求和法可求得数列的前项和的表达式，结合数列的单调性，即可证明结论.
（1）
设等比数列的公比为， ,
∵，，成等差数列，∴，∴，
化为：，，解得．
又满足，∴，即，解得,∴，
∵数列的前项之积为，∴，∴，
即，∴是以2为公差的等差数列．
又，即，所以
（2）,
所以数列的前项和
证明：，
则，又，随着n的增大而增大，故。所以．
【题型十六】裂和型裂项相消
【典例分析】
已知数列的满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）令，可得，可知数列为等差数列，即可得出；
（2）裂项可得，相加可得.根据的单调性即可证明.
【详解】（1）解：令，则由已知可得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）证明：由（1）可得，，
则，
因为单调递减，，显然，
所以有.
【变式演练】
记正项数列的前n项积为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，求数列的前2n项和．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由题意得，又，可得与的关系，结合等差数列的定义即可证得结论；
（2）由（1）得，求出，利用裂项相消法求和即可得出答案．
【详解】（1）由题意得，又，
所以，即，所以．
当n＝1时，，所以，解得＝3，故是以3为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，，
所以，
所以．
【题型十七】分离常数型裂项
【典例分析】
已知等差数列的前项和为，若，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用分组求和法和裂项相消法可求得.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
由可得，所以，，①
由可得，②
联立①②可得，.
（2）解：，
所以，.
【变式演练】
已知等差数列的通项公式为，记数列的前n项和为，且数列为等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求的通项公式．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据数列通项及等差中项的性质即得；
（2）由题可得，然后利用裂项相消法即得.
【详解】（1）因为，数列为等差数列，
所以，，，所以，又，
解得，所以；
（2）由（1）得，所以，
所以．
好题演练
1．（山东省泰安市2023届高三二模数学试题）已知数列的前n项和为，，，.
(1)求；
(2)设，数列的前n项和为，若，都有成立，求实数的范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由，可得，两式相减并化简后可得，后分奇偶情况可得；
（2）方法1，由题，由等比数列前n项和公式可得表达式；方法2，注意到，可得表达式.后注意到的单调性，利用可得答案.
【详解】（1），.
，，.
又，，，数列的奇数项，偶数项分别是以2，4为首项，4为公差的等差数列.
当时，；当时，.
综上，，
（2）方法一：，
.
，.
方法二：，
，
，
，
∴时，为递增数列，
时，为递减数列，
若，都有成立，只需使，则且，则.
2．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题，利用累乘法即可求解，进而可得，进而可证等差；
（2）由（1）得，由裂项求和即可求解.
【详解】（1）由题可得，
所以当时，
，
易知满足，所以.
所以，
所以是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得，
所以
.
所以.
3．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件证明数列为等比数列，利用累加法求数列的通项公式；
（2）数列中在之前共有项，由此确定前项的值，再分组，结合等比求和公式可求得答案.
【详解】（1）因为，
所以，又，
所以数列为首项为1，公比为的等比数列，
所以，
所以当时，
，
所以，
所以当时，，又也满足该关系，
所以数列的通项公式为；
（2）数列中在之前共有项，
当时，，当时
4．（2023·全国·长郡中学校联考二模）已知正项数列的前项和为，且，（且）.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由及题意可得数列为等差数列，从而求出，从而可求出答案；
（2）利用裂项相消法证明即可.
【详解】（1）∵，
∴，
又，
∴，
∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，
∴，∴，
当时，，
当时，，满足上式，
∴数列的通项公式为；
（2）由（1）可知，，则，
故
，因为，故，即得证
5．（2023·四川攀枝花·统考三模）已知等差数列的公差为，前n项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且，设数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先分析条件①②③分别化简，若选①②，①③，②③，联立化简后条件求首项与公差得出通项公式即可；
（2）由，利用累加法求出求出，再由裂项相消法求出的前n项和，结合的单调性可得证.
【详解】（1）由条件①得，因为，，成等比数列，则，
即，又，则，
由条件②得，即，
由条件③得，可得，即.
若选①②，则有，可得，则；
若选①③，则，则；
若选②③，则，可得，所以.
（2）由，且，
当时，
则有
又也满足，故对任意的，有，
则，
所以，
由于单调递增，所以，
综上：.
6．（2023春·江西抚州·高二金溪一中校联考期中）已知数列满足
(1)记，证明：数列为等差数列；
(2)若把满足的项称为数列中的重复项，求数列的前100项中所有重复项的和.
【答案】(1)证明见解析
(2)2496
【分析】（1）由，根据递推关系证明为常数得出结果；
（2）设，数列是以2为首项，2为公差的等差数列，数列是以6为首项，4为公差的等差数列，得出数列与数列的公共项求得结果.
【详解】（1）证明：由，得，
又.
故，得4，
故，
所以数列是以6为首项，4为公差的等差数列.
（2）设，得，
又.
故，
得，故，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以，
由题意，数列的前100项中的重复项为数列的前50项与数列的前50项中的公共项，
设数列与数列的公共项所成数列为，
则数列是以6为首项，4为公差的等差数列，
所以，
又，当时，，
所以数列的前50项与数列的前50项中有24个公共项，数列的前24项和为1248，
所以数列的前100项中所有重复项的和为.
7．（河北省2023届高三下学期大数据应用调研联合测评（Ⅲ）数学试题）已知数列满足：，.
(1)求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）将化为，即可得是等比数列并求出的通项公式；（2）由（1）可得，后由裂项求和法可得答案.
【详解】（1），
则是以为首项，3为公比的等比数列，则，
即.
（2）由（1）可得：
.
故的前项和
.即
8．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和满足.
(1)求及；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）令即可求得，由，得，两式相减整理即可求得；
（2）先计算，从而利用分组求和、裂项相消求和的方法即可求解.
【详解】（1）解法一：，令，得，所以.
由，得，
两式相减得，
整理得.
解法二：，令，得，所以.
由，当时，，
得，所以，易知满足上式，
所以当时，，
易知也满足上式，所以.
（2）因为，所以，
所以
，
所以.
【技法指引】
对于递推公式为，一般利用累加法求出数列的通项公式；
累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累乘法”求通项.
【技法指引】
若数列{an}满足
若数列{an}满足
若数列{an}满足
若数列{an}满足
【技法指引】
为常数）,构造等比数列
【技法指引】
形如 为主(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
【技法指引】
类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：
1.n=1，得a1
2.n时，
所以
【技法指引】
对于结构，利用分组求和法
【技法指引】
对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
思维结构结构图示如下

【技法指引】
纯指数型裂项，裂项公式思维供参考：
【技法指引】
指数等差型裂项，裂项公式思维供参考：
注意：一般情况下，分子的mn+t=,如果裂项系数不好找，可以待定系数法
【技法指引】
正负相间型裂和，裂项公式思维供参考：