新高考数学三轮冲刺提升练习专题06 利用导数研究函数的极值和最值及最值的应用（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc133440484" 类型一：求函数的极值或极值点 PAGEREF _Tc133440484 \h 1
\l "_Tc133440485" 类型二：利用极值或极值点求参数的值 PAGEREF _Tc133440485 \h 3
\l "_Tc133440486" 类型三：利用导数求最值的应用 PAGEREF _Tc133440486 \h 4
类型一：求函数的极值或极值点
典型例题
（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数极值点为 _____．
【答案】
试题分析：先求导数，利用导数值为零可得答案.
详细解答：因为，所以，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数；
所以是函数的极小值点.
故答案为：.
题型专练：
1．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知函数，函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．有极大值，无极小值D．有极小值，无极大值
3．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数为，，，则（ ）
A．无极值B．有极大值，也有极小值
C．有极大值，无极小值D．有极小值，无极大值
4．（2023·广西南宁·统考二模）已知函数的极值点为1，且，则的极小值为（ ）
A．B．C．bD．4
5．（2023春·贵州铜仁·高二校考阶段练习）已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在处取得极小值D．在处取得极大值
6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．有极小值B．有极大值
C．若，则D．的零点最多有两个
7．（2023春·四川成都·高二成都七中校考期中）已知函数，，有以下四个命题：①曲线在处的切线方程为；②是函数的极值点；③对，不等式恒成立；④.
其中正确的命题有______.（将正确的序号都写上，多写漏写均不得分）
8．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数极值点为 _____．
类型二：利用极值或极值点求参数的值
典型例题：（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．
【答案】
试题分析：
根据导数与极值的关系求解即可.
详细解答：
因为，所以，
为二次函数，且对称轴为，
所以函数在单调递增，
则函数在单调递增，
因为函数在上有极值，
所以在有解，
根据零点的存在性定理可知，即，
解得，
故答案为：.
题型专练：
9．（2023·贵州铜仁·统考二模）已知函数和有相同的极大值，则（ ）
A．0B．2C．D．
10．（2022·河南·模拟预测）当时，函数取得极小值4，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
11．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）已知函数，，向右平移个单位长度后的图像与原函数图像重合，的极大值与极小值的差大于15，则的最小值为（ ）
A．6B．12C．7D．14
12．（2023·山西·统考二模）已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．
14．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知函数，且对任意实数x都有，则的值为__________．
15．（2023·吉林延边·统考二模）若函数在处有极小值，则的值为______．
16．（2023·四川成都·统考模拟预测）函数在上有唯一的极大值，则的取值范围是______.
17．（2022·云南玉溪·玉溪市民族中学校考模拟预测）若函数的极小值小于0，则实数a的取值范围为___________．
18．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)令,若是函数的一个极值点,且,求实数a的值．
19．（2023·全国·校联考二模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若在上只有一个极值，且该极值小于，求实数的取值范围.
20．（2021·陕西榆林·校考模拟预测）已知函数在时取得极大值3.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程.
类型三：利用导数求最值的应用
典型例题：（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）某圆锥的母线长为10cm，当其体积最大时，圆锥的高为________cm．
【答案】
试题分析：设圆锥的高为，则底面圆的半径，表示出圆锥的体积，利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极大值点，即可得解.
详细解答：设圆锥的高为，则底面圆的半径，
所以圆锥的体积为，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时取得极大值即最大值，即当时漏斗的体积最大．
故答案为：
题型专练：
21．（2023·安徽宣城·统考二模）已知圆锥的底面半径为，高为，当其内接正四棱柱的体积最大时，该正四棱柱的外接球的表面积（单位：）为（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知圆台的母线长为，，分别为上、下底面的圆心，上、下底面的半径分别为，，且，则当该圆台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
23．（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分别在AD，CD上，且，将沿EF折到的位置，则当五棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·安徽黄山·统考二模）如图1，将一块边长为20的正方形纸片剪去四个全等的等腰三角形，，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥，使与重合，与重合，与重合，与重合，点重合于点，如图2.则正四棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
25．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）某圆锥的母线长为10cm，当其体积最大时，圆锥的高为________cm．
26．（2023·广东茂名·统考二模）修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米.
27．（2023·陕西西安·校联考一模）某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则该正三棱柱体积的最大值为__________．
28．（2023·北京海淀·统考一模）在中，，D是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与A，B重合），过点E作AC的平行线交BC于点F，将沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥．
如图所示．给出下列四个结论：
①平面PEF；
②不可能为等腰三角形；
③存在点E，P，使得；
④当四棱锥的体积最大时，．
其中所有正确结论的序号是_________．
29．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子A与B（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子B与8个原子A均相切已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为，则当图（1）中所有原子（8个A原子与1个B原子）的体积之和最小时，原子A的半径为____________．
30．（2023·河南安阳·统考二模）2022年12月7日为该年第21个节气“大雪”．“大雪”标志着仲冬时节正式开始，该节气的特点是气温显著下降，降水量增多，天气变得更加寒冷．“大雪”节气的民俗活动有打雪仗、赏雪景等．东北某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球，准备对它进行切割，制作一个正六棱柱模型，当削去的雪最少时，平面截该正六棱柱所得的截面周长为______分米．
31．（2023·全国·校联考模拟预测）在直角坐标系中，矩形的四个顶点都在椭圆上，将该矩形绕轴旋转一周，得到一个圆柱体，当该圆柱体的体积最大时，其侧面积为_______
32．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为______时，圆锥的体积最大，最大值为______．
33．（2023·河北张家口·统考一模）某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个．
(1)若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备"有关联？
单位：箱
(2)若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱口罩中任取20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验．设每个口罩为不合格品的概率都为，且各口罩是否为不合格品相互独立．记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为，求最大时的值．
(3)现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以（2）中确定的作为的值．已知每个口罩的检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？
附表：
附：，其中．
是否有不合格品设备
无不合格品
有不合格品
合计
新
旧
合计
0.100
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828