新高考数学三轮冲刺提升练习专题07 利用导数研究恒成立、能成立问题和不等式问题（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc133502511" 类型一：能成立问题 PAGEREF _Tc133502511 \h 1
\l "_Tc133502512" 类型二：恒成立问题 PAGEREF _Tc133502512 \h 3
\l "_Tc133502513" 类型三：不等式问题 PAGEREF _Tc133502513 \h 7
满分策略：分离变量
1.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
2.转化策略：



类型一：能成立问题
典型例题：已知 且在上单调递增，.
(1)对，，使得成立，求实数的取值范围.
试题分析：根据题意只需不等式左边的最小值小于等于右边的最小值即可，利用导数即可求得在上的最小值为，即证，使得成立，
即成立，参变分离后再构造函数即可得解.
详细解答：），
当时，，，
在单调递增；
当时，，，
在单调递减；
，，，
在上的最小值为.
易知为偶函数，由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为
由题意可得，使得成立，
即成立.
由（1）可知，
参变分离得，设，，
即只需即可.
由（1）知得，
令，令，
在上单调递减，在上单调递增.，
，又已知.故的取值范围为.
题型专练：
1．（2023·贵州·校联考二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·四川广安·统考二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若存在，使成立，求a的取值范围.
5．（2023·福建·统考模拟预测）已知函，.
(1)讨论在的单调性；
(2)是否存在，且，使得曲线在和处有相同的切线？证明你的结论.
6．（2023·北京海淀·统考一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若存在，使得，求a的取值范围．
7．（2023·河南·统考二模）已知函数，若曲线上存在点使得，则a的取值范围是_______．
8．（2023春·重庆南岸·高二校考期中）函数，若存在使得，则实数的取值范围是______．
类型二：恒成立问题
满分策略：
1.构造函数，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围；
2.分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，有些不易分参的也可以采用“同构”技巧。
典型例题：（2023春·山东·高二校联考阶段练习）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是__________.
试题分析：
分类讨论a，当时，则，即，设，求导得到在上单调递增，进而得到，设，求出，则可得到的取值范围.
详细解答：
当时，不符合题意.
当时，则，即，
设，则恒成立，故在上单调递增.
因为，，所以.因为，即，所以，所以，所以.
设，则.
由，得，由，得，则在上单调递增，在上单调递减，
故，即的取值范围是.
故答案为：
题型专练：
1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）当时，不等式恒成立，则的范围为______.
2．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）已知在区间内任取两个不相等的实数p，q，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________.
3．（2023·天津河西·统考二模）已知函数，．
(1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值；
(2)求证：；
(3)若函数对恒成立，求实数a的取值范围．
4．（2023·陕西宝鸡·统考三模）已知函数，，．
(1)设的导函数为，当有两个零点时，求实数m的取值范围；
(2)设，，当时，若恒成立，求实数m的取值范围．
5．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
6．（内蒙古赤峰市2023学年高三二模数学理科试题）已知函数.
(1)在当时，分别求和过点的切线方程；
(2)若，求的取值范围.
7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知函数，其中．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若对任意的，都有．
（ⅰ）求实数m的取值范围；
（ⅱ）证明：对任意的，都有．
8．（2023秋·四川乐山·高三校考阶段练习）已知函数
(1)若，求的单调性
(2)若，求证：当时，.
(3)若，求证：当时，.
9．（2023·陕西宝鸡·统考三模）已知函数，，．
(1)设的导函数为，讨论的单调性；
(2)设，，当时，若恒成立，求实数m的取值范围．
10．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知函数，其中.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若对任意，都有求实数的取值范围.
11．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知函数，．
(1)当，求的单调递减区间；
(2)若在恒成立，求实数a的取值范围．
12．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数．
(1)讨论函数零点个数；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
类型三：不等式问题
满分策略：
1.要证明
2.若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证等式进行变形分拆，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的。
3.导数方法证明不等式中，最常见的是
（1）
（2）
典型例题：（2023·全国·高三专题练习）函数，其中，，为实常数
(1)若时，讨论函数的单调性；
(2)若，当时，证明：.
试题分析：
（1）代入t的值，求得导函数，对a进行分类讨论，根据导数的正负确定单调区间即可．
（2）要证明不等式成立，根据分析法得到只需证明成立即可．通过构造函数，利用导数研究其单调性与最值，根据最小值即可得证．
详细解答：
（1）定义域为， ，
当时，， ，
在定义域上单调递增；
当时，时，，单调递增；
当时，．单调递减；
综上可知：当时，的增区间为，无减区间；
当时，增区间为，减区间为；
（2）要证明，即证明，只要证，
即证，只要证明即可，
令，在上是单调递增，，
在有唯一实根设为，且，
当时，单调递减，当时，，单调递增
从而当时，取得最小值，由得，即，
，故当时，证得：.
【点睛】关键点睛：根据导数的正负分类讨论函数的单调性，结合分析法和构造法是解题的关键.
题型专练：
13．（2023·陕西安康·统考三模）若，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·天津南开·统考一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有极大值，试确定的取值范围；
(3)若存在使得成立，求的值.
15．（2023·新疆阿克苏·校考一模）设函数．
(1)当时，若函数在其定义域内单调递增．求b的取值范围；
(2)若有两个零点，，且，求证：．
16．（2023春·北京·高二北京五十五中校考阶段练习）已知函数.
(1)求在点处的切线方程；
(2)求证：当时，.
(3)若时，恒成立，求实数的取值范围.
17．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知函数，．
(1)若，判断函数的单调性；
(2)当时，求函数的最小值，并证明：．
18．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
19．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知函数．
(1)证明：；
(2)证明：，．
20．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个极值点，，证明：．
21．（浙江省杭州地区（含周边）重点中学2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）已知函数，其中，若有两个零点，且.
(1)设为函数的一个极值点，求证：；
(2)求证：.
22．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数.
(1)若，求的值；
(2)当时，证明：.