新高考数学三轮冲刺提升练习专题04 函数零点的五种考法（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc133436784" 类型一：方程法判断函数的零点 PAGEREF _Tc133436784 \h 1
\l "_Tc133436785" 类型二：用数形结合的方法判断函数的零点 PAGEREF _Tc133436785 \h 7
\l "_Tc133436786" 类型三：转化法判断函数的零点 PAGEREF _Tc133436786 \h 15
\l "_Tc133436787" 类型四：用零点的存在性定理和函数的单调性判断函数的零点 PAGEREF _Tc133436787 \h 21
\l "_Tc133436788" 类型五：利用函数的零点求参数的值 PAGEREF _Tc133436788 \h 27
类型一：方程法判断函数的零点
典型例题：（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
试题分析：令，结合题意得到的两根为，，然后根据函数的单调性和最值进而求解.
详细解答：令，则，当时，由可得或（舍去）；当时，由可得，所以的两根为，，
则或，因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，若，易知方程无解，
若，当时，由，得或（舍去），
此时方程有唯一的解；
当时，由，得，此时方程有唯一的解，
综上所述可知函数的零点个数为个，
故选：A.
题型专练：
1．（2023·上海长宁·统考二模）设各项均为实数的等差数列和的前n项和分别为和，对于方程①，②，③．下列判断正确的是（ ）
A．若①有实根，②有实根，则③有实根
B．若①有实根，②无实根，则③有实根
C．若①无实根，②有实根，则③无实根
D．若①无实根，②无实根，则③无实根
【答案】B
【分析】若①有实根，得到，设方程与方程的判别式分别为和，得到，结合举反例可以判断选项AB；通过举反例可以判断选项CD.
【详解】若①有实根，由题意得：，
其中，，
代入上式得，
设方程与方程的判别式分别为和，
则等号成立的条件是．
又 ，
如果②有实根，则，则或者，所以③有实根或者没有实根，如 满足，，但是，所以③没有实根，所以选项A错误；
如果②没实根，则，则，所以③有实根，所以选项B正确；
若①无实根，则，②有实根，则,
设，所以，，
此时，则③有实根，所以选项C错误；
若①无实根，则，②无实根，则,
设，所以，，
此时，则③有实根，所以选项D错误.
故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是排除法的灵活运用，要证明一个命题是假命题，证明比较困难，只需举一个反例即可.
2．（2023·浙江宁波·统考二模）已知函数，则的零点个数为（ ）
A．2023B．2025C．2027D．2029
【答案】C
【分析】因为 ,得出,进而依此类推，可得，易知单调性，数形结合函数的图像与这一系列直线 确定交点个数即可.
【详解】因为 ,所以当时, ,
得或,
得或,
由得或，
由得，进而可得,
故由可得，或或.
依此类推，可得，其中 k =0,,2023.
易知,,可得在上单调递增，在上单调递增，
可得在上单调递减，画出函数的图像，如图所示．
结合图像易知，函数的图像与这一系列直线 ,,共有2027个交点.
故选 :C
3．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】利用辅助角公式可得，令，从而解得在的零点个数.
【详解】由，
得，又，所以，
所以或
解得或.
所以函数在的零点个数是2.
故选：A.
4．（2023·辽宁丹东·统考一模）已知函数的定义域为D，若对任意的，都存在，使得，则“存在零点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意寻找条件说明充分性与必要性是否成立即可.
【详解】若存在零点，不妨令，，即，
由，得，则存在零点，
任意的，取且，
但，即，故充分性不成立；
若，则存在，使得，则，即存在零点，故必要性成立，
所以，“存在零点”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
5．（2023春·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试）如果方程所对应的曲线与函数对的图像完全重合，那么对于函数有如下两个结论：①函数的值域为；②函数有且只有一个零点.对这两个结论，以下判断正确的是（ ）
A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②都正确D．①②都错误
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再分段求解函数的值域、零点判断作答.
【详解】当时，，则，当时，，则，
因此，当时，，当或时，
因此函数的值域为，①错误；
由得，当时，，解得，
当或时，，此方程无解，
因此函数有且只有一个零点，②正确.
故选：B
6．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】令，结合题意得到的两根为，，然后根据函数的单调性和最值进而求解.
【详解】令，则，当时，由可得或（舍去）；当时，由可得，所以的两根为，，
则或，因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，若，易知方程无解，
若，当时，由，得或（舍去），
此时方程有唯一的解；
当时，由，得，此时方程有唯一的解，
综上所述可知函数的零点个数为个，
故选：A.
7．（2021·陕西渭南·统考三模）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合“不动点”函数的概念，转化为方程有根的问题，对于选项A、C，构造新函数，求导，研究函数的单调性，求函数最值，即可判断，对于选项B，利用零点存在性定理判断，对于选项D，直接根据方程无根判断.
【详解】对于A：令，即，令 ，
则，令，得，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，
所以，所以方程无根，所以函数不是“不动点”函数，故A不正确；
对于B：令，即，
令，函数的图象连续不断，且，由零点存在性定理知，函数在上有零点，即有根，所以函数是“不动点”函数，故B正确；
对于C：令，即，令，则，得，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，所以，所以方程无根，所以函数不是“不动点”函数，故C不正确；
对于D：令，即，而，所以方程无根，所以函数不是“不动点”函数，故D不正确；
故选：B
【点睛】思路点睛：方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可直接求方程的根，或者利用零点存在性定理判断，也可构造新函数，把问题转化为研究新函数的零点问题，有时还可以转化为两函数交点问题.
8．（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知是定义在区间的函数，则函数的零点是___________；若方程有四个不相等的实数根，，，，则___________.
【答案】 2，8 20
【分析】解方程，即可求得函数的零点；将方程四个不相等的实数根问题转化为利用二次方程根与系数的关系，可得结论；
【详解】由题意可知，令，即，解得或，
故函数在内的零点为和；
方程有四个不相等的实数根，，
即为与的四个交点的横坐标，
方程即，，即，
当即时，方程可转化为即；
当时，方程可转化为即；
故要有四个实数根，则两种情况都有两个不同的实数根，
不妨设为的两根，则，
则为的两根，则，
则；
故答案为: 2，8; 20.
9．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知函数，则函数的所有零点之积等于__________．
【答案】
【分析】由题意，表示出函数解析式，利用零点的定义，建立方程，可得答案.
【详解】求函数的所有零点，则等价于求方程的根，
当时，，则，解得；
当且时，，则，
，可得或，即或，
解得 或或或；
当时，，，不符合题意.
综上，，
故答案为：.
类型二：用数形结合的方法判断函数的零点
典型例题：（天域全国名校联盟2023届高三第一次适应性联考数学试题）函数在上的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
试题分析：
将函数在上的零点个数问题转化为函数的图象的交点的个数问题，数形结合，可得答案.
详细解答：
由题意函数在上的零点，
即为，即的根，
也即函数的图象的交点的横坐标，
作出的图象如图示：
由图象可知在上两函数图像有3个交点，
故函数在上的零点个数为3，
故选：C
题型专练：
10．（辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试题）设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（ ）．
A．1348B．1347C．1346D．1345
【答案】B
【分析】根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得在上的零点个数，再分区间和讨论即可.
【详解】在上满足，，
关于直线和直线对称，
，，
，
，所以的周期为6，
又在闭区间上只有，则，，
且当时，通过其关于直线对称，得其值对应着的值，
则在闭区间上只有，
同理可推得在也只有两个零点，
因为，则在共有个零点，
因为，且在的图象与的图象相同，
则在上有个零点，
则方程在闭区间上的根的个数为1347个.
故选：B.
【点睛】思路点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)