新高考数学三轮冲刺提升练习专题02 函数值域的七种考法（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc133399607" 类型一：根据函数的单调性判断函数的值域 PAGEREF _Tc133399607 \h 1
\l "_Tc133399608" 类型二：判别式法求函数的值域 PAGEREF _Tc133399608 \h 6
\l "_Tc133399609" 类型三：分离常数法球函数的值域 PAGEREF _Tc133399609 \h 10
\l "_Tc133399610" 类型四：求指数函数复合型函数的值域 PAGEREF _Tc133399610 \h 14
\l "_Tc133399611" 类型五：和二次函数相关的值域问题 PAGEREF _Tc133399611 \h 18
\l "_Tc133399612" 类型六：用基本不等式求值域 PAGEREF _Tc133399612 \h 23
\l "_Tc133399613" 类型七：求对数函数型复合函数的值域 PAGEREF _Tc133399613 \h 29
类型一：根据函数的单调性判断函数的值域
典型例题：2023·上海浦东新·统考二模）已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是_____________．
【答案】或0.25
试题分析：画出图形，求出内切圆半径，设出，把，请求函数的最值即可.
详细解答：如图，，故菱形内切圆半径为点到的距离，
故内切圆半径，
由对称性可知，关于轴对称，设，，
则，，
其中，故
，
当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：
题型专练：
1．（2021秋·高一课时练习）函数，若且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件结合对数的运算可知，再将所求化为关于a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可.
【详解】因为且，所以，所以，
所以，所以．所以 ，
对勾函数在上为减函数，所以，
所以的取值范围为.
故选：D．
2．（2022秋·山西朔州·高二校考期末）已知，，若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知，根据函数的单调性求得这两个函数的最小值，列出不等式可解得答案.
【详解】由题意，，使得，则需满足，
在上单调递增，故，
在上单调递减，故，
故，即，
故选：A
3．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知二次函数，，且.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）函数图象与轴交点确定值，函数和函数相等，对应系数相等确定、值.
（2）根据区间上的单调性求出最值，即可得到区间上的值域.
【详解】（1）解：因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，所以，
即．
（2）解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线．
因为在递减，在递增，所以，
因为，，
所以，
所以在上的值域为．
4．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知函数．
(1)求的值域；
(2)若的最大值为m，正实数a，b满足，证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）先去掉绝对值化简的解析式，进而求得的值域；
（2）先由（1）得到，再利用柯西不等式即可证得该不等式.
【详解】（1）当时，，
当时，，，
当时，，
所以的值域为．
（2）先证明柯西不等式
，
（当且仅当时等号成立）
则成立.
由（1）可知，，因为，所以，
由柯西不等式得
，
所以，
当且仅当，即，时等号成立．
5．（2023春·广西钦州·高二校考阶段练习）设数列的前项和为，且，，则最大值是__________．
【答案】
【分析】由结合，可得，后利用换元法结合函数单调性可得答案.
【详解】由，可或，
因为，所以，
当时，.
因式分解得
又，则，即为以为首项，公差为2的等差数列.
则.
要使最大，易知.令，
则.
注意到在上单调递减，在上单调递增，
，且.则当，即时，有最大值，
为 .
故答案为：.
6．（2023·上海浦东新·统考二模）已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是_____________．
【答案】/0.25
【分析】画出图形，求出内切圆半径，设出，表达出，结合求出最值.
【详解】如图，，故菱形内切圆半径为点到的距离，
故内切圆半径，
由对称性可知，关于轴对称，设，，
则，，
其中，故
，
当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：
7．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】先对进行分类讨论，当时，时，，不符合题意舍去；当时，在单调递增，可求出最大值为，解不等式，即可得出a的取值范围.
【详解】由题意可知只需求出的最大值，再解不等式即可，当时，时，由指数，对数函数图像可
知，，，所以，则在上恒成立不符，舍去；
当时，因为在单调递增，在单调递增，所以在单调递
增，即当时，，则，解得，则实数的取值范围为.
故答案为：
8．（2022秋·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）已知函数，则的单调增区间为______；若则最小值为______．
【答案】
【分析】先通过奇函数的定义判断函数为奇函数，再利用奇函数及二次函数的单调性求解单调区间，利用函数的单调性求最值即可.
【详解】函数的定义域为R，且，
所以函数为奇函数，
当时，，
由二次函数性质得函数在区间单调递增，在[1,2]上单调递减.
由奇函数在对称区间的单调性一致得，函数在上单调递增，且，
所以的单调增区间为，
同样根据奇函数的对称性可得函数在上单调递减，
所以在[-2,1]上的最小值为.
故答案为：；.
类型二：判别式法求函数的值域
典型例题：（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的最大值为，则实数的值为_____.
试题分析：
将原式变形为，根据方程有解，得到，从而求出的范围，再根据最大值即可求.
详细解答：，
，
两边平方得：，
即，
再平方得：，
化简得：，
当，即时，，
此时最大值为，不符题意.
所以.
因为方程有解，所以，
即，
化简得：，因为，所以，
又因为的最大值为，所以，
所以.
故答案为：.
题型专练：
9．（2023秋·重庆铜梁·高一校联考期末）下列命题中不正确的有（ ）
A．已知幂函数在上单调递减则或．
B．函数的值域为．
C．已知函数，若，则的取值范围为
D．已知函数满足，，且与的图像的交点为，则的值为8．
【答案】AC
【分析】选项A利用幂函数的定义及性质判断即可；选项B 利用转化法求函数的值域；选项C利用函数的奇偶性与单调性解不等式；D选项利用函数的对称性求解即可.
【详解】A：因为是幂函数，所以，所以或，
又在上递减，所以，故不正确，
B：因为，所以由，则，
方程有解则：，所以函数的值域为：，故正确；
C：由函数的定义域为，
且，
所以为奇函数，由在上单调递增，所以在上单调递增，
由得：，解得，故错误，
D：由函数满足，，所以与都关于对称，
所以，故正确，
故选：AC．
10．（2019·北京·高三强基计划）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】利用判别式可求函数的值域.
【详解】设题中函数为，则，
当时，；
当时，视其为关于x的二次方程，
判别式，
综上，故值域为．
故选：C.
11．（2023·广东茂名·统考二模）已知实数a，b满足，则的最小值是__________.
【答案】
【分析】先判断出，且.令，利用判别式法求出的最小值.
【详解】因为实数a，b满足，
所以，且.
令，则，所以，
代入，则有，
所以关于b的一元二次方程有正根，
只需，解得：.
此时，关于b的一元二次方程的两根，所以两根同号，只需，解得.
综上所述：.
即的最小值是（此时，解得：）.
故答案为：.
12．（2022秋·浙江衢州·高一校考阶段练习）函数的值域是______．
【答案】
【分析】利用判别式法即可求出函数的值域.
【详解】由题知函数的定义域为，
所以，将整理得，
所以，当时，；
当时，，解得，
所以，，即函数的值域是
故答案为：
13．（2022秋·陕西·高三校联考阶段练习）函数的值域是_________.
【答案】
【分析】由已知函数可知定义域为，转换成二次方程有根问题，利用判别式法求解即可.
【详解】解：由函数可知
所以，整理得：
当时，，符合；
当时，则关于的一元二次方程在有根
所以
整理得：且
解得：，
综上得：.
故答案为：.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的最大值为，则实数的值为_____.
【答案】1
【分析】将原式变形为，根据方程有解，得到，从而求出的范围，再根据最大值即可求.
【详解】，
，
两边平方得：，
即，
再平方得：，
化简得：，
当，即时，，
此时最大值为，不符题意.
所以.
因为方程有解，所以，
即，
化简得：，因为，所以，
又因为的最大值为，所以，
所以.
故答案为：.
15．（2023·全国·高三对口高考）已知函数的值域是，求函数的定义域和值域．
【答案】函数的定义域为R，值域是．
【分析】先将函数变形，利用判别式法可得，再与等价，比较系数得的值，从而可得函数的解析式，再求定义域和值域即可.
【详解】的定义域为R，令，有，由，得，即，它与等价，比较系数得．
由此得．
根据，解得，又，所以函数的定义域为R，值域是．
类型三：分离常数法球函数的值域
典型例题：2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，则称取整函数，例如：，已知则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
试题分析：分离常数得，进而求得，从而可得答案.
详细解答：
， ， ， ，
当
当.
故选:D
题型专练：
16．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；
方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解；
【详解】方法一：函数，
因为，所以，
所以.所以.
所以，即.
当时，；
当时，.
故的值域为.
故选：B.
方法二：由，得.
因为，所以，解得.
当时，；
当时，.
所以的值域为.
故选：B.
17．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.
【详解】当时，，
当时， ，
因为函数的值域为，
所以，得，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
18．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，则称取整函数，例如：，已知则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分离常数得，进而求得，从而可得答案.
【详解】
， ， ， ，
当
当.
故选:D
19．（2023·高三课时练习）关于“函数，的最大、最小值与函数，的最大、最小值”，下列说法中正确的是（ ）．
A．有最大、最小值，有最大、最小值
B．有最大、最小值，无最大、最小值
C．无最大、最小值，有最大、最小值
D．无最大、最小值，无最大、最小值
【答案】C
【分析】画出，的图象，数形结合得到其最值情况，在，的基础上，得到，的最值情况.
【详解】，，
画出函数图象如下：
函数，无最大值，也无最小值；
当时，此时函数的图象为上一些点，
当且时，，当且时，，
且函数在且上单调递减，在当且上时单调递减，
故时，取得最小值，当时，取得最大值.
故选：C
20．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）已知函数，则（ ）．
A．的值域是B．的定义域为
C．D．
【答案】ACD
【分析】由分式性质求定义域，分离常量法确定值域，进而得到的对称中心，即可判断C、D正误.
【详解】由，则定义域为，值域为，
所以是的对称中心，则 ，
综上，A、C、D正确，B错误.
故选：ACD
21．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．在上的值域为
C．若在上单调递减，则
D．若，则在定义域上单调递增
【答案】AC
【分析】求得的定义域判断选项A；求得在上的值域判断选项B；求得a的取值范围判断选项C；求得时的单调性判断选项D.
【详解】选项A：由得，则的定义域为.判断正确；
选项B：，
由，可得，则，
当时，，则在上的值域为；
当时，，，
即在上的值域为；
当时，，，
即在上的值域为.
综上，当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为.判断错误；
选项C：，
若在上单调递减，则，解之得.判断正确；
选项D：，
则时，在和上单调递增.判断错误.
故选：AC
22．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的取值范围．
【答案】
【分析】根据已知条件将所求式子化简，然后利用分离变量得到，再结合即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
因为，则，所以，
则，所以，
故的取值范围为.
类型四：求指数函数复合型函数的值域
典型例题：（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
试题分析：根据解一元二次不等式的解法，结合指数函数的单调性、集合交集的定义进行求解即可.
详细解答：，则，
，则，
因此 ，
故选：A
题型专练：
23．（江西省名校协作体联盟2023届高三第二次联考模拟考试数学（理）试题）已知，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求集合，再结合交集运算求解.
【详解】由题意可知：，
对于可知：，则，
故，且，
故.
故选：C.
24．（2023·青海·校联考模拟预测）若函数的最小值为，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由于与的最小值相同，故可知的最小值，由即可确定答案.
【详解】由题意知定义域为，
则，
由于的最小值为，则最小值也为m，
因为，故的最小值为，
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用整体代换思想得出，明确与的最小值相同，从而由解决问题.
25．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合指数函数的单调性、集合交集的定义进行求解即可.
【详解】，则，
，则，
因此 ，
故选：A
26．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）设全集U＝R，若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数型复合函数的值域以及对数型函数的定义域即可求解,利用集合的交兵补运算即可求解.
【详解】由集合的意义，可得M为函数的值域，
令 ，
由二次函数的性质可得 ，易得 ，
进而可得0≤≤2；
在中，有1≤y≤4；
即M＝{y|1≤y≤4}，则或y＞4}；
集合N为函数的定义域，则，
解可得 ，
即 ；
则 ；
故选：D．
27．（2023秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数的单调性与值域，即可得出答案.
【详解】因为，定义域为，
因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递减，
时，，
时，；
则时，
时，，
时，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究的性质来研究的值域，突破难点.
28．（2023·全国·模拟预测）已知，为导函数，，，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数B．当且时，恒成立
C．的值域为D．与曲线无交点
【答案】AD
【分析】对A，由偶函数定义判断；对B，结合指数函数的非负性，判断存在即可；对C，化简，求指数函数复合型函数的值域即可.对D，联立两曲线，判断方程的解即可.
【详解】对A，，，∴为偶函数，A对；
对B，，因为，
所以当，，B错；
对C，由可得，
∵，∴，∴，C错；
对D，由，方程无解，∴与曲线无交点，D对.
故选：AD
29．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则______
【答案】
【分析】由题意分别求出集合，然后求即可.
【详解】由，
故，
故答案为：.
30．（2023春·辽宁大连·高一大连市一0三中学校考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数．
(1)求实数a的值，并判断函数的单调性；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)，函数为增函数
(2)
【分析】（1）根据函数为R上的奇函数可得，即可求出，再利用定义法即可判断函数的单调性；
（2）先由得，从而可求得的范围，进而可得函数的值域.
【详解】（1）由题可知，函数是定义在R上的奇函数，
∴，即，
经检验时，为奇函数，则，
令，
则，
∵为增函数，，
∴，
∴，即
∴函数为增函数；
（2）∵，∴，∴，
∴，∴，
∴函数的值域为．
类型五：和二次函数相关的值域问题
典型例题：2023春·湖北鄂州·高三校考阶段练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
试题分析：恒成立，导函数转化为二次函数与正弦函数的复合函数所对应的不等式.
详细解答：因为
所以，又因为函数在上单调递增
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
也是在上恒成立
，只需要满足时对应的函数值都不大零即可.
则只需要满足，即
故答案为：
题型专练：
31．（2023春·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为二次方程求根，建立不等式组，可得答案.
【详解】由函数，显然该函数在上单调递增，
由函数在上的值域为，则，
等价于存在两个不相等且大于等于的实数根，且在上恒成立，则，
解得.
故选：D.
32．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为__________.
【答案】1
【分析】由有两等根，可得得，由可得 为对称轴，可得，则可得到的解析式，对分类讨论，利用函数单调性可得的最大值.
【详解】解：已知方程有两等根，即有两等根，
，解得；
，得，是函数图象的对称轴.
而此函数图象的对称轴是直线，，
故，
若在上的最大值为，
当时，在上是增函数，，
当时，在上是增函数，在上是减函数，，
综上，的最大值为1.
故答案为：1.
33．（2023春·湖北鄂州·高三校考阶段练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】恒成立，导函数转化为二次函数与正弦函数的复合函数所对应的不等式.
【详解】因为
所以，又因为函数在上单调递增
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
也是在上恒成立
，只需要满足时对应的函数值都不大零即可.
则只需要满足，即
故答案为：
34．（2023·全国·高三专题练习）已知，若存在常数使得对于，都有满足关系，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】画出的图像，数形结合，对进行分类讨论，求出相应的值域，结合存在常数使得，得到不等式，求出的取值范围.
【详解】由题意得：，
令，画出图象如下：
因为，当时，
，，
要想存在常数使得，
则，解得；
当时，，，
要想存在常数使得，
则，解得：，
结合可得：，
当时，，，
要想存在常数使得，
则，解得：，
与取交集得：，
当时，，
，
要想存在常数使得，
则，解得：，
与取交集得：，
当时，，
，
要想存在常数使得，
则，解得：，
与取交集得，
综上：.
故答案为：
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
35．（2021秋·河南新乡·高三校考阶段练习）设函数，已知的解集为.
(1)求，的值；
(2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次不等式的解和二次方程的的根的关系，利用韦达定理列方程求解；
（2）先通过，，求出，再验证是否在对应的处取到最小值即可.
【详解】（1）由已知的解集为，
则方程的根为，
由韦达定理得，
；
（2）由（1）得函数，
由于开口向上的二次函数的最小值只能在区间端点或者对称轴处取到，
若，即，不符，舍去；
若，即，得，
此时，对称轴为，故函数应该在时取到最小值，不符，舍去；
若，即，得或
当时，，对称轴为，不符合在对称轴处取到最小值，舍去；
当时，，对称轴，符合在对称轴处取到最小值.
综合得.
36．（2023·全国·高三对口高考）已知函数.
(1)若，其中，若单调递增，求a的取值范围？
(2)当时，其中，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法1：由单调性的定义若，则恒成立，即：恒成立，分离参数求最值即可得结果.
方法2：若在区间上单调递增，则在区间上恒成立，再由分离参数求最值可得结果.
（2）解指数型不等式可得集合B，使用换元法将问题转化为求含参二次函数在给定区间上的最值，对参数进行分类讨论即可.
【详解】（1）方法1：由题意知，，∴
∴在上单调递增，
∴若，则恒成立，
设，则，
∴恒成立，
∴恒成立，
∴，
又∵，∴
∴，解得：
故a的取值范围为.
方法2：由题意知，，∴
∴在上单调递增，
∴在上恒成立，
又∵
∴在上恒成立，
∴在上恒成立，
∴，
又∵
∴
故a的取值范围为.
（2）∵
∴
∴，
令，则，
则，
∴的对称轴为，
①当时，在上单调递减，∴，
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
∴，
③当时，在上单调递增，∴，
∴综述：
类型六：用基本不等式求值域
典型例题：（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
试题分析：AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解.
详细解答：A选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，B错误；
C选项，，故恒成立，C正确；
D选项，a是正实数，故，其中，
故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.
故选：AC
题型专练：
37．（2023·上海宝山·统考二模）在空间直角坐标系中,已知定点,和动点.若的面积为,以为顶点的锥体的体积为,则的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知,设直线的单位方向向量为,根据空间向量公式求出到直线的距离,得到的面积为,根据椎体体积公式得到以为顶点的锥体的体积为,利用分离常数法和基本不等式求解即可得到最大值.
【详解】由已知,
设直线的单位方向向量为,则,
所以到直线的距离,
所以,
,
则
,
令,则,
所以,
当且仅当即时等号成立,
所以,
即的最大值为.
故选:C.
38．（江西省名校协作体联盟2023届高三第二次联考模拟考试数学（理）试题）在中，则的最小值为（ ）
A．14B．16C．18D．20
【答案】B
【分析】利用和差角公式及二倍角公式得到，即可得到，从而得到，再令，则，利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，
所以，即，
因为，，
所以
，
所以，
又，所以，
所以
即，
所以，
设，则，显然，，即，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
故选：B
39．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解.
【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，B错误；
C选项，，故恒成立，C正确；
D选项，a是正实数，故，其中，
故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.
故选：AC
40．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________．
【答案】3
【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值.
【详解】因为，由基本不等式得：，
当且仅当，且，即时等号成立．
故答案为：3
41．（2023·广东深圳·统考二模）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置.
【答案】
【分析】若选择线路，设，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，利用基本不等式可求得的值及的长；若选择线路，若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，利用斜率公式、两角差的正切公式以及基本不等式可求得结果.
【详解】若选择线路，设，其中，，，
则，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，此时，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置；
若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，，
直线的方程为，设点，其中，
，，
所以，
，
令，则，
所以，
，
当且仅当时，即当，即当时，等号成立，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
此时，，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置.
故答案为：；.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
42．（2023·广东佛山·统考二模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则的最大值为______．
【答案】/
【分析】设点在直线上，设点，当时，求出的值，当点不为长轴端点时，设，设直线、的倾斜角分别为、，可求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最大值，可得出的最大值，即可求得的最大值.
【详解】不妨设点在直线上，
若点为，则，
当点不为长轴端点时，由对称性，不妨设点在第一象限，设点，
在椭圆中，，，，则点、，
设直线、的倾斜角分别为、，则，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最大值为，
所以，.
故答案为：
43．（2023·江西·校联考模拟预测）已知实数满足，，则的最小值为__________.
【答案】2025
【分析】先对式子变形得到，由基本不等式求出，从而求出的最小值.
【详解】，
因为，所以，，
，故，
由基本不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
即的最小值为2025.
故答案为：2025.
类型七：求对数函数型复合函数的值域
典型例题：2023·全国·高三专题练习）设，则值域是_______
试题分析：根据换元法可先求出的表达式，然后借助二次函数，对数函数，复合函数的性质进行求解.
详细解答：设，则，于是.
设，根据二次函数性质，时，关于单调递减；
根据对数函数性质，在定义域上递增.
于是由复合函数单调性的性质，在上单调递减，
而，于是值域是：.
故答案为：
题型专练：
44．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数，则（ ）
A．在单调递减，在单调递增B．在单调递减
C．的图像关于直线对称D．有最小值，但无最大值
【答案】C
【分析】根据复合函数的单调性的判断方法，可判断A，B；推得可判断C；根据二次函数的性质结合对数函数的单调性可判断D.
【详解】由题意可得函数的定义域为，
则，
因为在上单调递增，在上单调递减，
且在上单调递增，
故在上单调递增，在上单调递减，A，B错误；
由于，故的图像关于直线对称，C正确；
因为在时取得最大值，且在上单调递增，
故有最大值，但无最小值，D错误，
故选：C
45．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）已知实数a，b>0，2a+b=4，则下列说法中正确的有（ ）
A．有最小值B．a2+b2有最小值
C．4a+2b有最小值8D．lna+lnb有最小值ln2
【答案】BC
【分析】根据基本不等式、配方法，结合指数运算、对数的运算性质逐一判断即可.
【详解】因为实数a，b>0，2a+b=4，
所以有
，
当且仅当时取等号，即当时取等号，
故选项A不正确；
因为2a+b=4，
所以，当时，a2+b2有最小值，故选项B正确；
，当且仅当时取等号，即时取等号，故选项C正确；
因为实数a，b>0，2a+b=4，
所以，
当，时，lna+lnb有最大值ln2，因此选项D不正确，
故选：BC
46．（2023·全国·高三专题练习）设，则值域是_______
【答案】
【分析】根据换元法可先求出的表达式，然后借助二次函数，对数函数，复合函数的性质进行求解.
【详解】设，则，于是.
设，根据二次函数性质，时，关于单调递减；
根据对数函数性质，在定义域上递增.
于是由复合函数单调性的性质，在上单调递减，
而，于是值域是：.
故答案为：
47．（2023·上海浦东新·统考二模）函数在区间上的最小值为_____________．
【答案】．
【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】，
因为，所以，故，
故，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
48．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数上满足，其中为实数
(1)求的值，判断函数的奇偶性并证明；
(2)若函数，求在上的值域．
【答案】(1)，函数为奇函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知代入函数根据对数运算解出，即可得出函数解析式，根据解析式得出其定义域判断是否关于原点对称，根据函数解析式得出，再根据奇偶性的定义判断其奇偶性；
（2）根据已知结合对数运算得出函数的解析式，即可根据复合函数值域的求法结合二次函数与对数函数在区间上的值域得出答案.
【详解】（1），，解得：，
则，定义域为，解得或，关于原点对称，
则，所以函数为奇函数.
（2）当时，，，，
则，
，
，
，
，
当时，，则，
则在上的值域为.
49．（2023·山东临沂·高一校考期末）设函数，且，．
(1)求的解析式；
(2)当时，求的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意列方程组直接求解；
（2）利用复合函数的值域求解方法即可求解.
【详解】（1）由得
所以即解得：．
所以的解析式为：
（2）由（1）知.
设，因为，所以.
令，所以当时，，
则，故的值域为．