人教版 (2019)必修 第二册4 宇宙航行课后练习题

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TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc1161" 【题型1 第一宇宙速度】
\l "_Tc25206" 【题型2 第二宇宙速度】
\l "_Tc9103" 【题型3 第三宇宙速度】
\l "_Tc6522" 【题型4 变轨问题】
\l "_Tc10925" 【题型5 对比问题】
\l "_Tc10925" 【题型6 联系实际】
\l "_Tc10925" 【题型7 图像问题】
\l "_Tc10925" 【题型8 与能量综合】
【题型1 第一宇宙速度】
【例1】嫦娥五号任务实现了多项重大突破，标志着中国探月工程“绕、落、回”三步走规划完美收官。若探测器携带了一个在地球上振动周期为T0的单摆，并在月球上测得单摆的周期为T，已知地球的半径为R0，月球的半径为R，忽略地球、月球的自转，则地球第一宇宙速度v0与月球第一宇宙速度v之比为( )
A.eq \f(T,T0)eq \r(\f(R0,R)) B.eq \f(RT2,R0T02)
C.eq \f(T0,T)eq \r(\f(R0,R)) D.eq \f(RT,R0T0)
【变式1-1】2021年5月15日“天问一号”成功着陆于火星。“天问一号”在着陆之前需要绕火星运行一段时间，再择机降落在火星表面。已知火星的质量约为地球质量的eq \f(1,9)，火星的半径约为地球半径的eq \f(1,2)，下列说法中正确的是( )
A．火星与地球的第一宇宙速度之比为4∶3
B．火星与地球的第一宇宙速度之比为2∶3
C．火星上的重力加速度与地球上的重力加速度之比为4∶9
D．以相同轨道半径绕火星的卫星与绕地球的卫星运行速度之比为1∶9
【变式1-2】我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星( )
A．运动速度大于第一宇宙速度
B．运动速度小于第一宇宙速度
C．轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星
D．轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星
【变式1-3】(多选)如图所示，卫星a没有发射，停放在地球的赤道上随地球自转；卫星b发射成功，在地球赤道上空贴着地表做匀速圆周运动；两卫星的质量相等．认为重力近似等于万有引力．下列说法正确的是( )
A．a、b做匀速圆周运动所需的向心力大小相等
B．b做匀速圆周运动的向心加速度等于重力加速度g
C．a、b做匀速圆周运动的线速度大小相等，都等于第一宇宙速度
D．a做匀速圆周运动的周期等于地球同步卫星的周期
【题型2 第二宇宙速度】
【例2】使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度v1，而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度v2，v2与v1的关系是v2＝eq \r(2)v1，已知某星球半径是地球半径R的eq \f(1,3)，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的eq \f(1,6)，地球的平均密度为ρ，不计其他星球的影响，则( )
A．该星球的平均密度为eq \f(ρ,2)
B．该星球的质量为eq \f(8πR3ρ,81)
C．该星球上的第二宇宙速度为eq \f(\r(3gR),3)
D．该星球的自转周期是地球的eq \f(1,6)
【变式2-1】使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝ eq \r(2)v1。已知某星球的半径为地球半径R的4倍，质量为地球质量M的2倍，地球表面重力加速度为g。不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A. eq \r(\f(1,2)gR) B.eq \f(1,2)eq \r(gR)
C.eq \r(gR) D.eq \r(\f(1,8)gR)
【变式2-2】某电影虚构了一个天体，其属于半人马阿尔法星系，即半人马阿尔法星系B-4号行星，大小与地球相差无几(半径与地球半径近似相等)，若把电影中的虚构视为真实的，地球人登上该星球后发现自己在该星球上所受重力只有在地球上所受重力的eq \f(1,n)(n＞1)，由此可以判断( )
A．该星球上的重力加速度是地球表面重力加速度的n倍
B．该星球的质量是地球质量的n倍
C．若在该星球上发射卫星，最小发射速度是地球第一宇宙速度的n倍
D．若在该星球上发射卫星，“第二宇宙速度”是11.2eq \r(\f(1,n)) km/s
【变式2-3】2021年5月15日，中国火星探测工程执行探测任务的飞船“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区。若飞船“天问一号”从地球上发射到与火星会合，运动轨迹如图中虚线椭圆所示，飞向火星过程中，太阳对飞船“天问一号”的引力远大于地球和火星对它的吸引力，认为地球和火星绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．飞船“天问一号”椭圆运动的周期小于地球公转的周期
B．在与火星会合前，飞船“天问一号”的加速度小于火星公转的向心加速度
C．飞船“天问一号”在无动力飞行飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒
D．飞船“天问一号”在地球上的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
【题型3 第三宇宙速度】
【例3】我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
【变式3-1】(多选)已知火星的质量约为地球质量的eq \f(1,9)，火星的半径约为地球半径的eq \f(1,2)。下列关于“天问一号”火星探测器的说法中正确的是( )
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度
D．“天问一号”火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的一半
【变式3-2】2020年10月1日，天问一号在太空传回“自拍照”为祖国母亲庆生，让五星红旗飘扬于太空，据公开资料显示，天问一号是我国首个火星探测器，其传回照片的时候离地球表面高度约等于4倍地球半径。根据以上信息判断，下列说法正确的是( )
A．“自拍”时天问一号所受地球引力约为在地球表面时所受引力的十六分之一
B．天问一号发射时的速度需大于第三宇宙速度
C．火星的公转速度比地球公转速度大
D．火星的公转周期比地球公转周期大
【变式3-3】2013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课。在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小( )
A．等于7.9 km/s
B．介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
C．小于7.9 km/s
D．介于7.9 km/s和16.7 km/s之间
【题型4 变轨问题】
【例4】(多选)如图所示是我国发射的“天问一号”火星探测器的运动轨迹示意图。首先在地面上由长征五号运载火箭将探测器发射升空，然后经过漫长的七个月地火转移飞行，到达近火点时精准“刹车”被火星捕获，成为环绕火星飞行的一颗卫星。以下说法中正确的是( )
A．长征五号需要把“天问一号”加速到第二宇宙速度
B．近火点的“刹车”是为了减小火星对“天问一号”的引力
C．从火星停泊轨道向遥感轨道变轨过程，“天问一号”还需要在近火点制动减速
D．“天问一号”沿遥感轨道运行时在近火点处的动能最小
【变式4-1】2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面2.8×102 km、远火点距离火星表面5.9×105 km，则“天问一号”( )
A．在近火点的加速度比远火点的小
B．在近火点的运行速度比远火点的小
C．在近火点的机械能比远火点的小
D．在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动
【变式4-2】“神舟十一号”飞船与“天宫二号”空间实验室在太空中自动交会对接成功，是我国航天史上的一个重要里程碑。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
【变式4-3】“嫦娥五号”轨道器和返回器组合体实施的月地转移轨道如图所示，组合体自近月点由圆轨道变为椭圆轨道，开启了回家之旅。以下说法正确的是( )
A．组合体在近月点减速，从而进入椭圆轨道
B．组合体在近月点加速，从而进入椭圆轨道
C．组合体在椭圆轨道运行过程中，在近月点的线速度小于在远月点的线速度
D．组合体在椭圆轨道运行过程中，在近月点的加速度小于在远月点的加速度
【题型5 对比问题】
【例5】我国在西昌卫星发射中心发射“中星9A”广播电视直播卫星，按预定计划，“中星9A”应该首先被送入近地点约为200公里，远地点约为3.6万公里的转移轨道Ⅱ(椭圆)，然后通过远地点Q变轨，最终进入地球同步轨道Ⅲ(圆形)(如图所示)。但是由于火箭故障，卫星实际入轨后初始轨道远地点只有1.6万公里，科技人员没有放弃，通过精心操作，利用卫星自带燃料在近地点点火，尽量抬高远地点的高度，经过10次轨道调整，终于将其成功定位于预定轨道，下列说法正确的是( )
A．卫星从轨道Ⅰ的P点进入轨道Ⅱ后机械能不变
B．卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和轨道Ⅱ经过Q点时的速度相同
C．卫星在轨道Ⅰ经过P点时和轨道Ⅱ经过P点时的加速度相同
D．“中星9A”发射失利原因可能是发射速度没有达到7.9 km/s
【变式5-1】“天问一号”探测器在靠近火星时需要通过变轨过程逐渐靠近火星。已知引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．“天问一号”的发射速度必须大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度
B．“天问一号”在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
C“天问一号”在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度反方向喷气
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知“天问一号”在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度
【变式5-2】(多选)“嫦娥五号”从环月轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入近月点为Q的环月轨道Ⅱ，如图所示，则“嫦娥五号”( )
A．在轨道Ⅱ上的机械能比在轨道Ⅰ上的机械能小
B．在轨道Ⅱ运行的周期比在轨道Ⅰ上运行的周期大
C．沿轨道Ⅰ运动至P时，点火后发动机喷气方向与运动方向相同才能进入轨道Ⅱ
D．沿轨道Ⅱ运行在P点的加速度大于沿轨道Ⅰ运行在P点的加速度
【变式5-3】火星轨道在地球轨道的外侧，火星和地球共同绕太阳运动，如图(a)。可认为火星和地球在同一平面内绕太阳做同向圆周运动，且火星轨道半径为地球的1.5倍，示意图如图(b)所示。为节约能量，“天问一号”探测器沿椭圆轨道飞向火星，且出发时地球位置和到达时火星位置分别是椭圆轨道的近日点和远日点，仅考虑太阳对“天问一号”的引力，则“天问一号”( )
A．在飞向火星的过程中速度越来越大
B．到达火星前的加速度小于火星的加速度
C．到达火星前瞬间的速度小于火星公转的线速度
D．运动周期大于火星的运动周期
【题型6 联系实际】
【例6】如图为我国发射北斗卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球质量为M，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)( )
A.eq \f(3,4)mv2＋eq \f(3GMm,4r) B.eq \f(3,4)mv2－eq \f(3GMm,4r)
C.eq \f(5,8)mv2＋eq \f(3GMm,4r) D.eq \f(5,8)mv2－eq \f(3GMm,4r)
【变式6-1】2021年4月29日，我国空间站“天和核心舱”在海南文昌发射场成功发射。下一步，天和核心舱将按既定飞行程序，展开各项动作，开展在轨工作，并等待货运飞船和载人飞船的到来。在全面完成空间站关键技术验证后，与问天实验舱、梦天实验舱实施交会对接，完成空间站三舱组合体在轨组装建造。以下说法正确的是( )
A．“天和核心舱”的发射速度要大于第二宇宙速度
B．宇航员可以在空间站中用弹簧测力计测物体重力
C．只需知道空间站的公转周期就可以算出地球的质量
D．载人飞船在较低轨道上加速后追上核心舱实施对接
【变式6-2】2020年12月17日，嫦娥五号成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史。如图所示，嫦娥五号取土后，在P处由圆形轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ，以便返回地球。下列说法正确的是( )
A．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均超重
B．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时机械能相等
C．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时速率相等
D．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等
【变式6-3】如图所示，我国空间站核心舱“天和”在离地高度约为h＝400 km的圆轨道上运行期间，聂海胜等三名宇航员在轨工作．假设“天和”做匀速圆周运动，地球半径R＝6 400 km，引力常量为G，则可知( )
A．“天和”核心舱内的宇航员不受地球引力作用
B．聂海胜在轨观看苏炳添东奥百米决赛比赛时间段内飞行路程可能超过79 km
C．考虑到h远小于R，聂海胜可以记录连续两次经过北京上空的时间间隔T，利用公式ρ＝eq \f(3π,GT2)估算地球密度
D．“天和”核心舱轨道平面内可能存在一颗与地球自转周期相同的地球卫星
【题型7 图像问题】
【例7】如图甲所示，太阳系中有一颗“躺着”自转的蓝色“冷行星”——天王星，周围存在着环状物质。假设为了测定环状物质是天王星的组成部分，还是环绕该行星的卫星群，“中国天眼”对其做了精确的观测，发现环状物质线速度的二次方即v2与到行星中心的距离的倒数即r－1关系如图乙所示。已知天王星的半径为r0，引力常量为G，以下说法正确的是( )
A．环状物质是天王星的组成部分
B．天王星的自转周期为eq \f(2πr0,v0)
C．v2-r－1关系图像的斜率等于天王星的质量
D．天王星表面的重力加速度为eq \f(v02,r0)
【变式7-1】对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T的关系作出如图所示图像，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)( )
A．eq \f(4π2a,Gb) B．eq \f(4π2b,Ga)
C．eq \f(Ga,4π2b) D．eq \f(Gb,4π2a)
【变式7-2】两颗互不影响的行星P1、P2，各有一颗近地卫星S1、S2绕其做匀速圆周运动。图中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度a，横轴表示某位置到行星中心距离r平方的倒数，a­eq \f(1,r2)关系如图所示，卫星S1、S2的引力加速度大小均为a0。则( )
A．S1的质量比S2的大
B．P1的质量比P2的大
C．P1的第一宇宙速度比P2的小
D．P1的平均密度比P2的大
【变式7-3】(多选)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动．图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同．则( )
A．P1的平均密度比P2的大
B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小
C．s1的向心加速度比s2的大
D．s1的公转周期比s2的大
【题型8 与能量综合】
【例8】[多选]2017年1月24日，报道称，俄航天集团决定将“质子­M”运载火箭的发动机召回沃罗涅日机械制造厂。若该火箭从P点发射后不久就失去了动力，火箭到达最高点M后又返回地面的Q点，并发生了爆炸，已知引力常量为G，地球半径为R。不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．火箭在整个运动过程中，在M点的速率最大
B．火箭在整个运动过程中，在M点的速率小于7.9 km/s
C．火箭从M点运动到Q点(爆炸前)的过程中，火箭的机械能守恒
D．已知火箭在M点的速度为v，M点到地球表面的距离为h，则可求出地球的质量
【变式8-1】宇航员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落回手中，已知该星球半径为R.求：
(1)该星球的第一宇宙速度的大小；
(2)该星球的第二宇宙速度的大小．已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能Ep＝－Geq \f(mM,r).(G为引力常量)
【变式8-2】2020年7月23日，天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射，中国航天开启了走向深空的新旅程．由着陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图所示的发射、地火转移、火星捕获、火星停泊、科学探测和离轨着陆六个阶段，其中的着陆巡视器于2021年5月15日着陆火星，则( )
A．天问一号发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度
B．天问一号在“火星停泊段”运行的周期大于它在“科学探测段”运行的周期
C．天问一号从图示“火星捕获段”需经过加速才能运动到“火星停泊段”
D．着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆火星过程，机械能守恒
【变式8-3】[多选]“嫦娥二号”卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100 km，周期为118 min的工作轨道，开始对月球进行探测，则( )
A．卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小
B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大
C．卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比在轨道Ⅰ上小
D．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大
参考答案
【题型1 第一宇宙速度】
【例1】嫦娥五号任务实现了多项重大突破，标志着中国探月工程“绕、落、回”三步走规划完美收官。若探测器携带了一个在地球上振动周期为T0的单摆，并在月球上测得单摆的周期为T，已知地球的半径为R0，月球的半径为R，忽略地球、月球的自转，则地球第一宇宙速度v0与月球第一宇宙速度v之比为( )
A.eq \f(T,T0)eq \r(\f(R0,R)) B.eq \f(RT2,R0T02)
C.eq \f(T0,T)eq \r(\f(R0,R)) D.eq \f(RT,R0T0)
解析：选A 根据单摆周期公式有T＝2πeq \r(\f(L,g))，设某星体的第一宇宙速度为v′，则有mg＝meq \f(v′2,R)，联立解得v′＝eq \f(2π,T)eq \r(RL)，则地球第一宇宙速度v0与月球第一宇宙速度v之比为eq \f(v0,v)＝eq \f(\f(2π,T0)\r(R0L),\f(2π,T)\r(RL))＝eq \f(T,T0)eq \r(\f(R0,R))，A正确，B、C、D错误。
【变式1-1】2021年5月15日“天问一号”成功着陆于火星。“天问一号”在着陆之前需要绕火星运行一段时间，再择机降落在火星表面。已知火星的质量约为地球质量的eq \f(1,9)，火星的半径约为地球半径的eq \f(1,2)，下列说法中正确的是( )
A．火星与地球的第一宇宙速度之比为4∶3
B．火星与地球的第一宇宙速度之比为2∶3
C．火星上的重力加速度与地球上的重力加速度之比为4∶9
D．以相同轨道半径绕火星的卫星与绕地球的卫星运行速度之比为1∶9
解析：选C 根据万有引力提供向心力，有 eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得v＝ eq \r(\f(GM,R))，eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(M1,M2)×\f(R2,R1))＝ eq \r(\f(1,9)×\f(2,1))＝eq \r(2)∶3，故A、B错误；根据eq \f(GMm,R2)＝mg，可得：eq \f(g1,g2)＝eq \f(M1,M2)×eq \f(R22,R12)＝4∶9，故C正确；根据万有引力提供向心力，有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得v＝ eq \r(\f(GM,r))，r相同，故eq \f(v1,v2)＝ eq \r(\f(M1,M2))＝ eq \r(\f(1,9))＝1∶3，故D错误。
【变式1-2】我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星( )
A．运动速度大于第一宇宙速度
B．运动速度小于第一宇宙速度
C．轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星
D．轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星
解析：选B 第一宇宙速度是指卫星绕地球表面做圆周运动的速度，该卫星的轨道半径大于地球的半径，可知运动速度小于第一宇宙速度，A错误，B正确；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r可知r＝eq \r(3,\f(GMT2,4π2))，因为该卫星的运动周期与地球自转周期相同，等于“静止”在赤道上空的同步卫星的周期，可知该卫星的轨道半径等于“静止”在赤道上空的同步卫星的轨道半径，C、D错误。
【变式1-3】(多选)如图所示，卫星a没有发射，停放在地球的赤道上随地球自转；卫星b发射成功，在地球赤道上空贴着地表做匀速圆周运动；两卫星的质量相等．认为重力近似等于万有引力．下列说法正确的是( )
A．a、b做匀速圆周运动所需的向心力大小相等
B．b做匀速圆周运动的向心加速度等于重力加速度g
C．a、b做匀速圆周运动的线速度大小相等，都等于第一宇宙速度
D．a做匀速圆周运动的周期等于地球同步卫星的周期
答案 BD
解析 两卫星的质量相等，到地心的距离相等，所以受到地球的万有引力相等．卫星a在赤道上随地球自转而做圆周运动，万有引力的一部分提供自转的向心力，卫星b在赤道上空贴着地表做匀速圆周运动，万有引力全部用来提供公转的向心力，因此a、b做匀速圆周运动所需的向心力大小不相等，A项错误；对卫星b，重力近似等于万有引力，万有引力全部用来提供向心力，所以向心加速度等于重力加速度g，B项正确；卫星b在赤道上空贴着地表做匀速圆周运动，其速度就是最大的环绕速度，也是第一宇宙速度，卫星a在赤道上随地球自转而做圆周运动，向心力小于卫星b的向心力，根据牛顿第二定律，卫星a的线速度小于b的线速度，即a的线速度小于第一宇宙速度，C项错误；a在赤道上随地球自转而做圆周运动，自转周期等于地球的自转周期，同步卫星的周期也等于地球的自转周期，所以a做匀速圆周运动的周期等于地球同步卫星的周期，D项正确．
【题型2 第二宇宙速度】
【例2】使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度v1，而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度v2，v2与v1的关系是v2＝eq \r(2)v1，已知某星球半径是地球半径R的eq \f(1,3)，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的eq \f(1,6)，地球的平均密度为ρ，不计其他星球的影响，则( )
A．该星球的平均密度为eq \f(ρ,2)
B．该星球的质量为eq \f(8πR3ρ,81)
C．该星球上的第二宇宙速度为eq \f(\r(3gR),3)
D．该星球的自转周期是地球的eq \f(1,6)
解析：选A 地球表面上物体所受重力等于其万有引力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg，地球的质量为M＝eq \f(gR2,G)＝ρ·eq \f(4,3)πR3，同理，星球的质量为M′＝eq \f(g′R′2,G)＝ρ′·eq \f(4,3)πR′3，联立解得ρ′＝eq \f(ρ,2)，M′＝eq \f(2ρπR3,81)，A正确，B错误；该星球表面的重力加速度g′＝eq \f(g,6)，由mg′＝eq \f(mv12,\f(R,3))，可得该星球的“第一宇宙速度”v1＝eq \f(\r(2gR),6)，该星球的“第二宇宙速度”v2＝eq \r(2)v1＝eq \f(\r(gR),3)，C错误；根据题给信息，不能计算出该星球的自转周期，D错误。
【变式2-1】使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝ eq \r(2)v1。已知某星球的半径为地球半径R的4倍，质量为地球质量M的2倍，地球表面重力加速度为g。不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A. eq \r(\f(1,2)gR) B.eq \f(1,2)eq \r(gR)
C.eq \r(gR) D.eq \r(\f(1,8)gR)
解析：选C 设在地球表面飞行的卫星质量为m，由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R2)＝eq \f(mv2,R)，又有Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得地球的第一宇宙速度为v1＝ eq \r(\f(GM,R))＝ eq \r(gR)；设该星球的第一宇宙速度为v1′，根据题意，有eq \f(v1′,v1) ＝ eq \r(\f(2M,M))·eq \f(\r(R),\r(4R))＝eq \f(1,\r(2))；由题意知v2＝eq \r(2)v1，得该星球的第二宇宙速度为v2′＝eq \r(gR)，故A、B、D错误，C正确。
【变式2-2】某电影虚构了一个天体，其属于半人马阿尔法星系，即半人马阿尔法星系B-4号行星，大小与地球相差无几(半径与地球半径近似相等)，若把电影中的虚构视为真实的，地球人登上该星球后发现自己在该星球上所受重力只有在地球上所受重力的eq \f(1,n)(n＞1)，由此可以判断( )
A．该星球上的重力加速度是地球表面重力加速度的n倍
B．该星球的质量是地球质量的n倍
C．若在该星球上发射卫星，最小发射速度是地球第一宇宙速度的n倍
D．若在该星球上发射卫星，“第二宇宙速度”是11.2eq \r(\f(1,n)) km/s
解析：选D 根据星球表面物体所受的万有引力等于重力，有eq \f(GMm,r2)＝mg，解得g＝eq \f(GM,r2)，其中M是该星球的质量，r是物体到该星球球心的距离，根据星球的半径跟地球半径相近，M＝ρ·eq \f(4,3)πr3，解得g＝eq \f(GM,r2)＝Gρ·eq \f(4,3)πr，由人所受重力是在地球上的eq \f(1,n)可知，该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的eq \f(1,n)，所以该星球的密度也是地球的eq \f(1,n)，该星球质量是地球质量的eq \f(1,n)，A、B错误；在该星球上卫星最小发射速度即为该星球的第一宇宙速度，而第一宇宙速度是v1＝eq \r(\a\vs4\al(g′r))＝eq \r(\f(gr,n))，所以该星球的第一宇宙速度是地球的 eq \r(\f(1,n))，C错误；由第二宇宙速度v＝eq \r(2gr)，知在该星球上发射卫星，第二宇宙速度是11.2eq \r(\f(1,n)) km/s，D正确。
【变式2-3】2021年5月15日，中国火星探测工程执行探测任务的飞船“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区。若飞船“天问一号”从地球上发射到与火星会合，运动轨迹如图中虚线椭圆所示，飞向火星过程中，太阳对飞船“天问一号”的引力远大于地球和火星对它的吸引力，认为地球和火星绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．飞船“天问一号”椭圆运动的周期小于地球公转的周期
B．在与火星会合前，飞船“天问一号”的加速度小于火星公转的向心加速度
C．飞船“天问一号”在无动力飞行飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒
D．飞船“天问一号”在地球上的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
解析：选C 根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，可知飞船“天问一号”椭圆运动的半长轴大于地球公转半径，所以飞船“天问一号”椭圆运动的周期大于地球公转的周期，A错误；在与火星会合前，飞船“天问一号”距太阳的距离小于火星公转半径，所以根据牛顿第二定律Geq \f(Mm,r2)＝ma，可知，飞船“天问一号”的加速度大于火星公转的向心加速度，B错误；飞船“天问一号”在无动力飞行飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒，C正确；飞船“天问一号”要脱离地球的束缚，所以发射速度大于第二宇宙速度，D错误。
【题型3 第三宇宙速度】
【例3】我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
答案 A
解析 火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故A正确，B错误；由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得，v火＝eq \r(\f(GM火,R火))＝eq \r(\f(0.1M地G,0.5R地))＝eq \f(\r(5),5)v地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；由eq \f(GMm,R2)＝mg得，
g火＝Geq \f(M火,R火2)＝Geq \f(0.1M地,0.5R地2)＝0.4g地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误．
【变式3-1】(多选)已知火星的质量约为地球质量的eq \f(1,9)，火星的半径约为地球半径的eq \f(1,2)。下列关于“天问一号”火星探测器的说法中正确的是( )
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度
D．“天问一号”火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的一半
解析：选CD 根据三个宇宙速度的意义，可知A、B错误，C正确；已知M火＝eq \f(M地,9)，R火＝eq \f(R地,2)，则vmax∶v1＝eq \r(\f(GM火,R火))∶eq \r(\f(GM地,R地))＝eq \f(\r(2),3)≈0.5，D正确。
【变式3-2】2020年10月1日，天问一号在太空传回“自拍照”为祖国母亲庆生，让五星红旗飘扬于太空，据公开资料显示，天问一号是我国首个火星探测器，其传回照片的时候离地球表面高度约等于4倍地球半径。根据以上信息判断，下列说法正确的是( )
A．“自拍”时天问一号所受地球引力约为在地球表面时所受引力的十六分之一
B．天问一号发射时的速度需大于第三宇宙速度
C．火星的公转速度比地球公转速度大
D．火星的公转周期比地球公转周期大
解析：选D 根据F＝Geq \f(Mm,R＋h2)，由于h＝4R，则eq \f(F′,F)＝eq \f(1,25)，可知，“自拍”时天问一号所受地球引力约为在地球表面时所受引力的二十五分之一，A错误；天问一号发射时的速度需大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，B错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得v＝ eq \r(\f(GM,r))，轨道半径越大其公转速度越小，由于火星的公转半径较大，则火星的公转速度比地球公转速度小，C错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r，解得T＝2π eq \r(\f(r3,GM))，轨道半径越大其公转周期越大，由于火星的公转半径较大，则火星的公转周期比地球公转周期大，D正确。
【变式3-3】2013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课。在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小( )
A．等于7.9 km/s
B．介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
C．小于7.9 km/s
D．介于7.9 km/s和16.7 km/s之间
答案 C
解析 卫星在圆形轨道上运动的速度v＝eq \r(G\f(M,r))，由于r>R，所以vm问eq \f(v问2,r)，解得v火>v问，C正确；“天问一号”离开地球到达火星运动可近似为椭圆运动，其椭圆轨道的半长轴小于火星运动轨道的半径，由开普勒第三定律有eq \f(a问3,T问2)＝eq \f(r火3,T火2)，可知“天问一号”的运动周期小于火星的运动周期，D错误。
【题型6 联系实际】
【例6】如图为我国发射北斗卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球质量为M，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)( )
A.eq \f(3,4)mv2＋eq \f(3GMm,4r) B.eq \f(3,4)mv2－eq \f(3GMm,4r)
C.eq \f(5,8)mv2＋eq \f(3GMm,4r) D.eq \f(5,8)mv2－eq \f(3GMm,4r)
解析：选D 当在r1＝r的圆轨道上运行时，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v02,r)，解得在圆轨道上运行时通过A点的速度为v0＝eq \r(\f(GM,r))，所以发动机在A点对卫星做的功为W1＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(GMm,2r)；当在r2＝2r的圆轨道上运行时，有Geq \f(Mm,2r2)＝meq \f(v0′2,2r)，解得在圆轨道上运行时通过B点的速度为v0′＝ eq \r(\f(GM,2r))，而根据题意可知在椭圆轨道上通过B点时的速度为v1＝eq \f(r1,r2)v＝eq \f(1,2)v，故发动机在B点对卫星做的功为W2＝eq \f(1,2)mv0′2－eq \f(1,2)mv12＝eq \f(GMm,4r)－eq \f(1,8)mv2，所以W1－W2＝eq \f(5,8)mv2－eq \f(3GMm,4r)，D正确。
【变式6-1】2021年4月29日，我国空间站“天和核心舱”在海南文昌发射场成功发射。下一步，天和核心舱将按既定飞行程序，展开各项动作，开展在轨工作，并等待货运飞船和载人飞船的到来。在全面完成空间站关键技术验证后，与问天实验舱、梦天实验舱实施交会对接，完成空间站三舱组合体在轨组装建造。以下说法正确的是( )
A．“天和核心舱”的发射速度要大于第二宇宙速度
B．宇航员可以在空间站中用弹簧测力计测物体重力
C．只需知道空间站的公转周期就可以算出地球的质量
D．载人飞船在较低轨道上加速后追上核心舱实施对接
解析：选D “天和核心舱”的发射速度要大于第一宇宙速度，达到第二宇宙速度将脱离地球引力的作用，A错误；空间站中的物体处于完全失重状态，不能用弹簧测力计测物体重力，B错误；根据Geq \f(Mm,R2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2R，可得M＝eq \f(4π2R3,GT2)，则需知道空间站的公转周期及轨道半径，才可以算出地球的质量，C错误；载人飞船在较低轨道上加速后追上核心舱实施对接，D正确。
【变式6-2】2020年12月17日，嫦娥五号成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史。如图所示，嫦娥五号取土后，在P处由圆形轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ，以便返回地球。下列说法正确的是( )
A．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均超重
B．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时机械能相等
C．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时速率相等
D．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等
解析：选D 嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均处于失重状态，故A错误。嫦娥五号在轨道Ⅰ上经过P点时经加速后进入轨道Ⅱ运行，故嫦娥五号在轨道Ⅰ运行至P处时的速率小于在轨道Ⅱ运行至P处时的速率；加速过程有外力对嫦娥五号做功，则机械能增大，故B、C错误。根据Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，可知嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等，故D正确。
【变式6-3】如图所示，我国空间站核心舱“天和”在离地高度约为h＝400 km的圆轨道上运行期间，聂海胜等三名宇航员在轨工作．假设“天和”做匀速圆周运动，地球半径R＝6 400 km，引力常量为G，则可知( )
A．“天和”核心舱内的宇航员不受地球引力作用
B．聂海胜在轨观看苏炳添东奥百米决赛比赛时间段内飞行路程可能超过79 km
C．考虑到h远小于R，聂海胜可以记录连续两次经过北京上空的时间间隔T，利用公式ρ＝eq \f(3π,GT2)估算地球密度
D．“天和”核心舱轨道平面内可能存在一颗与地球自转周期相同的地球卫星
答案 D
解析 “天和”核心舱内的宇航员仍受到地球引力的作用，故A错误；由公式Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，得贴近地球表面飞行的卫星的线速度v＝eq \r(\f(GM,R))＝7.9 km/s，“天和”号运行的线速度v1＝eq \r(\f(GM,R＋h))