北京市第四中学2024-2025学年九年级下学期开学测试 数学试卷（含解析）

这是一份北京市第四中学2024-2025学年九年级下学期开学测试 数学试卷（含解析），共38页。
2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号，
3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．
4．选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．
一、选择题（共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形、轴对称图形，根据中心对称图形、轴对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
2. 若，则下列比例式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．根据内项之积等于外项之积对各选项进行判断．
【详解】解：，
或或或，所以C选项符合题意，A、B、D选项不符合题意．
故选：C．
3. 若函数的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增小，则m的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数性质，可得m+2＞0，从而得出m的取值范围．
【详解】解：∵函数图象在每个象限内y的值随x值的增大而减小
∴m+2＞0，
解得：
故选A．
【点睛】此题考查反比例函数的性质．解题关键在于掌握反比例函数（k≠0），当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
4. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ）
A. 和0之间B. 0和1之间C. 1和2之间D. 2和3之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查估计一元二次方程根的方法，根据和时的代数式的值，即可得到答案．
【详解】解：根据表格得：
当时，，
当时，，
∴的一个解x的取值范围为，
故选C．
5. 如图,过点、，圆心在等腰的内部,，，，则的半径为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接AO并延长，交BC于D，连接OB，根据垂径定理得到BD=BC=3，根据等腰直角三角形的性质得到AD=BD=3，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接AO并延长，交BC于D，连接OB，

∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴BD=BC=3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=BD=3，
∴OD=2，
∴OB=，
故选：A．
【点睛】本题考查的是垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
6. 教练将某射击运动员次的射击成绩录入电脑，计算得到这个数据的平均数是，方差是．后来教练核查时发现其中有个数据录入有误，一个错录为环，实际成绩应是环；另一个错录为环，实际成绩应是环．教练将错录的个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是，方差是，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了算术平均数与方差，根据算术平均数与方差的定义即可求解，掌握相关的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，录入有误的两个数的和为，实际的两个数的和为，
∴更正后实际成绩的平均数是与原来平均数相同，
∵，，
∴更正后实际成绩的方差变小，
∴，，
故选：．
7. 如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当时，即可判断②；根据对称轴为，可判断③；，数形结合即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确．
∵当时，，
∴，故②错误．
∵抛物线与x轴交于两点，其中，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
，
，
∴，
∴，故③正确；
设，，如图：

由图得，时，，故④正确．
综上，正确的有①③④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．
8. 点M为等边三角形内的一点，于点，于点，于点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，的内切圆半径为，的内切圆半径为，的内切圆半径为，的内切圆半径为．给出下面三个结论：
①
②
③
上述结论中，一定正确的序号是（ ）
A. ①B. ①②C. ①③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】作的内切圆，圆心为，切点分别为、、，利用切线长定理得到，，，得到，再证明四边形是正方形，可判断①；设等边三角形的边长为，利用勾股定理和平方差公式，得出，，，将三个式子相加，可判断②；同理表示内切圆半径的方法分别表示出，将对应的式子相加，结合②的结论，可判断③，即可得出结论．
【详解】解：如图，作的内切圆，圆心为，切点分别为、、，
圆是的内切圆，切点分别为、、，
，，，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
即，故①正确；
设等边三角形的边长为，
由勾股定理得，，
，
同理可得：，，
，
整理得：，故②正确；
同理表示内切圆半径的方法可得：
，
，
，
，
，
，
，
又，
，故③正确；
综上所述，正确的序号是①②③．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内切圆、切线长定理、正方形的性质与判定、勾股定理，掌握相关知识点，结合图形推理出直角三角形的内切圆半径公式是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生．
二、填空题（共16分，每小题2分）
9. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：2x2-12x+18，
=2(x2-6x+9)，
=2(x-3)2．
故答案为：2(x-3)2．
【点睛】本题考查了利用提公因式法和完全平方公式分解因式，掌握和灵活运用分解因式的方法是解决本题的关键．
10. 已知二次函数的图象上两点，若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的轴对称的性质即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为：，两点在抛物线上，且，
，
解得，，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，根据抛物线的轴对称的性质是解本题的关键．
11. 已知，均为锐角，且，则___．
【答案】##75度
【解析】
【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，特殊角的三角函数值．
根据绝对值和平方的非负性求出，的值，进而根据特殊角的三角函数值得到，，进而即可解答．
【详解】解：∵，，
且，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：
12. 若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是___________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程的解是，，可得出关于的方程的解为或，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的方程的解是，，
∴关于的方程的解为或，
解得：或，
∴关于y的方程的解为，．
故答案为：，．
13. 在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于点和点B，则点B的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的中心对称性即可求得点的坐标．
【详解】解：直线与双曲线交于点和点，
两点关于原点对称，
，
故答案为：．
【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的性质，应用反比例函数的中心对称性是解题的关键．
14. 某校学生会在同学中招募志愿者作为校庆活动讲解员，并设置了“即兴演讲”“朗诵短文”“电影片段配音”三个测试项目，报名的同学通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一项进行测试．甲、乙两位同学报名参加测试，恰好都抽到“即兴演讲”项目的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】列表后，再根据概率公式计算概率即可.
【详解】解：列表如下：
共有9种等可能结果，其中甲、乙都抽到“即兴演讲”项目的结果有1种，
故P（甲、乙都抽到“即兴演讲”项目）=，
故答案为：
【点睛】此题考查了概率的计算，正确列出表格是解答此题的关键.
15. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上．
（1）______；
（2）点P为BD的中点，过点P作直线，过点B作于点M，过点C作于点N，则矩形BCNM的面积为______．
【答案】 ①. ②. 7.5
【解析】
【分析】（1）由题意得：AC＝1，AD＝6，CD＝5，由三角形面积公式得出S△ABD：S△BAC＝6：1，得出S△BDC：S△BAC＝5：1即可；
（2）证出CE＝DECD，由勾股定理求出BC，证明△CNE∽△BAC，得出，解得：CN，由矩形面积公式即可得出矩形BCNM的面积
【详解】解：（1）由题意得：AC＝1，AD＝6，CD＝5，
∴S△ABD：S△BAC＝6：1，
∴S△BDC：S△BAC＝5：1；
故答案为：5：1；
（2）如图所示：
∵点P为BD的中点，直线l∥BC，
∴PE是△BCD的中位线，CE＝DECD，
∵四边形BCNM是矩形，
∴∠BCN＝∠CNE＝90°，
∴∠ACB+∠ECN＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，BC，
∴∠ECN＝∠ABC，
∴△CNE∽△BAC，
∴，即，
解得：CN，
∴矩形BCNM的面积＝BC×CN；
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
16. 图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，以为原点，则顶点，过且平行底面的直线为轴，垂直底面的直线为轴建立直角坐标系，在抛物线上取一点，使，则将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，则此时酒杯内红酒的最大深度就是在直线下方的抛物线上的点到直线的最大值，据此求解即可．
【详解】解：以为原点，则顶点，过且平行底面的直线为轴，垂直底面的直线为轴建立直角坐标系，在抛物线上取一点，使，直线交轴于，过作轴于，在直线下方的抛物线任取一点，过作轴交于，交于，过作交于，
∵高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为，
∴轴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，解得，
∴直线解析式为，
∵抛物线顶点，
∴设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
∴抛物线解析式为，
∵轴，，
∴设，则，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴当时，取最大值，
∴将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是，
故答案为：．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先分别根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简、绝对值的性质及0指数幂的计算法则，计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质是解答此题的关键．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法．根据配方法得出，进而直接开平方即可求解．
【详解】解：，
移项，得，
∴，
∴，
解得，
即，
∴，．
19. 已知正数a，b，c，满足．
（1）________；
（2）如图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为，求这三张正方形纸片的面积之和．
【答案】（1）2 （2）7
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，代数式求值．
（1）由等式，得出a比b大1，b比c大1，由此得出a比c大2．
（2）由（1）知，，，将其代入，整理后得出，通过计算3张正方形纸片的面积和S，化简后得出，用整体代入法即可得出S的值．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：2；
【小问2详解】
解：由（1）知，，，
把，代入得，
，
，
，
设三张正方形纸片的面积之和为S，
，
把代入，
．
答：这三张正方形纸片的面积之和为7．
20. 已知：如图，中，，，点D是边上的一个动点（不与B、C点重合），．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
（1）先判断为等腰直角三角形得到，再利用三角形内角和得到，利用平角定义得到，则，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论；
（2）先由等腰直角三角形性质得，，设，则，再由相似三角形的性质得，即，解方程即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
由（1）知为等腰直角三角形，
∴，，
设，则，
由（1）知，
∴，
∴，
解得：，
∴．
21. 已知抛物线．
（1）直接写出该抛物线与x轴的交点坐标为___________；
（2）画出它的图象；
（3）若在抛物线上，且，直接写出n的取值范围是___________．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质及图象上点的坐标特征．
（1）令，即可得到方程，解方程可得抛物线与x轴交点；
（2）找到关键点：与坐标轴交点坐标，顶点坐标接口画出图象；
（3）根据对称轴，判断出时的值，再根据图形判断出的取值范围．
【小问1详解】
解：当时，，
解得，，，
可得，抛物线与x轴交点为，；
【小问2详解】
解：当时，，
抛物线与y轴交点为，
由（1）可知，抛物线与x轴交点为，；
对称轴为直线，
当时，，
∴顶点为，
顺次连接各点即可得到抛物线图象．
【小问3详解】
解：由（2）可知，抛物线对称轴为直线，
当时，，
解得，，
由图可知时，．
故答案为：．
22. 如图，在四边形中，于点F，交于点E，连结，若平分．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的性质及勾股定理是解题的关键；
（1）根据角平分线的性质可得，然后根据“”可判定全等；
（2）由（1）可知，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解．
【小问1详解】
证明：∵平分，，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）可知：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23. 在四张完全相同的卡片正面写上数字1、2、3、4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将抽得卡片上的数字记为；不透明的袋子中装有标号为1、2、3的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号记为b．
（1）先抽取一张卡片，再摸一个球，求的概率：
（2）若规定：当时，甲获胜；否则，乙获胜．这样的规则公平吗？请说明理由．如果不公平，能否只将袋子中一个球的标号调整为另一个整数，使得规则公平？写出一个调整方案．
【答案】（1）
（2）不公平，理由见解析；将标有数字1的小球改成4，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是概率的应用—游戏公平性的判断，熟练掌握概率的计算公式：概率所求情况数总情况数，并通过计算每个参与者获胜的概率是否相等来判定游戏公平性是解题的关键．
（1）画出列表法列出所有可能，得到12种等可能的情况，两个数的差为0的情况占3种，依据概率公式计算即可得出结果；
（2）利用概率公式分别计算甲、乙获胜的概率，再判断概率是否相等，相等即公平，否则不公平，将标有数字1的小球改成4，同理即可得到一个公平的游戏．
【小问1详解】
解：根据题意，列表如下：
共有12种等可能的情况，其中两个数的差为0的情况占3种，
P（两个数的差为0）．
答：这两个数的差为0的概率为．
【小问2详解】
解：这样的规则不公平，理由如下：
两个数的差为非负数的情况有9种，
P（甲获胜），P（乙获胜），
P（甲获胜）P（乙获胜），
这样的规则不公平；
将标有数字1的小球改成4，
列表如下：
共有12种等可能的情况，其中两个数的差为非负数的情况有6种，
P（甲获胜），P（乙获胜），
P（甲获胜）P（乙获胜），
这样的规则就公平了．
24. 如图，是的直径，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E．
（1）连接，求的度数；
（2）求证：与相切；
（3）点F在弧上，，交于点N．若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）由和是的中点，得出垂直平分，再利用三角函数可以得到，进而得到是等边三角形，．
（2）先通过证明，则，所以，结合，则，即可作答．
（3）先得出，因为，可以证明，，由（1）可知，，再根据特殊角的三角函数值可以得到的数值．
【小问1详解】
解：如图，连接，，
是的直径，，
垂直平分，
是中点，
，
，
，
又，
是等边三角形，
．
故答案为：60；
【小问2详解】
证明：，是的直径，
，
是的中点，
，
又，
，
，
，
，
，
∵是半径，
与相切．
【小问3详解】
解：如图，连接，，
于，
是中点，
，
，
，
，
，
由（1）可知，
，
在中，，，，
，
在中，，，，
，
由（1）知，
，
在中，，，，
．
【点睛】本题考查圆的综合运用，垂径定理、切线的判定，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，需要学生能具有较强的推理和运算能力．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
25. 某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．
在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度AE为_______米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米）
【答案】（1）d，h （2）见解析
（3）①0.88；②则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．
【解析】
【分析】（1）根据函数的定义即可解答；
（2）描点，连线，画出图象即可；
（3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h=2解答d的值即可得答案．
【小问1详解】
解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；
故答案为：d，h；
【小问2详解】
解：描点，连线，画出图象如图：
；
【小问3详解】
解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米；
故答案为：0.88；
②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88，
把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88，
令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2，
解得d3.3或d0.7，
∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式．
26. 已知抛物线过点，顶点在抛物线上．
（1）当n取最小值时，___________；
（2）用含m的式子表示a；
（3）已知点在抛物线上，且，求m的取值范围．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质；
（1）由顶点在抛物线上，可得，当n取最小值时，，，此时抛物线解析式为，代入计算即可；
（2）由抛物线的顶点，得到，将点代入计算即可；
（3）将点代入，得到，，，再根据列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵顶点在抛物线上，
∴，
∴当n取最小值时，，，
∴顶点坐标为，
∴，，
将点代入得，，
故答案为：2；
【小问2详解】
解：∵抛物线的顶点，
∴抛物线解析式为，
将点代入得，，
当时，过顶点，但此时又过点，矛盾，
∴
∴；
【小问3详解】
解：∵点在抛物线上，
∴，，，
∵，
∴，
整理得，
∴，整理得a2m+3>0am0时，，由a2m+3>0am0m0am