北京市西城区北京师范大学第二附属中学西城实验学校2024-2025学年九年级下学期 数学开学测试题（含解析）

这是一份北京市西城区北京师范大学第二附属中学西城实验学校2024-2025学年九年级下学期 数学开学测试题（含解析），共30页。试卷主要包含了02， 二次函数的图象的对称轴是， 下列说法中，不正确的是等内容，欢迎下载使用。
2025.02
注意事项
1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间95分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将考试材料一并交回．
一、选择题
1. 二次函数的图象的对称轴是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点式解答即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴二次函数的图象的对称轴为直线，
故选：．
2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，根据中心对称图形的概念判断即可，熟练掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解决此题的关键．
【详解】解：A、图形是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
3. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. “a是实数，”是必然事件
B. 任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次
C. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率
D. 不可能事件发生的概率为0
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件的分类，发生可能性的大小，利用频率估计概率，以及概率的公式分别判断．
【详解】解：A．“a是实数，|a|≥0”是必然事件，题干正确，故该项不符合题意；
B．任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数不一定是50次，题干错误，故该项符合题意；
C．通过大量重复试验，可以用频率估计概率，题干正确，故该项不符合题意；
D．不可能事件发生的概率为0，题干正确，故该项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了事件的分类，发生可能性的大小，利用频率估计概率，以及概率的公式，熟练掌握教材中各部分的知识是解题的关键．
4. 如图，在中，弦，相交于点，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据三角形的外角的性质可得，求得，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．
【详解】解：，，，
，
，
故选：A．
5. 如果二次函数图象经过点，那么该图象必经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，利用二次函数的对称性解答即可；
【详解】二次函数的图象得对称轴是直线，
∵二次函数的图象经过点
∴二次函数的图象必经过点，
故选：B
6. 为丰富全县职工文体生活，增强各单位凝聚力、向心力，进一步推动全县全民健身运动的开展，由上蔡县总工会主办的县直机关职工篮球赛，在蔡明园公园开赛，规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛场．设参加比赛的球队有支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有支，则每支球队比赛场，再根据两个球队之间仅进行一场比赛，可列方程．
【详解】解：设参加比赛的球队有支，
根据题意得：，
故选：．
7. 已知，， 以B为圆心，长为半径画圆B， 若点C在圆B内， 则线段的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点与圆位置关系和垂径定理，根据点C在圆内的位置判断线段的取值范围即可．
【详解】解：当点C在圆上时，，
∴是等边三角形，
∴，
过点作，则
由勾股定理得，，
所以，点C在圆B内， 则线段的取值范围是，
故选：D．
8. 如图，抛物线与轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当抛物线沿着轴向下平移1个单位长度就可能经过点．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【详解】解：①由抛物线的开口向下知，
对称轴位于轴的右侧，
∴，
抛物线与轴交于正半轴，
故错误；
②对称轴为直线，得，故正确；
③抛物线与x轴交于点，
，即，
故③错误；
④抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，
，
设二次函数关系式为，
抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后的函数关系式为，
当时，，
抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后经过点故④正确；
综上所述，正确的结论为：②
故选B．
二、填空题
9. 如图，在中，，那么的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数，根据正弦的定义直接计算即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△=42﹣4a=16﹣4a=0，
解得：a=4．
故答案为4．
11. 已知y是以x为自变量的二次函数，且当x=0时，y的最小值为-1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式_______．
【答案】y=x2-1．
【解析】
【分析】直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标为（0，-1），然后写出一个满足题意的二次函数即可．
【详解】解：∵y是以x为自变量的二次函数，且当x=0时，y的最小值为-1，
∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，-1），抛物线开口向上，
故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y=x2-1．
故答案为：y=x2-1．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出其顶点坐标是解题关键．
12. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是______米．
【答案】2
【解析】
【分析】由题意知，得出，根据求出的值．
【详解】解：由题意知
在和中



解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形相似．解题的关键与重点是找出判定三角形相似的条件以及计算三角形的相似比．
13. 如图， 将绕点A 顺时针旋转得到， 点B 的对应点 D恰好落在边上， 则___________．
【答案】##69度
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键；
根据旋转的性质得，，然后根据等腰三角形的性质得，即可求出答案．
【详解】解：将绕点A 顺时针旋转得到，
，，，
，
．
故答案为：．
14. 已知一个扇形的弧长为，圆心角是150°，则它的半径长为______，扇形的面积为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设半径为r㎝，直接用弧长公式解方程可求出半径；运用半径和圆心角度数据扇形面积公式可求出面积．
【详解】设扇形的半径为r㎝,据弧长公式得：，解得r=6；
扇形的面积为：（㎝2）．
故答案：、．
【点睛】本题考查扇形面积弧长．其关键是理解记准扇形面积弧长公式．
15. 如图，是的直径， ， 是的切线，A ，C 为切点，，，则 的长为____
【答案】
【解析】
【分析】根据切线的性质及切线长定理可证明为等边三角形，则的大小可求；求得为等边三角形易知，在中，利用的特殊角度可求得的长．
【详解】∵ 是的切线，为的直径，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴
又∵， 是的切线，A ，C 为切点，
∵ ，
∴为等边三角形，
∴．
如图，连接，则．
在中，，，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆的切线的性质定理、切线长定理、直径所对的圆周角、等边三角形的判定与性质和解直角三角形等知识，掌握知识点的运用是关键．
16. 如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为________．

【答案】
【解析】
【分析】作于，连接．因为，推出点在以为直径的上推出当点在的延长线上时，的长最小，最小值，求出、即可解决问题．
【详解】解：作于，连接．

，
，
在中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
点在以为直径的上，
当点在的延长线上时，的长最小，最小值．
故答案为．
【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题
17. 解方程（配方法）：
【答案】，．
【解析】
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴x-3=±，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法．
18. 下面是某同学设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．

已知： 如图1，．
求作： 直线，使得．
作法：如图2
分别作线段的垂直平分线 ，两直线交于点O；
以点O 为圆心，长为半径作圆；
以点 A 为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点 D；
作直线．
所以直线就是所求作的直线．
根据设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明： 连接，
点A， B， C， D在上，
． （ ）（填推理的依据）．
（ ）（填推理的依据）．
．
【答案】（1）见解析 （2）；在同圆或等圆中，等弦所对的优弧（或劣弧）相等；在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等
【解析】
【分析】本题考查尺规作图，圆的有关性质及平行线的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据圆的性质和平行线的判定证明即可．
【小问1详解】
解：如图，即为补全的图形；
【小问2详解】
证明：连接，
点，，，在上，，
（在同圆或等圆中，等弦所对的优弧（或劣弧）相等）．
（在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等）．
．
故答案为：；在同圆或等圆中，等弦所对的优弧（或劣弧）相等；在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等．
19. 已知关于x的方程
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有一个正实数根 且 ，求 m的值．
【答案】（1）见解析 （2）８
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
（1）根据根的判别式先求出“”的值，再判断即可；
（2）根据根与系数的关系得出由得求出，从而得出，再根据列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：
，
所以，方程总有实数根；
【小问2详解】
解：由题意得，
又∵，
∴
∴，
∴
又，
∴，
整理得，，
解得，，，
当时，
∴不符合题意；
当时，
∴．
20. 已知抛物线图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
（1）求此抛物线的解析式，并画出图像；
（2）结合图像直接写出当0≤x≤4时，y的范围．
【答案】（1），图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据表格得出抛物线过点、、，将点坐标代入抛物线解析式求出a、b、c即可，再利用描点法画函数图像；
（2）利用图像可直接得到答案．
【小问1详解】
解：∵设二次函数的解析式为，
由题意得：当时，，
∴,
∵时，，当时，，
∴，
解得，
∴；
∵当时，，
∴根据表格描点，用平滑曲线连结，抛物线图像如图：
【小问2详解】
解：由图可得，抛物线的顶点为，
∴当0≤x≤4时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图像，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图像是解题关键．
21. 在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到
（2）试估算口袋中白球有多少个？
（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．
【答案】（1）0.5 （2）2（个）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法以及利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近；
（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算白球的个数；
（3）先利用列表法展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：由题可得，当很大时，摸到白球的频率接近；
故答案为：；
【小问2详解】
解：由（1）摸到白球的概率为，
所以可估计口袋中白种颜色的球的个数（个）；
【小问3详解】
解：列表得：
由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能．
（颜色相同）．
22. 在矩形中，，点G为边上一点，，于点E，
（1）求证；
（2）求证E是的中点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）由平行线的性质得，进而可证明；
（2）根据相似三角形的性质求出的长是解答本题的关键．
【小问1详解】
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴E是的中点．
23. 如图，等边在边延长线上取点D，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求的度数；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
（1）由旋转的性质可得，再由等边三角形的性质可得再证明再由全等三角形的性质求解即可；
（2）过点E作交延长线于点H，由全等三角形的性质可得，再求得，由直角三角形的性质可得最后由勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：将线段绕点D顺时针旋转得到线段，
，
即是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
，
在于中，
，
【小问2详解】
解：如图，过点E作交的延长线于点H，
，，
，
，
，
，
，
，
，
24. 2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在10米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．

某跳水运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
②运动员必须在距水面前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．如图，记该运动员第一次训练的入水点为A，若运动员在区域内（含A，B）入水能达到压水花的要求，则第二次训练__________达到要求（填“能”或“不能”）．
【答案】（1）①，；②此次跳水不会出现失误，理由见解析
（2）不能
【解析】
【分析】（1）①先根据对称性求出抛物线对称轴，进而求出顶点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出最高点的距离即可；②求出当时，y的值即可得到答案；
（2）分别求出两次入水点的位置即可得到答案．
【小问1详解】
解：①由表格中的数据可知当时，，当时，，
∴抛物线对称轴为直线，
∴抛物线顶点坐标为，
∴抛物线解析式为，
把，代入得：，
解得，
∴抛物线解析式为
∵抛物线开口向下，
∴该运动员竖直高度的最大值为；
②此次跳水不会出现失误，理由如下：
当时，，
∵，
∴此次跳水不会出现失误；
【小问2详解】
解：在中，当时，则，
解得或（舍去），
∴
在中，当时，则，
解得或（舍去），
∴第二次入水的位置的水平距离为米，
∵，即第二次入水的位置在店A的左侧，
∴第二次训练不能达到要求，
故答案为：不能．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键．
25. 如图，中，，以为直径的分别交边，于点，，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求和的长．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）由可得，由切线的性质可得，从而得到，，推出，即可得证；
（2）连接、，由（1）可得，，，即可求出，得到，由勾股定理可得，得到，由圆周角定理可得，证明，得到，求出，同理可得，，证明，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：，
，
是的切线，
，
，
，，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接、，

由（1）可得，，
，
是的切线，
，
，
，
，
，，
，
是的直径，
，
，
，，
，
，即，
，
，
同理可得：，，
，
，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 上有两个点 和
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若对于 ，都有 ，求的取值范围；
（3）若对于 ，都有 ，求证：．
【答案】（1）直线；
（2）或；
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（）由抛物线对称轴为直线，，则点在对称轴右侧，故其关于对称轴对称点横坐标满足，然后根据二次函数的增减性即可求解；
（）由，对称轴为直线，则关于对称轴对称点横坐标满足，又在对称轴左侧随的增大而减小，从而判断，故时，，然后代入即可求证；
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵抛物线，
∴抛物线对称轴为直线；
【小问2详解】
解：∵抛物线对称轴为直线，，
∴点在对称轴右侧，
∴其关于对称轴对称点横坐标满足，
由可知，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大，
∵当都有，
∴或，
解得：或；
【小问3详解】
证明：∵，对称轴为直线，
∴关于对称轴对称点横坐标满足，
∵在对称轴左侧随的增大而减小，
∴，
∵，
∴，
∴时，，
∴，即．
27. 如图，在中，，，为的中点，是线段上的动点（不与点，重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，过点作的平行线交的延长线于点．
（1）求证：
（2）若为线段的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系并证明．
【答案】（1）证明见解析
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角可得，根据平行线的性质可得，进而可得，根据旋转的性质、角的和差关系可得，利用可证得，于是可得，据此即可得出结论；
（2）连接并延长，交于点，连接，利用可证得，于是可得，，由（1）可知，，于是可得，利用可证得
，于是可得，，再结合平行线的性质及等角对等边可得，从而得出，进而可证得是的中位线，于是得解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，即：，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图，连接并延长，交于点，连接，
∵，
∴，
，，，
，
，，
由（1）可知：，，
∴，
，，，
，
，，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
∵，
∴是的中位线，
，
即：．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，旋转的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并正确做出辅助线是解题的关键．
28. 如图，平面中的线段和直线外一点，对于，，三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点为线段的“优关联点”． 如图，已知点，．
（1）在点中，是线段的“优关联点”的是______；
（2）如果直线上存在线段的“优关联点”，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（）根据所对的弧为优弧可得，进而结合图形可得结果；
（）以为直径作，求出直线与相切时的值，进而即可求解．
【小问1详解】
解：∵所对的弧为优弧，
∴，
∵，，，
∵是线段的“优关联点”，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，以为直径作，
当直线与相切于点或点时，设其分别交轴于点，交轴于，
则直线，
∵直线，当时，； 当时，，
∴直线与轴所成的锐角是，
∴，
∴，
∴此时直线交轴于点，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∴此时直线与轴交于，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直线和圆的位置关系，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握以上知识点是解题的关键．x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
－3
－4
－3
0
…
摸球的次数
2048
4040
10000
12000
24000
摸到白球的次数
1061
2048
4979
6019
12012
摸到白球的频率
0.518
0.5069
0.4979
0.5016
0.5005
第二次
第一次
白1
白2
黑1
黑2
白1
（白1，白1）
（白1，白2）
（白1，黑1）
（白1，黑2）
白2
（白2，白1）
（白2，白2）
（白2，黑1）
（白2，黑2）
黑1
（黑1，白1）
（黑1，白2）
（黑1，黑1）
（黑1，黑2）
黑2
（黑2，白1）
（黑2，白2）
（黑2，黑1）
（黑2，黑2）
水平距离
0
竖直高度