2024-2025学年北京市丰台二中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市丰台二中九年级（上）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算( 3)2的结果为( )
A. 3B. 3 3C. 6D. 9
2.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是( )
A. 1，1，1B. 2，3，4C. 1， 3，2D. 7，3，5
3.将直线y=3x向下平移2个单位长度后，得到的直线是( )
A. y=3x+2B. y=3x−2C. y=3(x+2)D. y=3(x−2)
4.如图，在▱ABCD中，AB=AC，∠CAB=40°，则∠D的度数是( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
5.一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋40双，各种尺码的鞋的销售量如表所示：
店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为24cm的鞋，你认为他做这个决定是重点关注了下列统计量中的( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则AB边上的高CD的长为( )
A. 4
B. 245
C. 3 3
D. 10
7.如图，一次函数y=x+1与y=kx+b的图象交于点P，则关于x，y的方程组y=x+1y=kx+b的解是( )
A. x=1y=2
B. x=2y=1
C. x=−1y=1
D. x=2y=4
8.如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是( )
A. 8mB. 10mC. 12mD. 15m
9.如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：
①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数，④S是h的函数．
其中所有正确结论的序号是( )
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
10.若 x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
11.函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象上有两个点A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，当x112.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC.分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为30m，则A，B两点间的距离为 m.
13.给出7个数据的平均值为4，从小到大排序，前四个数据的平均值为2，后4个数据的平均值为6，则这7个数据的中位数为______．
14.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx(k>0)与直线y=−x+3，直线y=−x−3分别交于A、B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共16分。
15.计算：(1) 8− 2+2 12；
(2)( 5+ 3)( 5− 3).
四、解答题：本题共5小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，且BE=DF，连接AE，CF．
求证：AE/​/CF．
17.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A(−4,0)与B(0,5)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若点C是x轴上一点，且△ABC的面积是5，求点C的坐标．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，点E与点D关于直线AC对称，连接AE、CE．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)连接BE，若∠ABC=30°，AC=2，求BE的长．
19.(本小题9分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y1=x+1与直线l2：y2=2x−2交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)当y1>y2时，直接写出x的取值范围；
(3)已知直线l3：y3=kx+1，当x<3时，对于x的每一个值，都有y3>y2，直接写出k的取值范围．
20.(本小题9分)
在正方形ABCD中，F是线段BC上一动点(不与点B，C重合)，连接AF，AC，分别过点F，C作AF、AC的垂线交于点Q．
(1)依题意补全图1，并证明AF=FQ；
(2)过点Q作NQ/​/BC，交AC于点N，连接FN.若正方形ABCD的边长为1，写出一个BF的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：( 3)2=3，
故选：A．
根据二次根式的性质计算，判断即可．
本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质：( a)2=a(a≥0)是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】
解：A、∵12+12≠12，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵12+( 3)2=22，
∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵( 7)2+32≠52，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：原直线的k=3，b=0；向下平移2个单位长度得到了新直线，
那么新直线中的k=3，b=0−2=−2．
∴新直线的解析式为y=3x−2．
故选：B．
平移时k的值不变，只有b发生变化．
本题考查了一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧紧抓住直线平移后k不变这一性质．
4.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，∠CAB=40°，
∴∠B=∠ACB=70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=70°，
故选：D．
由等腰三角形的性质可求∠B=∠ACB=70°，由平行四边形的性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由表知这组数据中24cm出现的次数最多，即这组数据的众数为24cm，
所以他做这个决定是重点关注了这组数据的众数，
故选：C．
最值得关注的应该是哪种尺码销售的量最多，即众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
由勾股定理求出AB，由三角形的面积的计算方法即可求出斜边上的高CD的长．
【解答】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
则由勾股定理得到：AB= AC2+BC2= 62+82=10．
∵S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴CD=AC⋅BCAB=6×810=245．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=x+1与y=kx+b的图象交于点P(1,2)，
则关于x，y的方程组y=x+1y=kx+b的解是x=1y=2，
故选：A．
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解的x，y的值就是两个相应的一次函数图象的交点的横，纵坐标．
8.【答案】C
【解析】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为(x+1)米，
根据勾股定理可得：x2+52=(x+1)2，
解得，x=12．
即旗杆的高度为12米．
故选：C．
因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为(x+1)米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
此题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：因为这是球形容器，
①S是V的函数，故符合题意，
②V不是S的函数，故不符合题意，
③h不是S的函数，故不符合题意，
④S是h的函数．故符合题意．
故选：B．
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可判断函数．
本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
10.【答案】x≥1
【解析】解：由题意可得 x−1≥0，
∴x−1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
根据二次根式有意义的条件即可解得．
此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．
11.【答案】y=x(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查了函数关系式、正比例函数的性质．
根据A1(x1,y1)，A2(x2,y2)满足x1【解答】
解：∵A1(x1,y1)，A2(x2,y2)满足x1∴函数y=kx(k≠0)满足k>0
∴y=x(k>0即可)；
故答案为：y=x(答案不唯一)．
12.【答案】60
【解析】解：∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∵DE=30m，
∴AB=60m，
故答案为：60．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：根据题意得，前四个数的和为：4×2=8，后四个数的和为：4×6=24，7个数据的和为：7×4=28．
∴第四个数为：8+24−28=4，
故中位数为4．
故答案为：4．
根据平均数可得前四个数的和为8，后四个数的和为24，再根据7个数据的和为28可得答案．
本题主要考查平均数和中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
14.【答案】0
【解析】解：直线y=kx(k>0)与直线y=−x+3，直线y=−x−3分别交于A、B两点．
∴联立y=kxy=−x+3，解得x1=3k+1y1=3kk+1,
联立y=kxy=−x−3，解得x2=−3k+1y2=−3kk+1；
∴y1+y2=3kk+1−3kk+1=0，
故答案为：0．
本题是两条直线相交问题，联立求出A、B两点的坐标是解题的关键．
联立两条直线解析式求出A、B两点的坐标，即可得解．
15.【答案】解：(1)原式=2 2− 2+ 2
=2 2；
(2)原式=5−3
=2．
【解析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和平方差公式是解决问题的关键．
(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)利用平方差公式计算．
16.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AD−DF=BC−BE，
即AF=CE，
∵AD/​/BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE//CF．
【解析】根据平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，进而证得AF=CE，从而证明四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可证得结论．
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，能够根据图形判定四边形的特殊形状进而求得与所证相关的结论是解答问题的关键．
17.【答案】解：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b，
将点A(−4,0)与点B(0,5)代入y=kx+b中，
得−4k+b=0b=5，
解得：k=54b=5，
∴一次函数解析式为y=54x+5．
(2)由题意知OB=5，
∵△ABC的面积=12AC⋅OB=5，
∴12×AC×5=5，
∴AC=2，
∵点A(−4,0)，
∴C点的坐标为(−2,0)或(−6,0)．
【解析】(1)设一次函数解析式为y=kx+b，再将A、B两点坐标代入即可求出一次函数解析式．
(2)根据△ABC的面积求出AC的长，即可求得C的坐标．
本题主要考查待定系数法求解一次函数解析式以及三角形面积，解题的关键在于求得AC的长度．
18.【答案】(1)证明：连接DE，DE交AC于O，
∵点E与点D关于直线AC对称，
∴AC是线段DE的垂直平分线，
∴AE=AD，CE=CD，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AD=12AB，
∴AE=AD=CD=CE，
∴四边形AECD是菱形；
(2)解：过E作EM⊥BC，交BC的延长线于M，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，
∴AD=12AB=2，
由勾股定理得BC= AB2−AC2= 42−22=2 3，
∵四边形AECD是菱形，AC=2，
∴OC=AO=1，AC⊥DE，
∵EM⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠M=∠EOC=∠ACM=90°，
∴EM=CO=1，OE=MC，EC=AD=2，
由勾股定理得：MC= EC2−EM2= 22−12= 3，
∴BM=BC+CM=2 3+ 3=3 3，
由勾股定理得：BE= BM2+EM2= (3 3)2+12=2 7．
【解析】本题考查了轴对称的性质，菱形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线性质、含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．
(1)连接DE，DE交AC于O，根据轴对称性质得出AE=AD，CE=CD，根据直角三角形斜边上的中线性质求出AD=CD，再根据菱形的判定得出即可；
(2)过E作EM⊥BC，交BC的延长线于M，求出AB和BC长，求出OC=1，根据勾股定理求出CM，再根据勾股定理求出BE即可．
19.【答案】解：(1)由题意得：y=x+1y=2x−2，
解得：x=3y=4．
∴A(3,4)．
(2)如图，

当y1>y2时，x<3．
(3)如图，y3=kx+1过定点(0,1)，

当y3=k1x+1与y2=2x−2的图象平行时，
此时y3=2x+1，满足当x<3，y3>y2恒成立，
当y3=k2x+1过A(3,4)时，则3k2+1=4，
解得k2=1，
此时y3=x+1，满足x<3，y3>y2恒成立，
所以结合图象可得：当x<3时，对于x的每一个值，都有y3>y2，
k的取值范围为：1≤k≤2．
【解析】(1)由直线l：y1=x+1与直线l2：y2=2x−2交于点A，故可联立方程组：y=x+1y=2x−2，再解方程组即可；
(2)根据函数图象，可知：当y1>y2时，x<3．
(3)如图，y3=kx+1过定点(0,1)，当y3=k1x+1与y2=2x−2的图象平行时，此时y3=2x+1，满足当x<3，y3>y2恒成立，当y3=k2x+1过A(3,4)时，则3k2+1=4，解得k2=1，此时y3=x+1，满足x<3，y3>y2恒成立，再结合函数图象可得答案．
本题主要考查二元一次方程组、一次函数图象的性质以及一元一次不等式，借助数形结合的思想，熟练掌握一次函数图象的性质是解题关键．
20.【答案】解：(1)根据题意，作图如下：
证明：在AB上截取BM=BF，如下图，
∵∠CFQ+∠AFB=90°，∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠CFQ，
∵BF=BM，则BC−BF=AB−BM，
∴CF=AM，
又∵∠AMF=180°−45°=135°，∠FCQ=90°+45°=135°，
∴∠AMF=∠FCQ，
在△AMF和△FCQ中，
∠MAF=∠CFQAM=FC∠AMF=∠FCQ，
∴△AMF≌△FCQ(ASA)，
∴AF=FQ；
(2)当BF=13时，四边形FCQN为平行四边形，
证明：如图，在AB上截取BM=BF，连接MF，
∵BF=13，BC=1，
∴FC=23，
由(1)可得△BMF为等腰三角形，且△AMF≌△FCQ，
∴CQ=MF= 23，
∵NQ/​/BC，
∴∠FCQ+∠NQC=180°，
∵∠FCQ=135°，
∴∠NQC=45°，
∵∠NCQ=90°，
∴∠NQC=45°=∠QNC，
∴QC=NC= 23，NQ=23，
∴NQ=FC且NQ//FC，
∴四边形FCQN为平行四边形．
【解析】(1)先根据题意画出图象，再作辅助线，使AF所在的三角形和QF所在的三角形全等即可得出AF=QF；
(2)取BF为13，算出FC的长，然后根据AC⊥CQ推导NQ=FC，用平行四边形的判定即可证明四边形FCQN是平行四边形．
本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，关键是要能作出适当的辅助线FM来证明△AMF≌△FCQ，再利用全等三角形的性质得出对应边相等．当题目中出现正方形时，要想到正方形的四边相等，四个内角相等．尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
7
14
8
3