北京市北京市海淀区清华大学附属中学2024-2025学年下学期2月九年级开学考试 数学试题（含解析）

这是一份北京市北京市海淀区清华大学附属中学2024-2025学年下学期2月九年级开学考试 数学试题（含解析），共34页。试卷主要包含了02， 已知，则下列结论正确的是， 分解因式等内容，欢迎下载使用。
（清华附中初22级）
2025.02
一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练的掌握简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的视图对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．主视图是正方形，故本选项错误；
B．主视图是三角形，故本选项正确；
C．主视图是长方形，故本选项错误；
D．主视图是圆，故本选项错误．
故选：B．
2. 年月日，搭载神舟十七号载人飞船长征二号摇十七运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．长征二号（代号：，简称：长二，绰号：神箭）主要用于发射神舟飞船和大型目标飞行器到近地轨道，其近地轨道运载能力是千克．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故选C．
3. 如图，直线于点，射线在内部，射线平分，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 与互余D. 与互补
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂直定义可得，从而可得，，再利用角平分线的定义可得，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而可得与不互余，再利用邻补角定义可得，从而利用等量代换可得，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，，
射线平分，
，
，
，
，
与不互余，
，
，
与互补，
故A、B、C选项都不符合题意，D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，余角和补角，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
4. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴A，B，C不符合题意；D符合题意；
故选：D
5. x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】利用根的判别式和一元二次方程的定义计算判断即可．
【详解】∵方程有两个不相等的实数根，
∴．，
解得且，
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
6. 某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程．
【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，
依题意得，，
故选：C．
7. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有12个等可能的结果，抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的结果有8个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把“龘”“龙”“行”分别记为A、B、C，画树状图如图：
共有12个等可能的结果，欢欢抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的结果有8个，
∴抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的概率为．
故答案为：A．
8. 已知如图，二次函数的顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②点在上；
③在抛物线上存在一点，能使四边形为平行四边形；
④直线与相切．
正确的结论是（ ）
A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的解析式即可判定；求得、的长进行比较即可判定，过点作，交抛物线于，如果，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；求得为直角三角形即可进行判定；
【详解】解：如图，过点作，交抛物线于，连，连，，
二次函数的顶点为，最大值为，
抛物线过点，
抛物线的对称轴为直线，故正确，符合题意；
，解得，
抛物线的解析式为，
当时，，解得：或，
，；
，
，
，
，
，
点在上，故②正确，符合题意；
，
，解得：或，
，
，
四边形不是平行四边形，故错误，不符合题意；
由抛物线可知，
，
，，，
，
为直角三角形，
，
，
，
直线与相切，故正确，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质，平行四边形的判定，勾股定理及逆定理，切线的判定，点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
二．填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
10. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式和平方差公式法分解因式等知识点，熟练掌握用平方差公式分解因式是解决此题的关键．先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案： ．
11. 方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程，然后检验即可得出答案．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
故答案为：．
12. 如图，的弦相交于点P．若，则_______°．
【答案】32
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．先根据圆周角定理求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：32．
13. 根据如表估计__________（精确到）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解答本题的关键．
根据表格可得，从而可得，即可解答．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的k的值_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由题可知，在两个象限，根据得到图象位于二、四象限，即给出符合题意的k值即可．
【详解】由题可知，在两个象限，
∵，
∴反比例函数的图象位于二、四象限，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
15. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为________．

【答案】3
【解析】
【分析】过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，设的半径为1，
过作于，

在正十二边形中，
，
∴正十二边形的面积为,
，
,
的近似值为3，
故答案为：3．
16. 某公司有四个部门：、、、，需要选择会议室，部门、、、需要的会议室数量分别为2、3、4、5个．会议室的编号为1至15号，电梯口左右两侧分别是单数编号的会议室和双数编号的会议室，如图所示．每个部门在选择会议室时，只能选择相邻的会议室，并且所选会议室的编号之和尽可能小．如果部门先选，它选择了1号和2号会议室，接着部门选择了3号、5号、7号会议室，要使部门、都能选到会议室，则接下来应该让___________（填或者）部门选．如果部门首先选择会议室，要使其他三个部门都能选到会议室，写出一种满足条件的选择会议室的先后顺序___________．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】本题主要考查了逻辑与推理，理解题意列举出所有的顺序情况是解题的关键．
（1）如果部门先选，接着部门选择，列举出接下来让部门选和让部门选的情况，分别判断是否符合题意即可得出结论；
（2）如果部门首先选择会议室，由题意可知，它会选择1号、2号、4号、6号会议室，分3种情况讨论：①接下来让部门选；②接下来让部门选；③接下来让部门选，列举出所有的顺序情况，逐个分析判断即可得出结论．
【详解】解：（1）如果部门先选，它选择了1号和2号会议室，接着部门选择了3号、5号、7号会议室，
若接下来让部门选，它会选择4号、6号、8号、10号会议室，此时剩下的会议室没有5个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意；
若接下来让部门选，它会选择4号、6号、8号、10号、12号会议室，最后让部门选，它会选择9号、11号、13号、15号会议室，则部门、都能选到会议室，符合题意；
故答案为：．
（2）如果部门首先选择会议室，由题意可知，它会选择1号、2号、4号、6号会议室，
下面分3种情况讨论：
①接下来让部门选，它会选择3号、5号会议室：
若接下来让部门选，它会选择7号、9号、11号会议室，此时剩下的会议室没有5个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意；
若接下来让部门选，它会选择7号、9号、11号、13号、15号会议室，最后让部门选，它会选择8号、10号、12号会议室，则部门、、都能选到会议室，符合题意；
②接下来让部门选，它会选择3号、5号、7号会议室，此时剩下的会议室没有5个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意；
③接下来让部门选，它会选择3号、5号、7号、9号、11号会议室：
若接下来让部门选，它会选择8号、10号会议室，此时剩下的会议室没有3个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意；
若接下来让部门选，它会选择8号、10号、12号会议室，最后让部门选，它会选择13号、15号会议室，则部门、、都能选到会议室，符合题意；
综上所述，满足条件选择会议室的先后顺序为或．
故答案为：或．
三．解答题（本题共68分，其中17-22题每小题5分，23-26题每小题6分，27、28题每小题7分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式，特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，化简二次根式，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握和运用解一元一次不等式组的步骤是解决本题的关键．首先解每一个不等式，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
将代数式运用分式性质化简变形后，由已知等式求出，整体代入计算即可求出值；
【详解】解：
，
，
，
∴原式．
20. 如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证，再证，得，然后证四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质结合三角函数得出，，求出，在中，解直角三角形，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，，，
中，，
，，
，，
过点C作的垂线交其延长线于点E，
，
中，，
．
21. 下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板的瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．

【答案】每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元，根据花费10000元，其中包含安装费1270元列方程求解即可．
【详解】解：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元．
厨房面积：，
卫生间面积：，
客厅面积：，
卧室面积：，
由题意可得，，
解得，
，．
答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元．
22. 在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象由函数的图象向下平移4个单位长度得到，且与轴交于点A．
（1）求该一次函数的解析式及点A的坐标；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数（）的值且大于，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的应用，求一次函数解析式，一次函数图象的平移：
（1）根据一次函数平移的性质可得，当时， ，则可求得点A的坐标；
（2）根据题意可得且，再根据，据此求解即可；
熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：一次函数（）的图象由函数的图象向下平移4个单位长度得到，
一次函数的解析式为，
当时，，解得：，
．
【小问2详解】
当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值且大于，
且，
即：且，
，
且，
解得：．
23. 为了增强学生的身体素质，助力学生全方位成长，我校积极组织了形式多样的课外体育活动．在九年级举办的篮球联赛进程中，甲、乙两位队员展现出了极为出色的表现．计分组在甲、乙两位队员最近的六场比赛里，得分、篮板以及失误这三个关键维度上的统计详情如下．
技术统计表：
根据以上信息，回答下列问题．
（1）表中的_____，____；
（2）计分组的同学们已经算出了甲得分的方差为3.25，请你帮助他们算出乙得分的方差．
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误．综合得分越高表现越好．利用这种评价方法_____（填“甲”或“乙”）队员表现更好．
【答案】（1）；
（2） （3）乙
【解析】
【分析】本题主要考查了中位数，平均数、方差的计算，熟练掌握其知识并能灵活运用是解决此题的关键．
（1）根据平均数的概念和中位数的计算方法求解即可；
（2）根据方差公式计算求解即可；
（3）根据“综合得分”的计算方法求出甲和乙的得分，然后比较求解即可．
【小问1详解】
解：由统计图知，甲的平均得分，
把乙的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三次、第四次的成绩分别为28和30，
乙的中位数，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：乙的平均得分为，
乙的方差为，
；
【小问3详解】
解：甲的综合得分为：， 乙的综合得分为：，
∵40>36.5，
乙队员表现更好，
故答案为：乙．
24. 如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，是的直径，连接并延长交直线于点D．
（1）求证：；
（2）延长交的延长线于点E．若的半径为，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用切线的性质和切线长定理得到，，利用等腰三角形性质和等量代换得到，利用等量代换即可证明；
（2）连接，，在中，利用，得到设，．则，．在中，利用建立等式算出的值，进而得到，利用勾股定理得到，证明，利用相似三角形的性质即可求出．
【小问1详解】
证明：连接，如图1．
，是的切线，，是的半径，
，，
，．
，
，
，
．
又，
．
【小问2详解】
解：连接，，如图2．
在中，，
设，．则，．
在中，，即．解得．
，．
是的直径，
．
，，
．
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、熟练掌握切线的性质，能够正确作出辅助线是解答问题的关键．
25. 科学家进行了一项实验，研究温度在一定范围内，某种植物的生长速率与温度（单位：℃）之间的关系．在某条件下，实验数据如下表所示，实验发现该条件下该植物的生长速率与温度之间存在二次函数关系．
（1）根据以上条件，直接写出的值，并求生长速率关于温度的二次函数表达式．
（2）在平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图像；
（3）由于实验室的温控设备有一定误差，当我们设定的温度为时，实际温度在的范围内波动．如果希望植物的生长速率至少达到，请利用函数图象写出设定温度的范围_______．（答案保留一位小数）
【答案】（1）；
（2）图象见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，进行解答，即可．
（1）观察表格，可得二次函数的顶点为，设二次函数的解析式为，求出，即可；
（2）利用表格的数据，画出二次函数的图象，即可；
（3）根据题意，可得，即；再根据实际温度在的范围内波动，解出实际温度的波动范围，即可．
【小问1详解】
解：∵该条件下该植物的生长速率与温度之间存在二次函数关系
∴由表格可得，设生长速率与温度的二次函数关系为：；
当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为：，
∴当时，，
解得：．
【小问2详解】
解：图象如下：
【小问3详解】
解：∵希望植物的生长速率至少达到，
∴，
∴，
∴，
∵实际温度在的范围内波动，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴温度的范围为：．
26. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两个点．
（1）当时，求的值；
（2）若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质；
（1）由抛物线的对称轴为直线，再根据得到点，关于对称轴对称得，计算即可；
（2）分两种情况：当点在对称轴左侧时或当点在对称轴右侧时，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据分类讨论．
【小问1详解】
解：抛物线的对称轴为直线，
当时，点，关于对称轴对称，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线，
（1）当时，抛物线开口向上，
①当点在对称轴左侧时，
∴，
解得，
，
∴点在对称轴右侧，
作点关于对称轴的对称点，
，
∴点B在点左侧，且在点A在右侧，
∴，
，
∴，
解得：此不等式组无解；
②当点在对称轴右侧时，
∴，
解得，
，
∴点B在点右侧，且在点A在左侧，
∴，
∴，
解得：；
当时，抛物线开口向下，
，
∴点在对称轴右侧，
，
∴点A在点对称轴左侧，
作点关于对称轴的对称点，
，
∴点B在点右侧，
，
，
综上所述，的取值范围为或．
27. 已知，将绕点逆时针旋转到，使点的对应点落在直线上．
（1）①依题意补全图1；
②若垂直，直接写出的值；
（2）如图2，过作的平行线，与的延长线交于点，交于点，取的中点和的中点，写出线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）①图见解析②
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）①依题意作图即可；②先证明，得出即可求出结论；
（2）在上截取，连接，在上截取，连接，先证，再证明，证明是中位线，即可证明结论．
【小问1详解】
解：①依题意补全图1：
②将绕点逆时针旋转到，
，
，
，
垂直，
，
，
；
【小问2详解】
解：在上截取，连接，在上截取，连接，
是中点，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
，
，
是中点，
，
，
是中位线，
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理及旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理及添加适当的辅助线是解题关键．
28. 在平面直角坐标系中，设的半径为2．对于线段和点、点，给出如下定义：记的长度为，若线段为线段关于直线的对称线段，且沿着直线方向平移个单位长度后成为的一条弦，则称点为点关于线段的关联点．
（1）已知，在、、、中，点关于线段的关联点为________；
（2）已知，动点、满足，．若点是点关于线段的关联点，直接写出线段的长度的取值范围________；
（3）已知点，、为两个不同的动点，点是点关于线段的关联点．若且，直接写出线段中点的横坐标的取值范围__________．
【答案】（1）、
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，经过轴对称与平移后可以成为的一条弦，根据新定义可得所在直线为轴，进而可得，即，结合点的坐标，即可求解；
（2）根据已知可得、在以为圆心，半径为圆上，且为一条弦，取，以为半径作圆，由（1）可得在半径为的上，则，关于直线对称后得到的线段仍在半径为的圆上，设直线与分别交于点，得出四边形是矩形，进而勾股定理求得的长，从而求得平移距离为，即，进而求得的长，根据点到圆上的距离求得最值，即可求解；
（3）对于关于对称的线段为，并沿着所在直线方向平移得到，则在上，反过来，沿着方向平移长度单位再关于对称可得到，这里要处理的是点，先平移再对称，结合（2）的方法构造矩形，分两种情况讨论，①当沿方向移动时，②如图所示，当沿方向移动时；是上一点，关于对称，交轴于点，则,设与轴的夹角为，，接下来求的横坐标，过点作轴于点，过点作于点，得出的表达式，进而根据二次函数的性质求得最值，再根据点到圆的距离最值问题分析，求得范围，即可求解．
【小问1详解】
解：∵
∴
又∵的半径为，
而
∴经过轴对称与平移后可以成为的一条弦，
根据新定义可得所在直线为轴，
关于轴对称的线段为，将向左平移2个单位得到的一条弦，
如图所示，
∴，即，
∴点关于线段的关联点为、
故答案为：、．
【小问2详解】
解：∵，
∴、在以为圆心，半径为的圆上，且为一条弦，
如图所示，取，以为半径作圆，
∵为沿着直线方向平移个单位长度后成为的一条弦，
∴
由（1）可得在半径为的上，则
∵关于直线对称后得到的线段仍在半径为的圆上，
∴，且垂直平分，
∴
设直线与分别交于点，
∴，
∵是平移得到的，则，
∴四边形是平行四边形，
∵为沿着直线方向平移
∴
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴
∴平均距离，即
∴在为半径的上，
当平移至时，同理可得
∴平均距离，即
∴在为半径的上，
∵
∴
∴
∴
即线段的长度的取值范围，
故答案为：．
【小问3详解】
由题可知，对于关于对称的线段为，并沿着所在直线方向平移得到，则在上，反过来，沿着方向平移长度单位再关于对称可得到
∴取中点，则始终在内部，
∵，且，
如图所示，点在上运动，
将沿着方向平移个单位得到，再关于对称得到，当在上运动时，则在上运动，
①当沿方向移动时，
如图所示，是上一点，关于对称，交轴于点，则，
∴关于对称，为与轴的交点，即 ，
接下来求的横坐标，过点作轴于点，过点作于点，
同（2）可得四边形是矩形，则，
设与轴的夹角为，，
∴，，，
设，，
∴
∴当时，，
当时，，
∵的长度不能为，则不能取等于号，
∴，即
②如图所示，当沿方向移动时，同①的方法作出辅助线，
设与轴的夹角为，，
∴，，，，
设，则，
∴，对称轴为直线,
∴当时，，
当时，，
∴
∵的长度不能为，则不能取等于号，
∴，即，
综上所述，．
【点睛】本题考查了轴对称变换与平移，二次函数的性质，解直角三角形，求一点到圆上一点的距离的最值问题，垂径定理，勾股定理；反向分析新定义是解题的关键，新定义的理解，作图都是难点．
队员
平均每场得分
得分中位数
平均每场篮板
平均每场失误
甲
27.5
8
2
乙
28
10
3
温度
生长速率