北京市第十五中学2024-2025学年九年级下学期开学考试 数学试卷（含解析）

这是一份北京市第十五中学2024-2025学年九年级下学期开学考试 数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此依次判断即可.
【详解】∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
∴A、C、D不符合，不是中心对称图形，B选项为中心对称图形.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.
2. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的平移，根据二次函数图像的平移规律，左加右减，上加下减，即可得到答案．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为，
故选：B．
3. 如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案．
详解】解：由图可知：，
若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意；
若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意；
若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意；
若，不能判定与相似，故B符合题意；
故选：B．
4. 若是关于一元二次方程的一个解，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
把代入一元二次方程中即可解得的值．
【详解】解：把代入一元二次方程中得：，
解得：．
故选：D．
5. 如图，四点在⊙上，. 则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接BO，由可得，则，由圆周角定理，得，即可得到答案.
【详解】解：如图，连接BO，则
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：B.
【点睛】本题考查了垂径定理，以及圆周角定理，解题的关键是正确作出辅助线，得到.
6. 近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用增长率问题，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键．
设新能源汽车出口量的年平均增长率为，则2022年的出口量是万辆，2023年的出口量是万辆，然后根据2023年的出口量列方程即可．
【详解】解：设年平均增长率为，
由题意得：．
故选：C．
7. 如图是风轮叶片示意图，在转动的过程中，某一叶片绕点O顺时针旋转后到达处，则下列选项错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质，①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变．④旋转中心是唯一不动的点．⑤一组对应点的连线所在的直线所交的角等于旋转角度．
根据旋转的性质解答即可得出结论．
【详解】解：由旋转的性质可得：，，，
直线与所成夹角等于，而得不到，D选项错误
故选：D．
8. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段的中点，连接，则线段最小值是（ ）

A. 2B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴交点坐标的计算，三角形三边不等式，三角形中位线定理，先计算交点坐标，再确定点B、D、C共线时，就最小，计算即可．
【详解】解：抛物线与x轴交于A，B两点，
时，
解得，
∴，，
∴，
∵D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，
∴，
根据勾股定理，得
，
∵E是线段的中点，，O是中点，
∴是三角形的中位线，
∴，
当最小时，取得最小值，
即点B、D、C共线时，最小，此时就最小．
如图，连接交圆于点，

∴，
∴．
所以线段的最小值为2．
故选：A．
二、填空题
9. 二次函数的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质和最值，即可得到答案.
【详解】解：在中，
∵，对称轴为，
∴当时，二次函数取到最大值；
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次函数的性质和最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题.
10. 若，则锐角______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值进行求解即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴锐角，
故答案为：．
11. 如图，⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点E，若BE=2，则CD的长为_______．

【答案】8
【解析】
【分析】连接OC，求出OE＝3，根据垂径定理得出CE＝ED＝CD，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出CE的长度，即可求出CD的长度．
【详解】解：如图，连接OC．
∵⊙O的直径AB＝10，
∴OB＝OC＝5，
∴OE＝OB﹣BE＝5﹣2＝3，
∵弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝ED＝CD．
∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，OE＝3，OC＝5，
∴CE＝＝4，
∴CD＝2CE＝8．
故答案为8．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识；由勾股定理求出CE是解决问题的关键．
12. 如图，分别以线段BD的端点B、D为圆心，相同的长度为半径画弧，两弧相交于A、C两点，连接AB、AD、CB、CD．若AB＝2，，则四边形ABCD的面积为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的判定求出BE，根据勾股定理求出AE，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：连接AC，交BD于点E，
由作图可知，AC所在直线是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，BE＝ED＝，
在Rt△ABE中，AE＝＝1，
∴四边形ABCD的面积＝×1×2＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
13. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，则一元二次方程的解为______．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图象与x轴的交点横坐标即为所对应的一元二次方程的解．据此进行解答即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴当或时，，
即一元二次方程的解为，，
故答案为：，
14. 小明看到公园地面上有一个心形封闭图形，为了研究图形的面积，设计了一项试验：在图形外部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下：
随着投掷次数的不断增多，石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为______；由此估计图形的面积为______平方米．
【答案】 ①. 0.4 ②.
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
（1）大量试验时，频率可估计概率；
（2）利用概率，根据图形A的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．
【详解】解：（1）因为石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为0.4；
故答案为：0.4；
（2）∵圆的半径为1米，
∴它的面积为，
∵石子落在图形内的概率为，
∴估计图形的面积为平方米，
故答案为：．
15. 如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=．以A为圆心，AD的长为半径作弧交BC边于点E，则图中的弧长是_______.
【答案】π
【解析】
【分析】根据题意可得AD=AE=，则可以求出sin∠AEB，可以判断出∠AEB=45°，进一步求解∠DAE=∠AEB=45°，代入弧长计算公式可得出弧DE的长度．
【详解】解：∵以AD为半径画弧交BC边于点E，AD=
∴AD=AE=，
又∵AB=1，
∴
∴∠AEB=45°，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB=45°，
故可得弧DC的长度为==π，
故答案为：π．
【点睛】此题考查了弧长的计算公式，解答本题的关键是求出∠DAE的度数，要求我们熟练掌握弧长的计算公式及解直角三角形的知识．
16. 张华在网上经营一家礼品店，春节期间准备推出四套礼品进行促销，其中礼品甲45元/套，礼品乙50元/套，礼品丙70元/套，礼品丁80元/套，如果顾客一次购买礼品的总价达到100元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，张华会得到支付款的80%．
①当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付_________元；
②在促销活动中，为保证张华每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的六折，则x的最大值为________．
【答案】 ①. 120 ②. 25
【解析】
【分析】① 当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付45+80-5=120元．
②设顾客每笔订单的总价为M元，当0＜M＜100时，张军每笔订单得到的金额不低于促销前总价的六折，当M≥100时，0.8（M-x）≥0.6M，对M≥100恒成立，由此能求出x的最大值．
【详解】解：（1）当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付：45+80-5=120元．
故答案为：120．
（2）设顾客一次购买干果的总价为M元，当0＜M＜100时，张军每笔订单得到的金额不低于促销前总价的六折，当M≥100时，0.8（M-x）≥0.6M，解得，0.8x≤0.2M.
∵M≥100恒成立,
∴0.8x≤200
解得：x≤25.
故答案为25.
【点睛】本题考查代数值的求法，考查函数性质在生产、生活中的实际应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．
三、解答题：
17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交点，将“L”形绕点顺时针旋转，顶点，的对应点分别为，，线段的对应线段为．
（1）在图中标出点，并画出“L”形旋转后所得到的图形；
（2）______；
（3）在旋转过程中，点所经过的路径长为______．
【答案】（1）见解析 （2）90
（3）
【解析】
分析】本题考查了作图旋转变换，求弧长．
（1）线段和的中垂线的交点即为点O，再确定点的位置，最后连线即可得“L”形旋转后所得到的图形；
（2）由（1）中的图示可得；
（3）点所经过的路径长是以为半径，圆心角为90度的弧长，根据弧长公式计算即可．
【小问1详解】
解：如图，线段和的中垂线的交点即为点O，
“L”形旋转后所得到的图形如图所示；
【小问2详解】
解：由（1）中的图示可得，
故答案为：90；
【小问3详解】
解：点所经过的路径长是以为半径，圆心角为90度的弧长，
由题意得，
∴点所经过的路径长，
故答案为：．
18. 如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E．
（1）求证：AC是∠DAB的平分线；
（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．
【答案】（1）详见解析；（2）6．
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCM＝90°，得到OC∥AD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；
（2）连接BC，连接BE交OC于点F，根据勾股定理求出BC，证明△CFB∽△BCA，根据相似三角形的性质求出CF，得到OF的长，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接，如图：
∵直线与相切于点
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是的平分线．
（2）解：连接，连接交于点，如图：
∵AB是的直径
∴
∵，
∴
∵
∴
∴，为线段中点
∵，
∴
∴，即
∴
∴
∵为直径中点，为线段中点
∴．
故答案是：（1）详见解析；（2）6
【点睛】本题考查了切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质以及三角形中位线的性质，适当的添加辅助线是解题的关键．
19. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点．
（1）当，时，求的值；
（2）若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）0 （2）或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质；
（1）由求出，，再根据得到，代入计算即可；
（2）的对称轴为，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向分类讨论．
【小问1详解】
解：当时，，，
将代入得，，即
∵，
∴，
将代入得，，
解得：或，
∵点A、B不重合，
∴；
【小问2详解】
解：∵的对称轴为，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大，
∴，
∵，
∴，都在对称轴右侧，
∵对于，都有，
∴，解得，此时；
当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大，
∴，
∵，
∴
∴，都在对称轴的左侧，
∵对于，都有，
∴，解得，此时；
综上所述，的取值范围为或．
20. 在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，如果点E在线段上，求证：；
（2）如图2，如果D在线段上，在射线上存在点F满足，连接求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，中位线定理等知识点，掌握相关数学结论即可．
（1）由旋转可知：，，进而得；根据，，可得；结合在中，
，即可求证；
（2）延长到点N，使，连接可推出，，证
，即可求证；
【小问1详解】
证明：∵线段绕点D顺时针旋转得到线段．
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
证明：如图，延长到点N，使，连接
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵，
∴．
掷石子的总次数
50
100
200
500
…
石子落在图形内的次数
15
43
80
201
…
石子落在阴影部分的次数
35
57
120
299
…