大题仿真卷01（题型必刷，ABC三组）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

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大题仿真卷01（A组+B组+C组）
（模式：5道解答题 满分：78分 限时：70分钟）
一、解答题
1．在直四棱柱中，底面是菱形，且．
(1)求证：直线；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据底面是菱形可得出对角线垂直，结合直四棱柱的特点可得到，由线面垂直的判定定理以及性质定理可证明结果；
（2）建立空间直角坐标系，由空间向量法计算可求出结果.
【解析】（1）解：底面是菱形，，
又因为四棱柱为直四棱柱，所以底面，
底面，，平面
，所以平面，平面，.得证.
（2）取BC中点，，且底面是菱形，则，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图：
则不妨设A1,0,0，，，
，，设平面的法向量m=x,y,z，则
，令，得，
平面的法向量为，
所以二面角的平面角的余弦值为：，
所以二面角的大小为.
2．已知函数.
(1)证明函数在上严格增；
(2)若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用函数的单调性定义证明即得；
（2）根据函数的奇偶性求出值，再求出方程的解，分别利用函数在和上的单调性即可求得不等式的解集.
【解析】（1）因，任取，且，
由
，
因，则，，故，
即.
故函数在上严格增；
（2）因为函数在定义域上为奇函数，则，
所以．
所以，即，
所以，
由得：，即，
所以或，
解得或，
所以不等式的解集为.
3．潜伏期是指已经感染了某毒株，但未出现临床症状和体征的一段时期，某毒株潜伏期做核酸检测可能为阴性，建议可以多做几次核酸检测，有助于明确诊断，某研究机构对某地1000名患者进行了调查和统计，得到如下表：
(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均值；（精确到0.01天）
(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取300人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关.
附：，其中
【答案】(1)天
(2)列联表见详解，没有的把握认为潜伏期与患者年龄有关
【分析】（1）根据题意结合平均数的计算公式运算求解；
（2）根据题意结合分层抽样求各层人数，进而补全列联表，计算，并与临界值对比分析.
【解析】（1）由题意可得：
所以样本平均值（天）.
（2）由（1）可知：潜伏期天与潜伏期天的比例为，
则抽取的潜伏期天的人数为，潜伏期天的人数为，
所以列联表为
可得，
所以没有的把握认为潜伏期与患者年龄有关.
4．双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点．
(1)若，点的坐标为，求的值；
(2)若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值；
(3)设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）将值和点坐标代入双曲线方程求出值，即可求得值；
（2）设直线，与双曲线方程联立消元，得关于的方程，依题方程有解为，代入整理方程后，借助于，可推得，即得证；
（3）利用双曲线定义化简得到，，设，利用余弦定理求出的值，结合图形和题意，确定其范围，即得关于的不等式，解之即得.
【解析】（1）依题意，将，代入中，
解得，则；
（2）

依题意知，可设直线，代入中，
整理得：（*），
如图，因，故点的横坐标为恰是方程（*）的解，
则，
整理得：，即，
因是等比数列，则，代入此式，可得，即得，
因过点的直线与右支在轴上方交于点，故得，即直线的斜率为定值；
（3）

如图，因点在双曲线右支上，则，即，
故由可得,
又因点直线与左支的交点,故，则，
在中，设，由余弦定理，，
因为，所以，
所以，
故当且仅当满足时，存在直线，使得成立.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，属于难题.
解题的关键在于对双曲线定义的理解掌握，在处理相关的焦半径问题时，要有转化思想，结合图形和定义，将其化简为常量或最值问题，即可解决.
5．设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”．
(1)判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由；
(2)设，求证：存在无穷多条“切线”；
(3)设，求证：对任意实数和正数都是“函数”
【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）记，设切点为，利用导数的几何意义求出，再证明直线与的图象只有唯一的公共点，将与函数联立，得，记，利用导数说明函数的单调性，即可得到方程的解．
（2）将点处的切线的方程与联立得，记，利用导数说明函数存在唯一零点，即可得证；
（3）类似第（2）问的思路得到在上有且仅有一解，则或，再分、两种情况说明即可.
【解析】（1）记，则，设切点为，
由切线方程为知，则，解得．
所以切点为，下面证明直线与的图象只有唯一的公共点，
将与函数联立，得．
记，则，
当时，当时，
故在上单调递增，在上单调递减，，
故函数只有一个零点，故是一条“切线”；
（2）因为，所以，
则点处的切线方程为，
将点处的切线的方程与联立得，
记，
则直线为“切线”函数有且仅有一个零点（此时，一个对应一条“切线”），显然是的零点，
故只要没其它零点，此时，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故此时为唯一的极小值点（也是最小值点），而，
故无其他零点，故直线为“切线”，因为的任意性，
故函数存在无穷多条“切线”，
（3）因为，则，
设点在函数的图象上，
则点的切线为，与联立得：
，
由题意得直线为“切线”，故方程在上有且仅有一解，
则或，
若，则是方程的唯一解（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值）．
若，则（此时只有一条“切线”，切点的横坐标为）
或（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值），
综上，，即证．
【点睛】关键点睛：对于新定义问题的关键是理解定义，将问题转化为方程有唯一解问题.
一、解答题
1．如图，已知平面，，为等边三角形，，点F为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算得出，结合线面平行判定定理即可得结论；
（2）确定平面的一个法向量，利用和的夹角求解即可.
【解析】（1）因为平面，，为等边三角形，
设，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
为的中点，，
，，
，平面，
平面.
（2）又是轴上的单位向量，则其是平面的一个法向量，
因为，设和平面所成的角为，
则，
直线和平面所成角的正弦值为.
2．已知函数（，）的周期为，图象的一个对称中心为，将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象.
（1）求函数与g(x)的解析式；
（2）求证：存在，使得，，能按照某种顺序成等差数列.
【答案】（1）；；（2）证明见解析
【分析】（1）由周期公式可得，，再由对称中心可得值，可得解析式，由函数图象变换和诱导公式化简可得；
（2）当时，问题转化为方程在内是否有解，由函数零点的存在性定理可得.
【解析】解：（1）函数的周期为，，
，
又曲线的一个对称中心为，，
，可得，，
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得的图象，
再将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
由诱导公式化简可得；
（2）当时，，，
，
问题转化为方程在内是否有解.
设，，
，，且函数的图象连续不断，
函数在内存在零点，
即存在，使得，，能按照某种顺序成等差数列.
【点睛】本题考查三角函数图象变换，第二个问题转化为方程在内是否有解是解决问题的关键，属中档题.
3．某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率．
【答案】(1)，.
(2).
【分析】（1）由频率和为1求出得值，根据平均数公式求出平均值.
（2）根据条件列举样本容量和样本点的方法，列式求解.
【解析】（1）由题意得，解得.
由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值：
.
（2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为和，
来自甲型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为，，和，
从中任取2件，样本空间可记为，，，，，，
，，，，，，，，共15个，
记事件：至少有一件为航天级芯片,则，，，，，
，，，共9个，
所以.
4．如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点．
(1)求双曲线的方程；
(2)延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标；
(3)若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或
(3)当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由见解析
【分析】（1）根据“共轴”曲线定义，直接列式计算可得答案；
（2）设，由，可得，代入方程与方程联立，即可求得点P的坐标；
（3）讨论当重合时，；不重合时，设出直线的方程为，与双曲线方程联立，消元后利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值.
【解析】（1）根据题意双曲线，
因为，解得，
双曲线的方程为；
（2）

由（1）知，，，
设，
已知，又，
所以，
由点Q在椭圆上，则，
又点为双曲线上任意一点，则，
联立，解得，或，
所以点P的坐标为或或；
（3）当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由如下，
当重合时，由题意，则，则，
当不重合时，，设直线的方程为，，
由得，
因为双曲线的渐近线方程为，
又直线交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以，
由韦达定理得，，
所以
，
所以存在实数，使得.
【点睛】思路点睛：本题的解题思路是理解题目定义，求出双曲线方程，根据定点位置合理设出直线的方程形式，再利用直线与双曲线的位置关系得到韦达定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判断是否为定值.
5．函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移．
(1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？
(2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移；
(3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移．
【答案】(1)函数在上的极值点不偏移
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先求的根及的极值点，再根据题设定义，即可求解；
（2）先求的根，对求导，得到，通过计算得到，再利用二次函数的性质，即可求解；
（3）设的两个零点为，根据条件得到，再构造函数，利用函数的单调性，得到，即可求解.
【解析】（1）由，得到，所以，
又，由，得到，又当时，，当时，，
所以只有一个极值点，且极值点为，此时，
所以函数在上的极值点不偏移.
（2）因为， 且，，
由，得到或，则，
又，，则有两根，
不妨设为，且，又，所以，
又时，，时，，所以函数在上只有一个极值点，且，
又，
所以，故函数在上的极值点右偏移.
（3）由题知，，令，得到，
当时，，当时，， 所以是的极值点，
且在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，时，，时，，，
则有两个零点，不妨设为，且，所以，，
令，
则在恒成立，
所以在区间上单调递增，
所以，即，
故，又，
故，得到，即，
所以当时，函数在上的极值点左偏移．
【点睛】方法点睛：本题第三问考查极值点偏移问题，解决极值点偏移的主要方法有：
1.构造对称函数；
2.比值换元；
3.对数平均不等式.
一、解答题
1．如图，在圆柱中，底面直径等于母线，点在底面的圆周上，且，是垂足．
(1)求证：；
(2)若圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，结合，证得平面，进而证得；
（2）过点作，证得平面，得到是与平面所成的角，设圆柱的底面半径为，求得，进而求得的值．
【解析】（1）证明：根据圆柱性质，平面，
因为平面，所以，
又因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，所以，
因为且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，且，且平面，所以平面，
又因为平面，所以．
（2）解：过点作，是垂足，连接，
根据圆柱性质，平面平面，且平面平面,
且平面，所以平面，
因为平面，所以是在平面上的射影，
从而是与平面所成的角，
设圆柱的底面半径为，则，
所以圆柱的体积为，且，
由，可得，可知是圆柱底面的圆心，且，
且，
在直角中，可得，所以．
2．已知函数，其中.
(1)求在上的解；
(2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意得方程，然后通过的范围解方程即可；
（2）代入，然后利用三角公式化简，再将方程有解问题转化为函数值域问题，利用正弦函数的性质求值域即可.
【解析】（1）由已知，
又，所以，
所以或，
所以或，
即在上的解为或；
（2）由已知
，
则在时有解，即在时有解，
因为，所以，
所以，
所以.
3．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）答案见解析
【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；
（2）（i）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求；
（ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解.
【解析】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得：.
（2）（i）设为赔付金额，则可取，由题设中的统计数据可得：，
，，
，，
故，
故（万元）.
（ii）由题设保费的变化为，故.
4．已知曲线：.
(1)若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率；
(2)若曲线为椭圆，且在曲线上.过原点且斜率存在的直线和直线（与不重合）与椭圆分别交于，两点和，两点，且点满足到直线和的距离都等于，求直线和的斜率之积；
(3)若，过点A0,-1的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线交于点，求的最小值.
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）分焦点在轴、轴两种情况讨论，分别求出离心率；
（2）将点代入方程，求出的值，即可求出曲线方程，设直线的方程为，直线的方程为，为不失一般性设，利用点到直线的距离公式得到，是一元二次方程的两实数根，利用韦达定理计算可得；
（3）首先得到椭圆方程，设出直线的方程，联立方程，求得点，的坐标，根据对称性得到点的坐标，从而得到直线的方程，令，求出点的坐标，得到的表达式，再根据均值不等式进行求解即可．
【解析】（1）因为曲线：为双曲线，
若焦点在轴，则，又渐近线方程为，
则，即，解得或（舍去），
此时曲线的离心率；
若焦点在轴，则，又渐近线方程为，
则，即，解得（舍去）或，
此时曲线的离心率，
综上可得曲线的离心率为或.
（2）依题意，解得或，
当时曲线：，符合题意；
当时曲线：，符合题意；
设直线的方程为，直线的方程为，为不失一般性设，
则根据点到直线的距离公式可得，
化简得，
同理可得，
所以，是一元二次方程的两实数根，，
则有，
又点，所以．
（3）当时曲线：，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
解得，则，
即，
因为点关于原点的对称点为，所以，
此时，
所以直线的方程为，
当时，解得，即，
所以，
则，
因为，
所以，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最小值，最小值为．
故的最小值为．
【点睛】方法点睛：
解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
5．对于一个各项非零的等差数列，若能从中选出第（）项，能构成一个等比数列，则称为的“等比子列”.若此“等比子列”具有无穷项，则称其为“完美等比子列”.
(1)若数列，，直接写出3个符合条件的“等比子列”，其中1个必须为“完美等比子列”.
(2)对于数列，，猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，请写出一个并证明；如果不存在，请说明理由.
(3)证明：各项非零的等差数列中存在“等比子列”的充要条件是数列满足（为公差，）.
【答案】(1);;
(2)存在，，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的定义，从给定的等差数列中选取合适的项构成等比数列.
（2）先进行猜想，存在“完美等比子列”，根据等比数列和等差数列的通项公式，分析证明.
（3）证明充要条件，需要分别证明充分性和必要性.充分性是由推出存在“等比子列”；必要性是由存在“等比子列”推出.
【解析】（1）取，则，为，这是一个等比数列，是的“等比子列”.
取，则，为，这是一个等比数列，是的“等比子列”.
取，则，为，这是一个“完美等比子列”.
（2）猜想：数列存在“完美等比子列”.
证明：设数列的通项公式，该数列为等比数列，
令，则，
因为整数的各位数字上的和为3，
所以一定为正整数，且m随着n的增大而增大，
易得此时有无穷项，所以即数列的一个“完美等比子列”.
（3）充分性：若存在“等比子列”，
，
，
必要性：则若，则设，，
则.
希望为等比等比，
令等比，
发现等比，
取，
令，，
即时，成等比，
综上，得证.
事实上，，
因为时，，
时，.
【点睛】知识点点睛：本题只要考查了对“等比子列”和“完美等比子列”新定义的理解，综合了等差数列和等比数列通项公式，反证法证明，以及简易逻辑知识的考查.综合性，逻辑性强，属于难题.
潜伏期（天）
人数
80
210
310
250
130
15
5
潜伏期天
潜伏期天
总计
50岁以上（含50）
150
50岁以下
85
总计
300
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
潜伏期（天）
人数
80
210
310
250
130
15
5
频率
0.08
0.21
0.31
0.25
0.13
0.015
0.005
潜伏期天
潜伏期天
总计
50岁以上（含50）
95
55
150
50岁以下
85
65
150
总计
180
120
300
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
800
100
60
30
10