大题仿真卷02（题型必刷，ABC三组）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

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大题仿真卷02（A组+B组+C组）
（模式：5道解答题 满分：78分 限时：70分钟）
一、解答题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B；
(2)若△ABC的面积为，求a．
2．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线.
(1)求证：直线平面；
(2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
3．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为分别为的上，下顶点，是上不同于点A的两点.
(1)求的值；
(2)记的面积分别为，若，求的取值范围；
(3)若直线与的斜率之和为2，作，垂足为，试问：点是否在一个定圆上？若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由.
5．对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．
一、解答题
1．如图所示四棱锥，其中交BD于点.

(1)求证：平面；
(2)若，点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
2．已知函数为奇函数．
(1)求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）；
(2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
3．中国首个海外高铁项目——雅万高铁全线长142.3千米，共设有哈利姆站、卡拉旺站、帕达拉朗站、德卡伯尔站4个车站.在运营期间，铁路公司随机选取了100名乘客的乘车记录，统计分析，得到下表（单位：人）：
用频率代替概率，根据上表解决下列问题：
(1)在运营期间，从卡拉旺站上车的乘客中任选3人，设这3人到德卡鲁尔站下车的人数为随机变量，求的分布列及其数学期望；
(2)已知地处在哈利姆站与卡拉旺站之间，地居民到哈利姆站乘车的概率为，到卡拉旺站乘车的概率为（地居民不可能在卡拉旺站下车）.在高铁离开卡拉旺站时，求从哈利姆站上车的乘客来自地的概率与从卡拉旺站上车的乘客来自地的概率的比值.
4．如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；
(3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.
5．若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”．
(1)已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合；
(2)已知函数，设集合．
（i）求集合中元素的个数；
（ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
一、解答题
1．已知数列满足，且．
(1)求的值；
(2)若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围．
2．如图，为圆O的直径，点在圆O上，，矩形所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知．
(1)求证：平面平面；
(2)当的长为何值时，二面角的大小为？
3．某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人）
(1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关?
(2)假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择．
①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由．
②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）．
参考公式和数据：，其中，．若，，，．
4．如图，已知椭圆的方程为和椭圆，其中分别是椭圆的左右顶点．
(1)若恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程；
(2)如图，若椭圆的方程为.是椭圆上一点，射线分别交椭圆于，连接（均在轴上方）.求证：斜率之积为定值，求出这个定值；
(3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为，求正数的值．
5．设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界；记集合{在区间上是严格增函数}；
(1)求函数的上确界；
(2)若，求的最大值；
(3)设函数一定义域为；若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0；
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
800
100
60
30
10
下车站上车站
卡拉旺站
帕达拉朗站
德卡鲁尔站
总计
哈利姆站
5
20
15
40
卡拉旺站
10
20
30
帕达拉朗站
30
30
总计
5
30
65
100
男生
女生
合计
同意
70
50
120
不同意
30
50
80
合计
100
100
200