大题仿真卷05（题型必刷，ABC三组）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

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大题仿真卷05（A组+B组+C组）
（模式：5道解答题 满分：78分 限时：70分钟）
一、解答题
1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，，且.
(1)求证：平面平面；
(2)设为的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由已知可得，结合，可得平面，再结合面面垂直的判定定理即可证结论.
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面所成锐二面角的大小.
【解析】（1）取中点，连接、.
因为，所以，所以，
因为底面是边长为2的菱形，且，
所以是等边三角形，所以且，
又，，所以，所以.
又由于，且、AD是平面上的两条相交直线，
故平面.
又由于平面，
所以平面平面.
（2）以为坐标原点，、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系.
则P0,0,1，A1,0,0，，，，
进而有.
于是，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量.
又平面的一个法向量，
故，
因此平面与平面所成锐二面角的大小为.
2．已知函数是定义域为R的偶函数.
(1)求实数a的值；
(2)已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由f-x=fx可构造方程求得的值；
（2）利用换元法令，从而得到方程在时有解，再分参数，求出右边的值域即可.
【解析】（1）由偶函数定义知：f-x=fx，
即，.
（2）由（1）知，
，即，
即，令，则，
则方程在时有解，
则，令，，则.
3．2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示．
(1)求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数；
(2)若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率；
(3)已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差．
【答案】(1)
(2)
(3)这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，.
【分析】（1）根据百分位数的定义求解即可；
（2）先求出的人数，利用对立事件结合古典概型求解即可；
（3）根据题意利用分层抽样的平均数和方差公式运算求解.
【解析】（1）∵，
∴第35百分位数为第两个数的平方数
（2）由图1可知，图2中有2人，
所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为事件，
所以.
（3）由题意可知：落在的频率为，落在的频率为，
因为这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，
位于上的均值为73，方差为134.6，
所以，
设这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，
所以，解得：，
，
解得：.
这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，.
4．在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右焦点为.
(1)若直线与轴相交于点，到直线的距离为，求；
(2)若，点为椭圆上的任意一点，设椭圆的上、下顶点分别为 ,记的面积为，的面积为,若,求的取值范围；
(3)若，过点的直线与椭圆交于两点（在的上方），线段上存在点，使得，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】小问1：使用点到直线的距离公式结合向量的数量积求解，
小问2：表示出三角形的面积，利用椭圆的标准方程代入消元求解出相应的变量的范围，进而求出的范围,
小问3：首先设直线的方程，再设，，利用条件结合韦达定理将的横坐标用斜率表示出来，再将代入直线方程，求出和斜率的关系，进而利用斜率,求出满足的直线方程，然后根据直线的斜率不存在时，，
由，解出，满足斜率存在时的直线方程，最后利用将军饮马的思路，求对称点求出的最小值.
【解析】（1）由已知，因为，
所以到直线的距离，所以，所以，
又因为，所以，；
（2）当时，，则，
设，则，，
因为，所以，即，又因为，所以，
所以，所以，,
所以的范围是；
（3）显然点在椭圆外，设，，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为与椭圆方程联立消去，化简得，
则 由，
得，所以或，由，可得，
解得，
消去可得，
当直线的斜率不存在时，，
由，可得满足方程，
所以点满足直线，且位于椭圆的内部，设F21,0关于直线的对称点为，则 ，
又F1-1,0，所以，
当在椭圆内部，满足要求，所以的最小值为．
【点睛】在第三小问中利用直线的斜率为“桥梁”求解出点满足的直线方程是解决这一问题的关键点.
5．对于集合且，定义且.集合A中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质.
(1)判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)设集合，且具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求的值；
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质，理由见解析
(2)的值分别为4，5或5，9
(3)存在最大值，最大值为4
【分析】（1）根据集合A具有性质的定义进行判断，可得答案；
（2）写出中的所有元素，分类讨论，结合等差数列的性质，列出相应的方程组，解得答案；
（3）一数列新定义得在集合中，，得到，由此分类讨论，可确定n的取值，可得答案.
【解析】（1），故集合具有性质.
故集合不具有性质
（2）因集合具有性质，
故.
（i）若，
则 ,解得 ,
经检验，符合题意，故的值分别为4，5.
（ii）若，
则 ,解得,
经检验，符合题意，故的值分别为5，9.
（3）不妨设，
则在集合中，.
又中的所有元素能构成等差数列，设公差为，
则，
即，故.
当时，是集合A中互不相同的4项，
从而，与集合A具有性质矛盾.
当时，，即成等差数列，且公差也为，
故中的元素从小到大的前三项为，
且第四项只能是或.
（i）若第四项为，则，从而，
于是，故，与集合A具有性质矛盾.
（ii）若第四项为，则，故.
另一方面，，即.
于是，
故，与集合具有性质矛盾.
因此，.
由（2）知，时，存在集合A具有性质，
故集合中的元素个数存在最大值，最大值为4.
【点睛】本题考查了数列的新定义问题，综合考查了学生的阅读理解接受并理解新信息的能力，解答的关键是理解新定义的含义并能依此解决问题，其中还要注意分类讨论与整合的思想方法.
一、解答题
1．如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径，，为半圆弧的中点.若异面直线和所成角的大小为，求:
(1)该几何体的体积；
(2)直线和所成角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算根据直线和所成角的大小为 ，求出几何体的高，进而可求体积；
（2）利用向量的坐标运算证明直线和垂直，即可求解.
【解析】（1）连接，由题意得关于平面对称，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，
所以，
因为异面直线和所成角的大小为，
所以，解得，
；
（2），
因为，
所以直线和所成角的大小为.
2．已知函数，
（1）若，求；
（2）如果关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围
【答案】（1）或，；（2）
【分析】（1）化简得到，计算解得答案.
（2），画出函数图像，根据函数图像得到答案.
【解析】（1）
或，故或，
（2）设
则
画出函数图像，根据图像知：或或
即
【点睛】本题考查了三角函数求值，函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
3．为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车APP采用问卷调查形式对400名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年人共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍.
(1)完善2×2列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关；
(2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中随机抽取5人，求这5人中青年人数的分布和期望.
附：，.
【答案】(1)列联表见解析，有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意分别求出愿意购买新能源车的中年人数和青年人数以及愿意购买燃油车中年人数和青年人数，即可补全列联表，再根据公式计算出，根据表格即可判断；
（2）先求出抽取9人中青年人数和中年人数，求出青年人数的可能取值及其对应的概率，即可求出分布列，再由数学期望公式即可求解.
【解析】（1）中老年共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍，
所以愿意购买新能源车的中老年人数为100人，愿意购买燃油车的中老年人数为50人，
青年共有250人，愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍，
所以青年中愿意购买新能源车为200人，愿意购买燃油车为50人，
故2×2列联表如下：
零假设：消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关；
（2）愿意购买新能源车的共有300人，青年人与中老年人的比例为，
所以分层随机抽样抽取的9人中6人是青年人，3人是中老年人，记这5人中，
青年的人数为，则的可能取值为，
，
.
所以的分布列如下：
则，
所以这5人中青年人数的期望为.
4．已知椭圆的下顶点为，右焦点为，离心率为，是椭圆上一动点，当直线经过点时，原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与圆相交于点（异于点），关于的对称点记为，直线与椭圆相交于点（异于点）.
①若，求的面积；
②设直线、的斜率分别为、，试探究是否为定值，并说明理由.
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式以及点到直线的距离公式，解方程可得，，，进而得到所求椭圆方程；
（2）①设直线的斜率为，则直线的方程为，联立椭圆方程可得的坐标，联立圆方程可得的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的坐标，由可得，求得，坐标，以及，，由的面积为，计算可得；②运用两点的斜率公式，分别计算线的斜率为，直线的斜率为，即可得证.
【解析】（1）据题意，椭圆的离心率为，即.
当直线经过点时，直线的方程为，即，
由原点到直线的距离为，可知，即.
联立可得，，，故.
所以椭圆的方程为.
（2）①据题意，直线的斜率存在，且不为0，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，整理可得，
所以或.
所以点的坐标为，
联立和，
整理可得，所以或.
所以点的坐标为.
显然，是圆的直径，故，
所以直线的方程为.
用代替，得点的坐标为，
即.
①由可得，，
即，解得.
根据图形的对称性，不妨取，
则点，的坐标分别为，，
故，.
所以的面积为.
②直线的斜率，
直线的斜率.
所以为定值，得证.
【点睛】知识点点睛：本题主要考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，以及直线与圆的方程联立，解方程求交点，考查直线的斜率公式的运用以及“设而不求，整体代换的思想”，化简整理的运算能力，计算量较大，属于中档题．
5．已知为实数，．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”．
(1)若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由；
(2)证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有；
(3)已知对任意，都是的“正向数组”，求的取值范围．
【答案】(1)不是的“正向数组”；
(2)证明见解析；
(3)的取值范围是.
【分析】（1）代入有，根据函数性质得到的正负时不同取值情况即可；
（2）假设存在,使得,通过正向数组定义转化得对任意恒成立，设，再利用函数的性质即可证明假设不成立；
（3）代入有恒成立或恒成立，设，求出是的最大值或最小值时的取值范围即可.
【解析】（1）若，，
对，即，
而当，时，
，，
即，不满足题意.
所以不是的“正向数组”.
（2）反证法:假设存在,使得,
为的“正向数组”，
对任意,都有.
对任意恒成立.
令，则在上恒成立，
，
设，
，
则当时，在上为负，在上为正，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若，当，，当，，
即存在，使在上为正，在上为负，在上为正，
所以Fx在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又当，，当，，则Fx的值域为；
若，，Fx在上单调递增，
又当，，当，，则Fx的值域为.
当时，，在上单调递增，
又当，，当，，
必存在，使在上为负，在上为正，
所以Fx在上单调递减，在上单调递增，
又当，，当，，则Fx的值域为.
由值域可看出，与在上恒成立矛盾.
对任意，都有.
（3）都是的“正向数组”，
对任意，，都有，
则恒成立或恒成立，
即恒成立或恒成立，
设，
则，
即是的最大值或最小值.
，
且.
当时，由（2）可得，的值域为，无最大值或最小值；
当时，在上单调递增，
又，则在上为负，在上为正，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则是的最小值，满足，
此时对任意，，都有
.
的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题第2问的关键是运用反证法，通过函数的图象与性质推理出与假设矛盾的结论，最后即得到证明；本题第3问的关键是理解“正向数组”的变形推理得到恒成立或恒成立，并构造函数，得到是的最大值或最小值，最后结合前面的证明得到结果.
一、解答题
1．已知在中，角所对的边分别为，且满足，；
(1)求角的值；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，利用两角和差的余弦公式化简得，再根据题中条件利用正弦定理进行化简求出，最后根据角的大小关系，确定角的值；
（2）由，，借助余弦定理求出，即为等腰直角三角形，再根据的面积为，求出的值，即可得到的的周长.
【解析】（1）由题意得：，
即：，
，，
又，因此，
因为，因此，故为锐角，
因此；
（2）由，，
则由余弦定理：，得：，
因此可得：，，因此，为等腰直角三角形，
又得：，
因此，的周长为.
2．已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，.
(1)求证：；
(2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为.
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据余弦定理计算，根据勾股定理得到，确定平面，得到证明.
（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【解析】（1），故，
，则，故，
又，平面，，故平面，
平面，故，

（2）△和△所在的平面互相垂直，则平面平面，
且平面，故平面，
如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，，设，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，
取得到，
则，解得，不满足题意.
综上所述：不存在点，使二面角的大小为.
3．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：）与样本对原点的距离（单位：）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值.（表中）
(1)利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？
(2)根据（1）的结果回答下列问题：
（i）建立关于的回归方程；
（ii）样本对原点的距离时，金属含量的预报值是多少？
(3)已知该金属在距离原点米时的平均开采成本（单位：元）与关系为，根据（2）的结果回答，为何值时，开采成本最大？
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
(3)10
【分析】（1）根据所给数据求出相对应的相关系数，即可判断；
（2）（i）由（1）及所给数据求出、，即可得到回归方程；（ii）将代入计算即可；
（3）依题意，可得，令，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极大值点，从而得解.
【解析】（1）因为的线性相关系数，
的线性相关系数，
，
更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型.
（2）（i）依题意，可得，
，
，关于的回归方程为.
（ii）当时，金属含量的预报值为.
（3）因为，
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
在处取得极大值，也是最大值，此时取得最大值，
故为10时，开采成本最大.
4．已知双曲线的右顶点为是双曲线上两点，过作斜率为的直线，与双曲线只有点这一个交点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积；
(3)已知点和双曲线上两动点，满足，过点作于点，证明：点在一个定圆上，并求定圆的方程.
【答案】(1)
(2)144
(3)证明见解析，
【分析】（1）根据顶点坐标和斜率可得方程；
（2）利用弦长公式得出，结合垂直关系可得，利用可求斜率，进而可得三角形的面积；
（3）设出的方程，结合垂直关系，得出过定点，进而可证结论.
【解析】（1）因为右顶点为，所以，
又因为过斜率为的直线与双曲线只有点这一个交点，
所以，即，所以方程为.
（2）由题意可知直线的斜率存在且不为零，设，则，
联立，，
，，
设，则，
，
利用代换可得，
由题意，，
整理得，，
，因为，所以，即，
此时，所以的面积为.
（3）若直线的斜率为0，设，则，解得，
不妨设，则;
因为，所以，解得或（舍）.
若直线的斜率不为0，设，;
，，
，，
，
，
，
，
因为，所以，即，
，
整理得，即，
即或，
当时，过点，舍去；
当时，，此时过定点；
综上可知直线恒过定点.
因为，所以点一定在以为直径的圆上，
定圆的圆心为，半径为，所以方程为.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两点：一是等腰直角三角形条件的转化，利用垂直和相等得出弦长；二是第三问中在定圆上的问题转化为直线恒过定点的问题.
5．设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”．
(1)判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由；
(2)设，求证：存在无穷多条“切线”；
(3)设，求证：对任意实数和正数都是“函数”
【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）记，设切点为，利用导数的几何意义求出，再证明直线与的图象只有唯一的公共点，将与函数联立，得，记，利用导数说明函数的单调性，即可得到方程的解．
（2）将点处的切线的方程与联立得，记，利用导数说明函数存在唯一零点，即可得证；
（3）类似第（2）问的思路得到在上有且仅有一解，则或，再分、两种情况说明即可.
【解析】（1）记，则，设切点为，
由切线方程为知，则，解得．
所以切点为，下面证明直线与的图象只有唯一的公共点，
将与函数联立，得．
记，则，
当时，当时，
故在上单调递增，在上单调递减，，
故函数只有一个零点，故是一条“切线”；
（2）因为，所以，
则点处的切线方程为，
将点处的切线的方程与联立得，
记，
则直线为“切线”函数有且仅有一个零点（此时，一个对应一条“切线”），显然是的零点，
故只要没其它零点，此时，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故此时为唯一的极小值点（也是最小值点），而，
故无其他零点，故直线为“切线”，因为的任意性，
故函数存在无穷多条“切线”，
（3）因为，则，
设点在函数的图象上，
则点的切线为，与联立得：
，
由题意得直线为“切线”，故方程在上有且仅有一解，
则或，
若，则是方程的唯一解（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值）．
若，则（此时只有一条“切线”，切点的横坐标为）
或（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值），
综上，，即证．
【点睛】关键点睛：对于新定义问题的关键是理解定义，将问题转化为方程有唯一解问题.
年龄段
购车意向
合计
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
青年
中老年
合计
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
年龄段
购车意向
合计
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
青年
200
50
250
中老年
100
50
150
合计
300
100
400
X
2
3
4
5
P
6
60