专题08 空间向量与立体几何(选填题热点，十大题型)-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 题型01 2021-2024年高考+春考真题1
\l "_Tc22731" 题型02 空间向量的运算 3
\l "_Tc394" 题型03 求几何体的表面积与体积3
\l "_Tc1766" 题型04 空间的位置关系4
\l "_Tc8506" 题型05 空间向量基本定理5
\l "_Tc6010" 题型06 立体几何、导数结合的实际应用5
\l "_Tc22452" 题型07 空间向量数量积的应用（含难点）8
\l "_Tc8506" 题型08 个数、种类等问题8
\l "_Tc6010" 题型09 轨迹、围成面积等问题9
\l "_Tc22452" 题型10 空间向量与立体几何选择题综合辨析9
\l "_Tc5641"
【解题规律·提分快招】
题型01 2021-2024年高考+春考真题
【典例1-1】．（2024•上海）定义一个集合Ω，集合元素是空间内的点集，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得．已知（1，0，0）∈Ω，则（0，0，1）∉Ω的充分条件是（ ）
A．（0，0，0）∈ΩB．（﹣1，0，0）∈Ω
C．（0，1，0）∈ΩD．（0，0，﹣1）∈Ω
【典例1-2】．（2024•上海）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD为平行四边形，AA1＝3，BD＝4且，求异面直线AA1与BD的夹角 ．
【典例1-3】．（2023•上海）空间中有三个点A、B、C，且AB＝BC＝CA＝1，在空间中任取2个不同的点D，E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有 种．
【典例1-4】．（2023•上海）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）
A．DD1B．ACC．AD1D．B1C
【典例1-5】．（2022•上海）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB1、CD的中点，连接A1S，B1D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的为（ ）
A．点PB．点BC．点RD．点Q
【典例1-6】．（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（ ）
A．0B．2C．4D．12
【典例1-7】．（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则△ABC的面积的取值范围为 ．
【典例1-8】．（2021•上海）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ．
题型02 空间向量的运算
【典例2-1】．（2024·上海徐汇·一模）已知向量，若，则实数的值为 .
【变式2-1】．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知向量，，则在方向上的投影向量为 .
【变式2-2】．（2025·上海高考复习·专题练习）已知空间单位向量，，两两垂直，则（ ）
A．B．C．3D．6
题型03 求几何体的表面积与体积
【典例3-1】．（2024·上海虹口·一模）若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为 ．（结果保留）
【典例3-2】．（24-25高三上·上海松江·期末）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为，则该圆锥的高为 ．
【变式3-1】．（24-25高三上·上海·期中）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为5的扇形，则它的体积为 ．
【变式3-2】．（2024·上海宝山·一模）将棱长为的正四面体绕着它的某一条棱旋转一周所得的几何体的体积为 .
【变式3-3】．（2024·上海青浦·一模）已知圆柱的底面半径为3，高为，圆锥的底面直径和母线长相等. 若圆柱 和圆锥的体积相同，则圆锥的底面半径为 .
【变式3-4】．（2024·上海徐汇·一模）徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上､下底面直径分别为30cm和26cm，下面圆台的上､下底面直径分别为和，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm，则该花盆上､下两部分母线长的总和为 .
【变式3-5】．（2024·上海·三模）如图，矩形中，为AD的中点，，，连接EB，EC，若绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的表面积为 .
【变式3-6】．（24-25高三上·上海松江·开学考试）正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是 ．
【变式3-7】．（2024·上海奉贤·三模）如图，已知三角形为直角三角形（为直角），分别连接点与线段的等分点，，…，得到个三角形依次为，，…，，将绕看所在直线旋转一周，记，，…，旋转得到的几何体的体积依次为，，…，，若，则三角形旋转得到的几何体的体积 ．
题型04 空间的位置关系
【典例4-1】．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）已知，，是不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题中：
（1）若，，，则；
（2）若，，，则；
（3）若，，，则且；
（4）若，，，则，
所有真命题的序号是 .
【典例4-2】．（24-25高三上·上海金山·期末）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ．
【变式4-1】．（2024·上海虹口·一模）如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则 ．

【变式4-2】．（15-16高三下·上海·阶段练习）设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望= .
题型05 空间向量基本定理
【典例5-1】．（24-25高二上·上海·期中）已知空间非零向量、、，则下列命题中正确的是（ ）
A．若、、共面，则、、，中至少存在一对向量平行；
B．若，那么与、共面；
C．若、、，不共面，那么、、所在直线中至少存在两条直线异面；
D．若、、，不共面，那么、、所在直线中不可能存在两条直线异面.
【变式5-1】．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）在正四面体中，，点满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型06 立体几何、导数结合的实际应用
【典例6-1】．（23-24高三上·上海宝山·期末）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长.现从中截取矩形（如图甲所示），其中是以为圆心，的扇形，且弧分别与边相切于点.剪去图中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）.
(1)当长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；
(2)当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？
【典例6-2】．（2025·上海高考复习·专题练习）某市一特色酒店由一些完全相同的帐篷构成.每座帐篷的体积为，且分上､下两层，其中上层是半径为米的半球体，下层是底面半径为r米，高为h米的圆柱体（如图）.经测算，上层半球体部分每平方米的建造费用为2千元，下层圆柱体的侧面､隔层和地面三个部分每平方米的建造费用均为3千元，设每座账篷的建造费用为y千元.
(1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域；
(2)当半径r为何值时，每座帐篷的建造费用最小？并求出最小值.
【变式6-1】．（23-24高三上·上海浦东新·期中）图①是高桥中学的校门，它由上部屋顶，和下部两根立柱组成，如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形.点在平面和上的射影分别为H、M，已知，，梯形的面积是面积的4倍，设.

(1)求屋顶面积S关于的函数关系式；
(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为（为正的常数），下部两根立柱的总造价与其单根的高度成正比，比例系数为，假设校门的总高度为3m，试问，当为何值时，校门的总造价（上部屋顶和下部两根立柱）最低?
【变式6-2】．（2025·上海高考复习·专题练习）如图所示的某种容器的体积为，它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为.圆锥的高为，母线与底面所成的角为；圆柱的高为.已知圆柱底面造价为元，圆柱侧面造价为元，圆锥侧面造价为元.
（1）将圆柱的高表示为底面圆半径的函数，并求出定义域；
（2）当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径为多少？
【变式6-3】．（2025·上海高考复习·专题练习）设计一个帐篷，它下部的形状是正四棱柱，上部的形状是正四棱锥，且该帐篷外接于球（如图所示）．

(1)若正四棱柱是棱长为的正方体，求该帐篷的顶点到底面中心的距离；
(2)若该帐篷外接球的半径，设，该帐篷的体积为，则当为何值时，体积取得最大值．
【变式6-4】．（20-21高二上·上海宝山·期末）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1）．其中四边形为矩形，，和是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形，点F在平面和上射影分别为H，M，已知米，米，梯形的面积是面积的倍．设．
（1）求屋顶面积关于的函数关系式；
（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为元/米．现欲造一栋上、下总高度为米的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？
题型07 空间向量数量积的应用（含难点）
【典例7-1】．（24-25高三上·上海杨浦·期中）已知空间单位向量，，，，，则的最大值是 ．
【变式7-1】．（2024·上海嘉定·一模）已知空间向量两两垂直，若空间点满足，记，且，则的取值范围为 .
【变式7-2】．（23-24高三上·上海宝山·期中）已知、、为空间中三个单位向量，且、、与夹角为，点P为空间一点，满足且，则最大值为 ．
题型08 个数、种类等问题
【典例8-1】．（2024·上海闵行·二模）已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成 个等边三角形.
【典例8-2】．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知空间中三个单位向量、、，，为空间中一点，且满足，，，则点个数的最大值为 ．
【变式8-1】．（2025·上海高考复习·专题练习）如图，设点为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有 个.

【变式8-2】．（2021·上海杨浦·三模）设正四面体在空间直角坐标系中点的坐标为，集合{y|存在，使得}，则集合A的元素个数可能为 种.（写出所有可能的值）
【变式8-3】．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【变式8-4】．（23-24高二上·上海·阶段练习）设是空间中给定的2023个不同的点，则使得成立的点的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2023个D．4046个
题型09 轨迹、围成面积等问题
【典例9-1】．（2025·上海高考复习·专题练习）在正四棱柱中，，E 为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为 .
【变式9-1】．（2023·上海·模拟预测）正方体的边长为1，点分别为边的中点，是侧面上动点，若直线与面的交点位于内（包括边界），则所有满足要求的点构成的图形面积为 .
【变式9-2】．（2024·上海虹口·一模）已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（ ）．
A．B．C．．D．
题型10 空间向量与立体几何选择题综合辨析
【典例10-1】．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点M、N分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线与垂直；②存在点M、N，使为等边三角形，则（ ）

A．①、②均为真命题B．①、②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
【典例10-2】．（24-25高三上·上海·期中）在正方体中，点P，Q分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题：
①对任意点P，均存在点Q，使得；
②存在点P，对任意的Q，均有，则（ ）
A．①②均正确B．①②均不正确
C．①正确，②不正确D．①不正确，②正确
【变式10-1】．（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论：
①存在点满足；
②存在点满足与平面所成角的大小为；
③存在点满足；
其中正确的个数是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
【变式10-2】．（23-24高二上·上海·期末）在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足．点P满足，其中，则下列说法不正确的是（ ）
A．当时，的面积S的最大值为
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点P，使得
D．当时，存在点P，使得平面
【变式10-3】．（23-24高二上·上海·期末）如图，在正方体中，E为棱的中点.动点P沿着棱从点D向点C移动，对于下列四个结论中正确的个数是（ ）
（1）存在点P，使得；
（2）存在点P，使得平面；
（3）的面积越来越小；
（4）四面体的体积不变.
A．0B．1C．2D．3
一、填空题
1．（2024·上海崇明·一模）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是 ．
2．（2024·上海·三模）底面半径长为，母线长为的圆柱，体积为
3．（2024·上海徐汇·一模）已知为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则是的 条件.（填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个）
4．（2024·上海奉贤·一模）上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设：
假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；
假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；
假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．
截面图如下（图3），其中，，，则制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要 千克铜．（铜的密度为）（结果精确到个位）
5．（2024·上海奉贤·三模）已知正方体的棱长为，，，…，为正方形边上的个两两不同的点．若对任意的点，存在点.使得直线与平面以及平面所成角大小均为，则正整数的最大值为 ．
二、单选题
6．（2024·上海长宁·二模）已知直线和平面，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．（2024·上海·模拟预测）已知正方体和点，有两个命题：
命题甲：存在条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角都相等；
命题乙：存在个过点的平面，满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等；
则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．的大小关系与点的位置有关
由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．
向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
多面体的表面积是各个面的面积之和．
旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．
组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．
7、题源注明：立体几何与导数结合的实际应用中，选用适量解答题来练习填选题