专题01 集合与逻辑（选填题热点，八大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 题型01 集合的概念 PAGEREF _Tc27194 \h 1
\l "_Tc22731" 题型02 集合的关系2
\l "_Tc394" 题型03 集合的运算3
\l "_Tc1766" 题型04 集合与函数、不等式5
\l "_Tc8506" 题型05 集合的运算（字母运算，含文氏图）6
\l "_Tc6010" 题型06 充分必要条件8
\l "_Tc22452" 题型07 命题的否定、反证法10
\l "_Tc5641" 题型08 集合难点11
【解题规律·提分快招】
题型01 集合的概念
【典例1-1】．中国国旗上所有颜色组成的集合为 ．
【答案】{红,黄}；
【分析】根据集合的定义即可求解.
【解析】中国国旗上所有颜色组成的集合为红,黄．
故答案为：红，黄．
【典例1-2】．已知集合，若，则 ．
【答案】
【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系结合集合的互异性分析求解.
【解析】因为，且，
则或，解得.
故答案为：.
【变式1-1】．已知，则实数 ．
【答案】
【分析】直接根据求解即可.
【解析】，
，
解得.
故答案为：.
【变式1-2】．若集合，，则用列举法表示集合=
【答案】
【分析】根据题意，分析集合A可得A中的元素，将其元素代入y＝x2+1中，计算可得y的值，即可得B的元素，用列举法表示即可得答案．
【解析】根据题意，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
对于集合B＝{y|y＝x2+1，x∈A}，
当x＝±2时，y＝5，
当x＝±1时，y＝2，
当x＝0时，y＝1；
故答案为
【点睛】本题考查集合的表示方法，注意集合B中x所取的值为A中的元素且必须用列举法表示．
【变式1-3】．已知集合，若，则实数 ．
【答案】
【分析】利用元素与集合的关系可得出关于的等式，解之即可.
【解析】因为集合，若，则，解得.
故答案为：.
题型02 集合的关系
【典例2-1】．已知集合，且，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得.
【解析】由集合，且，得或，解得或，
当时，，符合题意，
当时，且，与集合元素的互异性矛盾，
所以实数的值为0.
故答案为：
【典例2-2】．已知集合，，且，则 ．
【答案】
【分析】利用集合间的基本关系及元素与集合的关系计算即可.
【解析】由题意，，且，可知，所以.
故答案为：
【变式2-1】．若集合，，且，则 ．
【答案】0
【分析】利用两个集合相等结合集合元素的互异性求解即可.
【解析】因为集合，所以解得或，
当时不满足集合元素互异性的要求舍去，
当时，，
故答案为：0
【变式2-2】．已知集合，，若，则的取值范围是 .
【答案】[2,+∞)
【分析】由列不等式求的取值范围，
【解析】∵集合，，，
∴.
∴的取值范围是[2,+∞).
故答案为：[2,+∞).
【变式2-3】．若集合，则集合的子集最多有 个.
【答案】128
【分析】先求出集合，再求集合的子集个数.
【解析】集合，
所以，
则集合的子集个数有个.
故答案为:128.
【点睛】本题考查集合子集的个数，掌握当集合中有个元素时，子集的个数为，属于基础题.
题型03 集合的运算
【典例3-1】．已知集合，，则 ．
【答案】
【分析】找出集合A与集合B的公共元素，即可确定出交集．
【解析】因为集合，，
所以.
故答案为：.
【典例3-2】．已知集合，，且，则实数 ．
【答案】
【分析】根据集合中元素的互异性求的值.
【解析】，或，由互异性，.
故答案为：．
【变式3-1】．已知全集，集合，，则 .
【答案】
【分析】将集合化简，即可得到，再由交集的运算，即可得到结果.
【解析】因为，则或x>1，
且，所以.
故答案为：
【变式3-2】．若集合，则 .
【答案】
【分析】
根据集合的交运算进行运算即可.
【解析】,
故答案为：.
【变式3-3】．已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意分集合是否为空集进行讨论，结合，列出相应的不等式（组），从而即可得解.
【解析】集合，集合，且，
若，则，即，此时满足，即满足题意；
若，则，即，此时若要使得，
则还需或，解得或，
注意到此时，从而此时满足题意的的范围为或；
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为： .
题型04 集合与函数、不等式
【典例4-1】．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】验证集合中的元素，是否是集合中元素，即可求.
【解析】因为，所以，，所以，，所以，
所以.
故选：C
【典例4-2】．设集合，，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】变形表达式为相同的形式，利用集合间的关系，比较可得.
【解析】由题意得，
即是的奇数倍构成的集合，
，
即是的整数倍构成的集合，
所以.
故选：.
【变式4-1】．已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可知：有2个不同的实数根，利用判别式列式求解即可.
【解析】由题意可知：有2个不同的实数根，
则，解得且，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：.
【变式4-2】．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求集合，再求.
【解析】，即，得，
即，且,
所以.
故选：D
【变式4-3】．设集合，，则 ．
【答案】{1}
【分析】分别求解出集合和集合，根据交集定义求得结果.
【解析】，
故答案为：
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到一元二次方程和对数不等式的求解，属于基础题.
题型05 集合的运算（字母运算，含文氏图）
【典例5-1】．设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】关于这几个命题真假的判断，真命题可以根据集合的运算和运算法则证明，如果命题是假命题，则可以举反例．
【解析】对于A， ，当时，结论不成立，则A错误；
对于B, ，当时，结论不成立，则B错误；
对于C，因为，，所以，
又，所以，则，则C正确；
对于D，，当时，结论不成立，则D错误；
故选：C
【典例5-2】．如图表示图形阴影部分的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是B的元素且C的元素，或是A的元素”，由韦恩图与集合之间的关系可得答案．
【解析】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素
故可以表示为，也可以表示为：.
故选：B．
【变式5-1】．已知全集为，非空集合满足.下列各式中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据非空集合、子集的知识求得正确答案.
【解析】依题意，全集为，非空集合满足，
所以、、、，
所以ABD选项正确， C选项错误
故选： C
【变式5-2】．设是全集的两个子集，，则下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据子集、补集、并集、交集的知识来求得正确答案.
【解析】依题意，是全集的两个子集，，
A选项，，所以A选项错误.
B选项，，所以B选项错误.
C选项，，所以C选项正确.
D选项，，所以D选项错误.
故选：C
【变式5-3】．已知全集和集合M、N、P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据图可得阴影部分在集合M中，不在集合N、P中，进而可得答案.
【解析】解：根据图可得，阴影部分在集合M中，不在集合N、P中，
则阴影部分所表示的集合是.
故选：B.
题型06 充分必要条件
【典例6-1】．已知x，，则“”是“”的 条件．
【答案】必要不充分
【分析】由已知中，，根据绝对值的性质，分别讨论“”“”，与“”“”，的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案．
【解析】若，则异号或至少有一个为0，故充分性不成立，
若“”，则，异号，则“”成立，
即“”是“”的必要条件；
即“”是“”的必要不充分条件；
故答案为：必要不充分．
【典例6-2】．设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由是的充分条件，根据对应集合的包含关系，可得实数m的取值范围．
【解析】∵：，：，是的充分条件，
则，则，
∴实数m的取值范围是.
故答案为：．
【变式6-1】．“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.
【解析】由，又，
所以，即，充分性成立；
当时，即，显然时成立，必要性不成立.
故“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
【变式6-2】．已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据不等式所表示的集合的关系列出不等式，解出即可.
【解析】，解得，设，，
若是的充分不必要条件，则，
则有，且等号不会同时取到，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式6-3】．已知集合，集合，若“ ”是“”的充分条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分别求出关于、的不等式，通过”，求出的范围即可．
【解析】解：，
或，
由“”，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了充分必要条件，考查对数函数以及解不等式问题，考查集合的关系，是一道基础题．
题型07 命题的否定、反证法
【典例7-1】．已知命题p：任意正数x，恒有，则命题p的否定为 ．
【答案】存在正数，使
【分析】含有全称量词的否定，改成特称量词即可.
【解析】由全称命题的否定为特称命题知：
存在正数，使.
故答案为：存在正数，使
【典例7-2】．已知陈述句：所有的满足性质p，则的否定形式为 ．
【答案】存在不满足性质p.
【分析】用全称量词命题的否定形式即得结果.
【解析】陈述句是全称量词命题，故其否定形式是：
存在不满足性质p.
故答案为：存在不满足性质p.
【变式7-1】．若要用反证法证明“若，则且”，应假设为
【答案】或
【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结果.
【解析】要证命题的结论为且，它的否定为或.
故答案为：或.
【变式7-2】．用反证法证明“若,则或”时,应假设 .
【答案】且
【分析】根据反证法，假设原命题的结论的否定即可.
【解析】“或”的否定为“且”.
故答案为：且
【变式7-3】．存在，使得的否定形式是（ ）
A．存在，使得B．不存在，使得
C．对任意的D．对任意的
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可.
【解析】“存在，使得”的否定形式是“对任意的”.
故选：C
题型08 集合难点
【典例8-1】．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ．
【答案】
【分析】正确理解的含义，时，即要先求出满足的，即的第211个子集应含有的元素，计算出，再要求满足的，即的第211个子集应含有的元素，如此类推即得.
【解析】因，则的第211个子集必包含7，此时；
又因则的第211个子集必包含6，此时；
又则的第211个子集必包含4，此时；
又则的第211个子集必包含1；而.
综上所述，的第211个子集是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于仔细阅读题目所提供的信息，正确理解集合的新定义的含义，将文字语言转化为数学语言.
【典例8-2】．设集合为正整数，记为同时满足下列条件的集合的个数：①，②若，则，③若，则，则
【答案】
【分析】任取偶数，将除以2，若商仍为偶数，再除以，，经过次后，商必为奇数，此时商为，从而，的是否属于，由是否属于确定，求得的表达式，即可求解.
【解析】任取偶数，将除以2，
若商仍为偶数，再除以，，经过次后，商必为奇数，此时商为，
从而，其中为奇数，，
由题意知，若，则等价于为偶数；
若，则等价于为奇数，
所以是否属于，由是否属于确定，
设是中所有奇数的集合，所以是的子集个数，
当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数为（或），
所以，所以.
故答案为：.
【变式8-1】．设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【解析】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.
①假设集合中含有个元素，可设，则，
，这与矛盾；
②假设集合中含有个元素，可设，，
，，，满足题意.
综上所述，集合中元素个数最少为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.
【变式8-2】．是正整数集的子集，满足：，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集个数为 ．
【答案】
【分析】根据题意，先判断中相邻两数不可能大于等于2，可得2，3，，，从而求出，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案．
【解析】由题意可知：若，，则，，，均属于，
而事实上，若，中，
所以，
故，中有正整数，
从而中相邻两数不可能大于等于2，
故2，3，，，
若，，则有，与矛盾，
当时，，
当时，则，
所以，，
所以，2，，，
所以非空子集有个．
故答案为：．
【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
【变式8-3】．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（ ）
A．①是真命题， ②是真命题；B．①是真命题， ②是假命题
C．①是假命题， ②是真命题；D．①是假命题， ②是假命题.
【答案】C
【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题.
【解析】因为若，则当且仅当其中且，或其中且，
且集合是由某些正整数组成的集合，
所以，，
因为，满足其中且，所以，
因为，且，，所以，故①是假命题；
记，
当时，，因为，，，所以；
下面讨论元素与集合的关系，
当时，，当时，，，，所以，
当时，，，，所以，
当时，，，，所以，依次类推，
当时，，，，所以，
下面讨论时，集合中元素与集合的关系，
因为，有，，且，所以，
综上所述，，有，
即，故②是真命题.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解.
一、填空题
1．（2024·上海奉贤·一模）设全集，集合，则 ．
【答案】
【分析】利用补集的定义可得出结合.
【解析】因为全集，集合，则.
故答案为：.
2．（2024·上海·三模）已知集合，，则
【答案】
【分析】把集合中的元素代入不等式检验可求得.
【解析】当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以.
故答案为：.
3．（2024高三·上海·专题练习）已知集合，，则 ．
【答案】
【分析】求出集合、，再根据交集的定义可得．
【解析】由题意，，，
．
故答案为：
4．（2023·上海长宁·二模）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由充分条件定义直接求解即可.
【解析】“”是“”的充分条件，，，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
5．（2024·上海普陀·二模）已知，设集合，集合，若，则 .
【答案】2
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，讨论或4即可求解．
【解析】集合，集合，，则是的子集，
当时，等式不成立，舍去，
当时，解得，此时，，满足题意，
故．
故答案为：2．
6．（15-16高一上·上海·期中）集合，集合，则 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出方程组的解即可.
【解析】依题意，由，解得或，
所以.
故答案为：
1、元素与集合的关系：属于（ ），不属于（ ）；
2、对于元素与集合的关系，牢牢抓住元素是否在集合内；
3、集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性；
4、解决集合中元素的问题特别注意互异性，有时需要分类讨论，或检验；
5、集合的表示方法主要有列举法，描述法，图法等；
6、充分条件、必要条件的两种判定方法：
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题；
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
7、求参数问题的解题策略：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
(2)要注意区间端点值的检验．