人教版（2024）八年级下册16.1 二次根式课后作业题

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考点一：二次根式的定义
考点二：二次根式有意义的条件
考点三：二次根式的参数问题
考点四：复合二次根式的性质化简
考点五：利用二次根式的性质化简
题型六：二次根式的综合问题
【知识梳理】
知识点一：二次根式的概念
一般地，我们把形如 EQ \r(,a) （a≥0）的式子叫做二次根式，“ EQ \r(, ) ”称为二次根号。
正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：
二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ EQ \r(, ) ”，“ EQ \r(, ) ”的根指数为2，即“ EQ \R(2, ) ”，我们一般省略根指数2，写作“ EQ \r(, ) ”。如 EQ \R(2,5 ) 可以写作 EQ \r(,5 ) 。
二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
式子 EQ \r(,a) 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， EQ \r(,a) ≥0。其中a≥0是 EQ \r(,a) 有意义的前提条件。
在具体问题中，如果已知二次根式 EQ \r(,a) ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
形如b EQ \r(,a) （a≥0）的式子也是二次根式，b与 EQ \r(,a) 是相乘的关系。要注意当b是分数时不能写成带分数，例如 eq \f(8,3) EQ \r(,2) 可写成 eq \f(8 EQ \r(,2) ,3) ，但不能写成2 eq \f(2,3) EQ \r(,2) 。
知识点二、二次根式的性质
【题型归纳】
题型一：二次根式的定义
1．（2025八年级下·全国）下列各式是二次根式的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案．
【详解】解：二次根式有（1），（3），
故选：C．
2．（22-23八年级下·河南驻马店）下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义进行解答即可．
【详解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式．
3．（21-22八年级下·河北邯郸·期中）对于代数式①：；②：做出下列判断，其中正确的是（ ）
A．①、②均是二次根式B．①、②均不是二次根式
C．①是二次根式，②不是二次根式D．①不是二次根式，②是二次根式
【答案】D
【分析】根据二次根式的概念求解即可．
【详解】①：不是二次根式，
②：是二次根式．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次根式的概念，负整数幂，解题的关键是熟练掌握二次根式的概念．形如的式子是二次根式，
题型二：二次根式有意义的条件
4．（24-25八年级下·全国·单元测试）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键．
根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；
【详解】解：由题意得：且，
∴且，
故选：C．
5．（24-25八年级下·全国·阶段练习）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解不等式以及二次根式有意义的条件等知识点，根据二次根式有意义的条件，解不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故选：D．
6．（24-25九年级上·河南新乡·期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
【详解】解：由题意得：且，
解得：且，
故选：D．
题型三：二次根式的参数问题
7．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（ ）
A．4B．6C．7D．14
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．
【详解】解：，
∵是整数，n是一个正整数，
∴n的最小值是7．
故选：C．
8．（22-23八年级下·广东江门·期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （ ）
A．5B．3C．4D．2
【答案】B
【分析】是整数则一定是一个完全平方数，把3分解因数即可确定．
【详解】解：，而是整数，
的最小值是3．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．
9．（22-23八年级下·黑龙江双鸭山·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．48B．6C．12D．3
【答案】D
【分析】先化简二次根式，再确定n的最小值即可．
【详解】解：∵，
∵是整数，则是整数，
∴是一个平方数，
∴正整数n的最小值为3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，理解“被开方数是平方数，那么二次根式的值为整数”是解题的关键．
题型四：复合二次根式的性质化简
10．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
11．（21-22八年级下·辽宁葫芦岛·期中）若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答．
【详解】∵，
∴，
∴-2．
故选A．
【点睛】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键．
12．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题．
【详解】解：原式
，
故选：D．
题型五：利用二次根式的性质化简
13．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据，得到，再利用化简即可．
【详解】解：，
，
，
故选：D．
14．（24-25八年级上·河南南阳·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质，先由数轴得，则，故，即可作答．
【详解】解：由数轴得，
∴，
则
，
故选：C．
15．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．7B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解．
【详解】解：根据数轴得：，
∴，
∴
．
故选：A．
题型六：二次根式的综合问题
16．（2025八年级下·全国·专题练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查根式的化简，根据二次根式的性质进行化简即可．
（1）将化成再进行化简；
（2）将化成再进行化简；
（3）将数与字母分开进行化简；
（4）先将根式里面的式子整理成的形式再进行化简．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
17．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下面的解题过程，并回答问题．化简： ．
解：由，得，
，
∴原式．
按照上面的解法，解决下列问题．
(1)．
(2)若满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的性质，整式的化简，解方程，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件，绝对值的性质是解题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件及性质，绝对值的性质化简即可；
（2）结合已知条件，根据二次根式有意义的条件及性质计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得且，
则，
，
原式
；
（2）解：由题意可得，
，
，
原方程化为
，
两边同时平方得：，
．
18．（2025八年级下·全国·专题练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使且，则将变成，即变成，从而使得以化简．
例如：
∴
请仿照上例解下列问题：
(1)化简：；
(2)设，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简，涉及到了完全平方公式和二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用完全平方公式和二次根式的性质化简运算即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式的性质化简运算即可；
【详解】（1）解：
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的值为．
【高分演练】
一、单选题
19．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）当代数式有意义时，则x的值不可以是（ ）
A．0B．C．8D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式和有理数的大小比较，能熟记中是解此题的关键．
根据二次根式有意义的条件得出，求出，再逐个判断即可．
【详解】解：要有意义，则，
解得：，
A、∵，∴可以，故此选项不符合题意；
B、∵，∴可以，故此选项不符合题意；
C、∵，∴可以，故此选项不符合题意；
D、∵，∴不可以，故此选项符合题意；
故选：D．
20．（2025八年级下·全国·专题练习）下列四个式子中与相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件可得出，可得，由此可将变形得出答案．
【详解】解：由题意得：，可得，
∴．
故选：D．
21．（2025八年级下·全国·专题练习）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的性质，分母不能为零，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．
【详解】解：由题意得
，且，
解得且，
故选：B．
22．（24-25八年级下·全国·期中）使成立的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再解一元一次不等式组即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，
解得：．
故选：C．
23．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则化简二次根式的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，先判断a，b的正负，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选D．
24．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知，化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的化简和不等式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．
根据题意得到，，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可；
【详解】解：
，
，
，，
，，
原式；
故选：A
25．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（ ）

A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题关键．
首先根据数轴确定，的符号，然后根据二次根式的性质即可进行化简．
【详解】解：根据数轴可以得到：，
，，
原式
．
故选：D．
26．（24-25八年级上·重庆万州·期中）计算：的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，整式的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键．令，把原式化简为，再利用二次根式的性质化简，最后再代入求值即可．
【详解】解：令，
则原式化为：
，
故选：B．
27．（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
故选：．
28．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知，则的值为（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，一元一次不等式组解法，理解二次根式有意义的条件是解答关键．
根据二次根式有意义的条件求出，进而求出的值，代入中进行计算求解．
【详解】解：根据二次根式的意义得，，
，
当时，，，
，
∴，
故选：A．
二、填空题
29．（2025八年级下·全国·专题练习）是一个正整数，则m的最小正整数值是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数．
先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再根据是一个正整数得出或，即可确定m的最小正整数值．
【详解】解：根据二次根式有意义得：，
解得，
∵是一个正整数，
∴或，
∴或，
∴m的最小正整数值是2，
故答案为：2．
30．（24-25八年级上·四川达州·期末）已知，为实数，且，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
利用二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组即可求出a的值，进而得出b的值，然后将、的值代入代数式求值即可．
【详解】解：由题意可得：且，
解得：，
，
，
故答案为：．
31．（24-25八年级下·全国·随堂练习）当的值为时，代数式有最小值，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查二次根式的非负性，掌握，是解题的关键．根据二次根式的非负性，即可得到答案．
【详解】解：当的值为时，代数式有最小值，
∵，
∴时，存在最小值，即，
把代入代数式，则最小值为，
∴．
故答案为：．
32．（2025八年级下·全国·专题练习）若，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了非负数的性质，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键．
由已知得，得，得，可得，即得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
33．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，求解代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
34．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知x，y为实数，且，则 ．
【答案】5或/或
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、代数式求值，先根据二次根式的被开方数是非负数求得x、y值，进而代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴且，
∴，即，解得，
∴，
∴或，
故答案为：5或．
三、解答题
35．（2025八年级下·全国·专题练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)20
(2)72
(3)6b
【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式性质是解题的基础．
（1）将800化为，根据二次根式的性质化简以上各式即可求解；
（2），根据二次根式的性质化简以上各式即可求解；
（3）根据二次根式的性质化简以上各式即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
36．（24-25八年级上·全国·期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：．
【答案】
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根，由数轴可知：，从而得出，，，再根据绝对值的性质、立方根和二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由数轴可知：，
∴，，，
∴
．
37．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象：
(1)具体运算，发现规律，
①；
②；
③；
④_________；
(2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律；
(3)证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索：
（1）仿照①化简求解即可；
（2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可；
（3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①；
②；
③；
④；
……．，
以此类推，可知；
（3）证明：
．
38．（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简，
即：．
善于思考的小明进行了以下探索：
对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数）
例如：∵，
．
请你参考小明的方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，其中，都是整数，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键．
（1）根据，，利用完全平方公式即可得答案；
（2）根据，，利用完全平方公式即可得答案；
（3）由得出，根据，都是整数可得，即可求出值，代入求出值即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
=
．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，都是整数，
∴，
解得：，
∴，
解得：．
39．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）阅读下列材料回答问题：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，．
(1)填空：______，______；
(2)化简：
①，
②；
(3)计算：．
【答案】(1)；
(2)①；②
(3)
【分析】本题主要考查了化简复合二次根式：
（1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可；
（2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可；
（3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可．
【详解】（1）解：
；
；
故答案为：；；
（2）解：①
；
②
；
（3）解：
．
40．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）【阅读材料】小聪在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
【类比归纳】
（1）请你仿照小聪的方法将化成另一个式子的平方；
（2）请你运用小聪的方法化简；
【类比归纳】
（3）若，且均为正整数，，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或8
【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用：
（1）将转化为，进行求解即可；
（2）将转化为完全平方的形式，再化简即可；
（3）根据，得到，结合均为正整数，，求出正整数解即可．
【详解】解：（1）
（2）
（3）
均为正整数，
或
或8．
二次根式的性质
符号语言
文字语言
应用与拓展
注意
EQ \r(,a) （a≥0）的性质
EQ \r(,a) ≥0
（a≥0）
一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（ EQ \r(,a) ≥0，a≥0）应用较多，如： EQ \r(,a+1) + EQ \r(,b-3) =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如 EQ \r(,x-a) + EQ \r(,a-x) ，则x的取值范围是x-a≥0，a-x≥0，解得x=a。
（2）具有非负性的性质： = 1 \* GB3 ①a2≥0； = 2 \* GB3 ②｜a｜≥0； = 3 \* GB3 ③ EQ \r(,a) ≥0（a≥0）。
（3）若a2+｜b｜+ EQ \r(,c) =0，则a=0，b=0，c=0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。
EQ \r(,a) （a≥0）的最小值为0。
（ EQ \r(,a) ）2（a≥0）的性质
（ EQ \r(,a) ）2 = a（a≥0）
一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
正用公式：（ EQ \r(,5) ）2 =5；（ EQ \r(,m2+1) ）2=m2+1；逆用公式：若a≥0，则a=（EQ \r(,a)）2如：2=（EQ \r(,2)）2，eq \f(1,2)=（ EQ \r(, eq \f(1,2))）2
逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-（ EQ \r(,5) ）2 =(a+ EQ \r(,5) )(a- EQ \r(,5) )
eq \r(,a2) 的性质
eq \r(,a2) =｜a｜=a（a≥0）或
eq \r(,a2) =｜a｜= - a（a＜0）
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
（1）正用公式： eq \r(,（3-π)2) =｜3-π｜=3-π （2）逆用公式：3 eq \r(, eq \f(1,3) ) = eq \r(,32× eq \f(1,3) ) =3
化简形如 eq \r(,a2) 的式子时，先转化为
｜a｜形式，再根据a的符号去掉绝对值号。