重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了已知等比数列的前n项和为，则，已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．与直线关于x轴对称的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．在等差数列中，，则（ ）
A．B．5C．D．10
3．已知点到抛物线：的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知椭圆C的方程为，点P是椭圆上一点，点是椭圆左焦点，则下列选项正确的是（ ）
A．焦点在y轴上B．长轴长为2
C．离心率D．最大值为
6．已知等比数列的前n项和为，则（ ）
A．2B．C．D．4
7．已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的图象与x轴有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．数列为递增数列
C．数列为等差数列D．当取最小值时，
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若在处的瞬时变化率为3，则
B．当时，函数在区间上的最小值为1
C．若在R上单调递增，则
D．若有三个零点，则
11．已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上运动，坐标原点为O．若最小值为2，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当点F为的重心时，
C．当点F为的垂心时，以AB为直径的圆与有公共点
D．当A、B两点关于直线对称时，与面积相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若点P是圆上的动点，则点P到直线的距离最大值为 ．
13．已知数列的通项公式为，数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则 ．
14．已知椭圆的左右焦点分别为，O为坐标原点．直线与椭圆相交于M，N两点，满足，则点M坐标为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知数列的前n项和为，且数列是公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足为数列的前n项和，求．
16．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求实数的取值范围．
17．在三棱柱中，四边形是菱形，是的中点，平面平面，．
(1)证明：；
(2)若，，求二面角的正弦值．
18．已知椭圆，椭圆．椭圆的上顶点为点A，过原点的直线l与交于点M，N，直线AM，AN与分别交于P，Q两点（异于点A）．设直线AM，AN斜率分别为．
(1)求的值；
(2)求面积的最大值；
(3)实数满足．试问是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
19．已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线C的标准方程：
(2)对，点都在双曲线C上，且，记．
（i）证明数列是等比数列，并求通项公式；
（ii）设，数列的前n项和为，求证：．
1．A
【分析】由在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，即可确定所求的直线.
【详解】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，
显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上.
故选：A
2．C
【分析】利用等差数列的性质求解.
【详解】解：由等差数列性质得：，
故选：C．
3．A
【分析】写出准线方程，由题意建立等式，求得准线，从而得到焦点坐标.
【详解】由题已知点到抛物线：的准线的距离为5,则抛物线准线方程为，则焦点为，
故选：A．
4．B
【分析】根据题意，由求解.
【详解】解：设圆的标准方程为，
由题意得，
解得，
故圆的方程为，
故选：B
5．D
【分析】根据椭圆的标准方程及其性质判断各项的正误.
【详解】由椭圆标准方程为，则，
所以焦点在x轴上，长轴长为，离心率为，且最大值为.
故选：D
6．A
【分析】利用等比数列性质，求解.，
【详解】解：由等比数列性质有，即，解得，
则，
故选：A．
7．C
【分析】利用点到直线的距离公式求出双曲线焦点到渐近线的距离为，再结合的面积可求的值，即可求出双曲线的离心率.
【详解】如图：
由题有，由双曲线性质有，，所以.
所以，所以.
又双曲线方程，则，，
所以，则双曲线离心率.
故选：C
8．C
【分析】问题化为且图象有两个交点，利用导数研究的性质并画出函数图象草图，数形结合求参数范围.
【详解】由题，方程有两个实数根，即，
所以且图象有两个交点，
设，则，令，解得，
当在上单调递减，
当在上单调递增，
所以有极小值，
当时，且，当时，，
作出函数的大致图象，
故，解得.
故选：C
9．ABD
【分析】A. 由递推求解判断；C.由，利用累加法求解判断；B.由，利用二次函数的单调性判断；D.由数列为递增数列，且判断.
【详解】解：由题意，，所以选项A对；
，由累加法有：
，，
显然满足上式，则，
所以，所以数列不是等差数列，所以选项C错误；
又，且在区间单调递增，
所以数列为递增数列，所以选项B对：
数列为递增数列，，所以取最小值时，，故选项D对.
故选：ABD.
10．BD
【分析】由导数值求出值判断A；利用导数求出最小值判断B；利用导数，结合单调性求出范围判断C；利用零点的意义计算判断D.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
对于A，，解得，A错误；
对于B，当时，，
当或时，，当时，，
函数在区间上单调递增，在上单调递减，，
函数在区间上最小值为，B正确；
对于C，在R上单调递增，则恒成立， ，解得，C错误；
对于D，，则， ，D正确.
故选：BD
11．ACD
【分析】选项A，由焦半径，得到判定；选项B，由重心坐标公式得到，，结合正切计算即可；选项C，根据垂心性质得到点A，B关于x轴对称，设，借助数量积为0,求出，再验证位置关系即可；选项D，运用点差法，结合点关于直线对称即可解题.
【详解】选项A中，由，所以，则，故选项A对；
选项B中，为重心时，由重心坐标公式有，所以，所以，
，所以，故选项B错；
选项C中，为垂心时，，则点A，B关于x轴对称，设，则，所以，又，所以，则，
则以AB为直径的圆圆心为，半径为，则以AB为直径的圆与相交，故选项C对；
选项D中，设AB中点，则，相减得到，即，
因为A、B两点关于对称，所以，故，代回，故，AB中点坐标为，直线AB的方程为，即，过点，为中点．
所以与面积相等，选项D正确；
故选：ACD．
12．
【分析】根据圆心到直线距离求圆上点到直线距离的最大值即可.
【详解】由题意，圆心坐标且半径，圆心到直线的距离，
则直线与圆相交，显然点P到直线距离.
故答案为：
13．50
【分析】依题意求出的通项，通过分别列举找到两者的公共项，发现构成等差数列，利用等差数列的基本量运算即得.
【详解】由题意，
将两数列列举出来可得：
可得两数列的公共项依次为，构成公差为12的等差数列，
于是.
故答案为:50．
14．
【分析】运用椭圆定义，结合余弦定理求解即可.
【详解】由，则，则，
又，所以，则点N为下顶点．
由余弦定理，
所以
所以，则，所以椭圆方程为，则点，
又，所以．
故答案为：.
15．(1)；
(2)
【分析】（1）利用数列的通项和前n项和的关系求解；
（2）由，利用裂项相消法求解.
【详解】（1）解：由题知，则，
所以．
当，
又也符合，所以．
（2），
所以，
.
16．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）先确定切点坐标，再根据导数的几何意义求切线斜率，依据点斜式可得切线方程.
（2）求导，对的不同取值进行讨论，可得函数的单调区间.要注意：函数的定义域.
（3）利用（2）的结论，可求问题（3）.
【详解】（1）当时，，.
又，所以.
所以切点坐标为，切线斜率为1，
所以切线方程为即.
（2）因为，
当时，恒成立，函数在区间单调递增．
当时，令，解得，
在区间，，函数单调递减，
在区间，，函数单调递增.
综上可知：当时，函数在区间单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，函数无极值，
当时，函数在取得极小值，
所以，解得，所以．
所以实数的取值范围为：
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）推导出， 利用面面垂直的性质可得出面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的正弦值．
【详解】（1）在中，由，是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，面，
所以面，
因为平面，故．
（2）连接，在中，由，是的中点，所以，
又面，、平面，所以，，，
在直角三角形中，，，
，
在中，，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
所以、、、，
设平面的一个法向量，，，
则，取，可得，
设平面的一个法向量为，，
则，取，则，
所以，，
所以，.
因此，二面角的正弦值为.
18．(1)；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）由题，设，应用斜率两点式及点在椭圆上整理化简，即可求值；
（2）由且，即可求面积的最大值；
（3）设直线AM为，则AN为，联立椭圆方程求横坐标，结合、、得到关于的表达式，进而求参数范围.
【详解】（1）由题，由M，N关于原点对称，
设，不妨设点M在y轴右侧，
所以，则，
又，所以.
（2），又，
所以，故三角形AMN面积最大值为.
（3）由题意有，
设直线AM的方程为，则AN的方程为，
联立，有，得，
联立，有，得，
所以，同理可得，
所以，
令，则，
所以，
由，所以当时，取最大值，所以，
当时，取最小值.
【点睛】关键点点睛：第三问，注意有，设直线AM为，则AN为并联立椭圆方程求交点横坐标，进而得到关于的表达式为关键.
19．(1)；
(2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据渐近线设双曲线方程，代入即可求解，
（2）根据点在曲线上，代入曲线方程，进而可得，即可利用等比数列的定义求解，
（3）利用放缩法可得，进而可得，构造函数，求导得函数的单调性求解.
【详解】（1）由题设双曲线方程为，
过点，所以，所以双曲线方程为，即，
（2）（i）由题有，作差得：，
，
又，
所以，
所以，即，
由，
由，
所以数列是首项等比数列，则,
（ii）,
所以
所以,
要证，只证，
只证，
令，
只证对恒成立．
设，则，
恒成立，所以在单调递增，
所以时，，所以不等式得证．
【点睛】方法点睛：递推关系式转化的常见形式
（1）转化为常数，则数列是等差数列．
（2）转化为常数，则数列是等差数列．
（3）转化为常数，则数列是等差数列．
（4）转化为常数，则数列是等差数列．
（5）转化为常数，则数列是等差数列．
（6）转化为常数，则数列是等差数列．