重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共13页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。
3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存。满分150分，考试用时120分钟。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2、平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
3、以点为圆心，且过原点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
4、已知圆：，圆：，则两圆的公共弦方程为（ ）
A．B．C．D．
5、直线过点，且与圆：相交所形成的长度为的弦的条数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
6、若点关于直线：（，）的对称点为，则（ ）
A．B．C．3D．5
7、已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过且斜率为3直线交于，两点，则的内切圆半径为（ ）
A．B．C．D．
8、点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9、以下四个命题中正确的是（ ）
A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为
B．向量是直线的一个方向向量
C．直线与直线之间的距离是
D．直线的倾斜角的范围是
10、已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（ ）
A．若，则的面积为
B．使为直角三角形的点有6个
C．的最大值为
D．若，则的最大、最小值分别为和
11、已知点、，动点满足，点的轨迹为曲线，点是直线：上一点，过点作曲线的切线，切点为，直线与轴的交点为，则（ ）
A．曲线的方程为B．点到直线距离的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12、圆：在点处的切线方程为_________；
13、已知椭圆：的一个顶点为，焦距为4，则的值为_________；
14、已知为曲线上的动点，则的最大值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、（13分）已知直线：，：．
（1）若，求的值．
（2）设直线过的定点为，直线过的定点为，且当时直线与的交点为，求中边上的高所在直线的方程．
16、（15分）椭圆：的左、右焦点分别为、，为该椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）、为椭圆上的两点，且为的重心，求直线的斜率。
17、（15分）如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
18、（17分）已知点为线段的中点，，点为圆上动点。
（1）求点的轨迹曲线的方程；
（2）过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点），
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由。
19、（17分）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的蒙日圆为圆。
（1）求圆的方程；
（2）已知点是椭圆上的任意一点，点为坐标原点，直线与圆相交于、两点，求证：；
（3）过点作互相垂直的直线、，其中交圆于、两点，交椭圆于、两点，求四边形面积的取值范围。
高2026届高二上月考数学参考答案
一、单选题
1【详解】设直线的的倾斜角为，且，直线的斜率，所以，故选：C
2【详解】点到两个定点，的距离之和等于常数，由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，，故，故椭圆的标准方程为．故选：B
3【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为，
则圆的方程为．故选：D．
4【详解】两圆方程相减得公共弦方程为．
5【详解】由题设，圆的圆心为，且半径，
而，即点在圆内，且圆心到该点的距离，
当直线与、的连线垂直时，弦长最短为，
故长度为的弦的条数为1条．故选：C
6【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而，
又线段的中点在上，故，解得，故选：D．
7【详解】依题意，直线的方程为即
联立解得，，从而
的周长为，面积为
又，所以，故选：A
8【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设，
在椭圆上，，解得：，圆的半径为；
作轴，垂足为，
，，
为直角三角形，，，
，即，解得：，
故选：D．
二、多选题
9【详解】A选项：当直线过原点时，方程为，
当直线不过原点时，设方程为，则，解得，
所以直线方程为，综上，所求直线方程为或，故A错误；
B选项：由方向向量的定义知正确；
C选项：直线，即为，
故直线与直线之间的距离为，故C错误；
D选项：直线的斜率，
所以倾斜角的范围是，故D正确；
故选：BD．
10【详解】解：A选项：由椭圆方程，所以，，所以，所以的面积为，故A错误；
B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个，设椭圆的上下顶点分别为，，计算知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形，其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确；
C选项：由于，所以当最小即时取得最大值；故C正确；
D选项：因为，又，当点位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确．
故选：BCD
11【详解】A选项：设则：由得，化简得：，故曲线的方程为，A选项正确；
B选项：：的圆心到直线的距离为，所以直线与相离，从而圆上动点到直线距离的最小值为，从而B选项错误；
C选项：中，，故C正确；
D选项：，因为所以
所以，
当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故D正确．
故选：ACD
三、填空题
12【详解】，又过点，所以切线方程为
13【详解】将代入椭圆方程：，解得；故椭圆方程为．由焦距为4，得，．
由题意知，且，方程可化为，
若椭圆焦点在轴上，故，，则有，解得；
若椭圆焦点在轴上，，，则有，解得；
综上所述，或．
14【详解】曲线即，
由于在曲线上，令
则
（其中，，不妨设）
又，
当时取得最大值．
四、解答题
15【答案】（1）或，（2）．
【详解】（1）解得或
当时，：，：满足；
当时，：，：即满足；
故或
（2），
当时联立与的方程：解得
，从而
又直线过点 故直线的方程为即
16【答案】（1），（2）．
【详解】（1）由题 ：
（2）设，，线段中点
则为的重心 从而
所以即
，均在椭圆上 作差可得
带入点坐标得
在椭圆内部，所求直线存在
故直线的斜率为
17【答案】（1）证明见解析（2）．
【详解】（1）如图所示，连接．
因为，分别是棱，的中点，所以，．
因为，，所以，，
所以四边形是平行四边形，则．
因为平面，平面，所以平面．
（2）因为平面，、平面，所以，，
又因为，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题中数据可得，，，，，，．
设平面的法向量为，则
令，得．
同理可求得平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，
则．
即平面与平面的夹角的余弦值为．
18【答案】（1）
（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）（定值）
【详解】（1）设，，由中点坐标公式得．
因为点的轨迹方程是，所以，
整理得曲线的方程为．
（2）设直线的方程为，，，
联立直线和曲线的方程：
消去得：
（Ⅰ）因为直线与曲线交于异于坐标原点的两点，，
所以
解得
（Ⅱ）
带入韦达得：（定值）
19【答案】（1） （2）见详解； （3）
【详解】（1）椭圆：中，，
所以所求圆的方程为；
（2）设，则
又、
同理
（3）①当斜率不存在，斜率为0时，方程为，原点到的距离为
所以，，
所以四边形面积；
②当斜率存在，斜率不为0时，设的方程为，
则的方程为即
则原点到的距离为
所以
设、，联立与的方程，即
消去得
由于在椭圆内部，所以直线与必相交且
所以
因为
所以四边形面积
令则
故
令，则
则在单调递减
当时；当时， 所以
综上：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
B
C
D
A
D
题号
9
10
11
答案
BD
BCD
ACD
题号
12
13
14
答案
或