重庆市第八中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市第八中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
命题：毛闰 熊盛吉 审核：吉士钦 打印：熊盛吉 校对：杨茂
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列，则通过该数列图象上所有点的直线的斜率为（ ）
A．B．1C．2D．
2．记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．圆与圆交于两点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知数列为等比数列，，公比，则的最大值为（ ）
A．16B．32C．64D．128
6．已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（ ）
A．B．C．4D．6
7．设是公比不为1的等比数列，其前n项和为，设甲：成等差数列；乙：成等差数列，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9．已知曲线．（ ）
A．若，则E是一条直线
B．若，则E是圆，其半径为
C．若，则E是双曲线，其焦点在y轴上
D．若E的离心率是，则
10．设首项为1的数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列不是等比数列
C．D．数列是递增数列
11．如图，椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆与双曲线的离心率分别为，点P为两曲线位于第一象限的公共点，且，I为的内心，三点共线，且，x轴上的点A，B满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．平分D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知两点到直线的距离相等，则符合条件的a的一个值为 ．
13．设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为 ．
14．甲、乙、丙、丁四人玩报数游戏：第一轮，甲报数字1，乙报数字2，3，丙报数字4，5，6，丁报数字7，8，9，10：第二轮，甲报数字11，12，13，14，15，依次循环，直到报出数字2025，游戏结束，则甲在第8轮报了 个数字，报出数字2025的人是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．数列中，．
(1)求证：数列为等差数列：
(2)求满足的n的最小值．
16．已知的三个顶点分别是．
(1)求的外接圆M的方程；
(2)一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程．
17．已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，且的面积为4．
(1)求p的值；
(2)设点P在第一象限，过点的直线交C于两点，直线分别与y轴相交于两点，求线段的中点坐标．
18．已知首项不为0的数列的前n项和为，且．
(1)用含的代数式表示t，并求t的最大值；
(2)若且为正项数列，求数列的通项公式；
(3)若为等比数列，试求出所有满足条件的常数t的值．
19．已知双曲线，按照如下方式依次构造点：直线与双曲线E的右支交于两点（在的上方），过且斜率为的直线与过且斜率为1的直线交于点，过点作平行于的直线．
(1)求的取值范围；
(2)判断是否共线，并说明理由；
(3)证明：为定值．
1．D
【分析】根据已知得出等差数列的通项公式，再根据斜截式得出斜率即可.
【详解】由，可知，
当时，，即，
数列为首项，公差为的等差数列，
所以，（，），
所以通过该数列图象上所有点的直线的斜率为，
故选：D．
2．B
【分析】利用等差数列的基本性质可知，、、成等差数列，由此可求得的值.
【详解】因为为等差数列的前项和，则、、成等差数列，
则，所以，.
故选：B.
3．A
【分析】由两圆方程相减即可求解；
【详解】①，②，.
②−①化简可得，
方程为，
故选：A．
4．B
【分析】根据已知条件和斜率公式列出等式化简可得.
【详解】
设，因为，所以，
由已知，，化简得，
故选：B．
5．C
【分析】可根据数列通项公式写出的表达式，进而得出结果.
【详解】，则，
当或4时，表达式取得最大值：．
故选：C．
6．A
【分析】设的中点为，确定为等边三角形即可求解；
【详解】设的中点为，
则，
于是，
又，则为正三角形，即．
故选：A．
7．C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义可得选项.
【详解】设等比数列的公比为.
①∵成等差数列，
∴，即，
∴，即，
∴，故成等差数列，充分性成立.
②∵成等差数列，∴，故，解得，
∴，
∴，
∴，
∴成等差数列，必要性成立.
综上得，甲是乙的充要条件.
故选：C.
8．A
【分析】如图，利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合计算即可求解.
【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，
则，如图，
因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为，
在中，由余弦定理得，
所以，
又，所以（当且仅当时，等号成立），
所以，
即的最小值为．
故选：A．
【点睛】思路点睛：解决本题的思路是利用余弦定理的应用得出，结合分析即可求解.
9．ABC
【分析】选项A，B，C直接代入结合直线，圆和双曲线分析可判断，选项D根据离心率小于可知是椭圆，化为椭圆标准方程后结合的范围由可求解.
【详解】若时，E即，表示直线y轴，A正确；
若表示圆，其半径为，故B正确；
若表示双曲线，且焦点在y轴上，故C正确；
由题意，E是椭圆，则且
当时，，故，所以，解得，
当时，，故，所以，解得，故D错误．
故选：ABC．
10．ACD
【分析】通过构造法可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，选项A正确；根据选项A求出数列的通项公式，可得选项B错误；利用等比数列通项公式及前项和公式可得选项C正确；根据可得选项D正确.
【详解】由题意，可知，
∵，∴，
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故选项A正确；
由A得，，∴，
当时，，
当时，满足上式，∴，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故选项B错误；
∵，∴，故选项C正确；
∵，∴，
∴数列是递增数列，故选项D正确.
故选：ACD．
11．ACD
【分析】根据给定条件，结合椭圆、双曲线定义及余弦定理求解判断AB；利用椭圆、双曲线定义，结合三角形内角平分线性质定理求解判断CD.
【详解】设，而椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
由双曲线的定义，得，由椭圆的定义，得，
则，又，
由余弦定理得：，
即，整理得，
对于A，，即，A正确；
对于B，，即，B错误；
对于C，又平分，则，由，得，
则，C正确；
对于D，由为的内心，得为的角平分线，则，同理，
则，于是，即，
由，得，则，又三点共线，
即为的角平分线，又平分，则有，
而，则，即，
由，得，即，由选项B知，，D正确．
故选：ACD
【点睛】结论点睛：是的角平分线，则.
12．或4
【分析】由点到线的距离公式列出等式求解即可；
【详解】两点到直线的距离相等，则，
解得或4．
故答案为：或4
13．1
【分析】设，通过点差法即可求解；
【详解】设，则的中点
在双曲线上，，两式相减得，
则，则．
此时，即，联立方程，消去y得，
此时，故直线与双曲线有两个交点.
故答案为：1
14． 29 丁
【分析】根据等差数列的通项计算第8项，再结合等差数列前n和公式计算求解.
【详解】第一轮，甲报数字1个，第二轮，甲报数字5个，所以甲第n轮报数的个数是以1为首项以4为公差的等差数列，
甲第n轮报数的个数为，当时，，故甲在第8轮报了29个数．
甲在第n轮报的第1个数为，
令，有，即甲第17轮报的第1个数为2081，
且丁第16轮报了个数，，故报出2025的人是丁．
故答案为：29；丁.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）两边同时除以即可；
（2）先裂项相消求和，然后解不等式.
【详解】（1），又，
∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
.
（2）由（1）知，，
，
，
，的最小值为11．
16．(1)
(2)或．
【分析】（1）求得的中点，结合半径与的长度关系确定其为圆心，进而可求解；
（2）由对称性确定点关于y轴的对称点，进而设反射光线所在的直线方程为，由位置关系列出等式求解即可；
【详解】（1），线段的中点，
点与点C的距离，
因此的外接圆M的圆心为，半径为2，
所以圆M的方程为．
（2）由光的反射定律知，经y轴反射后的光线所在直线过点，点关于y轴的对称点，
直线与圆M不相切，设反射光线所在的直线方程为，即，
于是，整理得，解得或，
所以反射光线所在的直线方程为或．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线定义表示，可得，，利用三角形面积可求的值.
（2）设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示两根和与积，表示直线方程，计算点纵坐标，求和可得结果.
【详解】（1）由题意得，，，得，
∴，故，
∴的面积，解得．
（2）
由（1）得，，.
设过点的直线方程为，，
由，得，
由，得或，且，
∵点，∴设直线的方程为，
令，得，
∴，同理，
∴，
故线段的中点坐标为
18．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据条件可得，通由此可求最大值.
（2）根据条件可得，即可证明结论.
（3）根据条件可得对任意均成立，根据可求t的值．
【详解】（1）当时，，∴，
∴，当且仅当时取等号，∴．
（2）若，则，
∴，，
两式相减得，，
整理得，
∵为正项数列，∴，故是公差为2的等差数列．
∵，∴，∴.
（3）法一：∵，∴ ，，
两式相减得，，整理得
设等比数列的公比为，则，∴，
即，对任意均成立，
∴，解得且，
此时，故，
故存在常数，使得是公比为的等比数列．
法二：若存在常数t，使得为等比数列，不妨设其公比为．
∵，∴，即，可得，
由得，故，
整理得对任意均成立，故或．
当时，舍去．
当时，，特别地，，
解得（舍去）或．当时，，符合题意．
故存在常数，使得是公比为的等比数列．
【点睛】关键点点睛：解决第（3）问的关键是利用条件得到恒等式，根据系数等于0求参数值.
19．(1)
(2)共线，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）联立直线与双曲线，方程有两个正根即可；（2）先求出坐标，证明斜率为定值即可；（3）根据的制约关系，把相关线段都表示为的表达式即可.
【详解】（1）联立,
消去y并整理得，
因为该方程有两个正根，所以,
解得.
（2）共线，理由如下：
因为直线的方程为，
因为，即.
直线的方程为，
因为，即.
联立，
两式相加得，则，
因为，
易知，
则都在直线上，所以共线.
（3）证明：由题意，设，则.
直线方程为，此时，
易知，.
．
故，即为定值．
【点睛】关键点睛：本题第二问和第三问，关键在于把握与两点坐标之间的制约关系，然后通过灵活消元，进而解决问题.