2024-2025学年重庆市巴蜀中学教育集团高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年重庆市巴蜀中学教育集团高二（上）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列直线中，倾斜角为钝角的直线是( )
A. x−3y+4=0B. x+3y+4=0C. x−3=0D. y+4=0
2.若圆C1：x2+y2=9与圆C2：(x−4)2+(y−3)2=m外切，则m的值是( )
A. 16B. 8C. 4D. 1
3.已知在等差数列{an}中，a2+a5=a4+11且a2+a4=a6+2，则数列{an}的通项公式为( )
A. an=3n+2B. an=3n−1C. an=3n+5D. an=2n+3
4.已知点P在圆(x−2)2+y2=1上运动，O为坐标原点，则线段OP的中点的轨迹方程为( )
A. (x−1)2+y2=14B. (x−1)2+y2=12
C. (x−1)2+y2=1D. (x−2)2+y2=14
5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)的两条渐近线之间的夹角小于π3，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. (1, 2)B. (1,2 33)
C. (2,+∞)D. (1,2 33)∪(2,+∞)
6.已知动点P在椭圆C：y24+x23=1上，F(0,1)，A(−3,3)，则|PF|−|PA|的最大值为( )
A. − 13B. 13C. −3D. −1
7.已知双曲线C：x2a2−y24=1(a>0)，过左焦点F的直线l与双曲线交于A，B两点.若存在4条直线l满足|AB|=8，则实数a的取值范围是( )
A. (1,16)B. (1,8)C. (1,4)D. (1,2)
8.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线x2=4y中，一平行于y轴的光线l1射向抛物线上的点M，反射后反射光线经过抛物线的焦点F射向抛物线上的点N，再反射后又沿平行y轴方向的直线l2射出.则直线l1与l2之间的最小距离为( )
A. 4B. 2C. 8D. 16
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数列{an}的通项公式为an=n2−4n，则下列说法正确的是( )
A. 该数列有3个负数项
B. 该数列有无限多个正数项
C. 该数列的最小项大于函数f(x)=x2−4x的最小值
D. 该数列中的所有项均为奇数或4的倍数
10.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆相交于A、B两点，其中A是椭圆的上顶点，△F1AF2为面积是 3的正三角形，则下列说法正确的是( )
A. △ABF2的周长为8B. 椭圆C的离心率为 32
C. BF2的长为145D. △BF1F2的面积为3 35
11.已知实数x、y满足方程y= 4−x2，则下列说法正确的是( )
A. yx+3的取值范围是[0,2 55]
B. 3x+y的取值范围是[−6,2 10]
C. (x−3)2+y2的取值范围是[1,5]
D. |x−y+4 2|的取值范围是[2 2,4 2+2]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列{an}的前n项和公式为Sn=−n2+14，则{an}的通项公式为______．
13.当原点O到动直线l：x+my−2m+1=0(m∈R)的距离最大时，实数m的值为______．
14.已知抛物线C：y2=x的焦点为F，准线与x轴的交点为A，M为抛物线C上一动点，则|MA||MF|的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C关于y轴对称且经过点(− 3,3)和(2,2)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点P(− 3,1)的直线l与圆C交于A、B两点；若|AB|=2，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧棱PD⊥底面ABCD，DA⊥DC，底面ABCD为平行四边形，DA=DC=DP，E、F分别在棱PC、PB上，PA//平面EDB．
(1)若F是PB的中点，求EF与平面EDB所成角的余弦值；
(2)若EF⊥PB，求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2(1,0)且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于MN两点，点Q为MN的中点，直线OQ的斜率为−34k．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若y轴上的点P(0,m)满足PQ⊥MN，求m的取值范围．
18.(本小题17分)
二次函数的图象是抛物线，现在我们用“图象平移”的方式讨论其焦点与准线，举例如下：二次函数y=14x2+1的图象可以由y=14x2的图象沿向量n=(0,1)平移得到；抛物线y=14x2、即x2=4y的焦点坐标为(0,1)，准线方程为y=−1；故二次函数y=14x2+1的焦点坐标为(0,2)，准线方程为y=0．
(1)求二次函数y=14x2−x+1的焦点F的坐标和准线方程；
(2)证明：二次函数y=14x2−x+1上任意一点到焦点F的距离和到准线的距离相等；
(3)已知点Q(4,1)，过点P(4,2)的直线l与抛物线y=14x2−x+1相交于A、B两点，过点B作x轴的垂线与直线AQ相交于M点.证明：点M在定直线x−y−4=0上．
19.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A(−1,0)，左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与双曲线的右支交于P、Q两点.当|PF2|=|AF2|时，PF2⊥AF2．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若三角形APQ的面积为92 10，求直线1的方程；
(3)证明：存在实数λ，使得∠PF2A=λ∠PAF2恒成立．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.A
5.B
6.D
7.C
8.A
9.ABD
10.ACD
11.ABD
12.an=13,n=1−2n+1,n≥2
13.−2
14.[1, 2]
15.解：(1)由圆C关于y轴对称知圆心C在y轴上，设圆心C(0,a)；
因为圆经过点(− 3,3)和(2,2)，
所以r= ( 3)2+(a−3)2= 22+(a−2)2，
解得a=2，所以C(0,2)，圆的半径为r=2，
故圆C的标准方程为x2+(y−2)2=4．
(2)若|AB|=2，则圆心C到直线l的距离为d= 22−(|AB|2)2= 4−1= 3；
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=− 3，
圆心C到直线l的距离为d= 3，满足题意；
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y−1=k(x+ 3)，即kx−y+ 3k+1=0，
则d=|−2+ 3k+1| k2+1=| 3k−1| k2+1= 3，解得k=− 33，
此时直线l的方程为y−1=− 33(x+ 3)，即x+ 3y=0；
综上所述：直线l的方程为x=− 3或x+ 3y=0．
16.解：(1)因为DA⊥DC，DA=DC，底面ABCD为平行四边形，
所以底面ABCD是正方形，连接AC交BD于点O，连接EO，
因为PA//平面EDB，平面PAC∩平面EDB=EO，PA⊂平面PAC，
所以PA//EO；又O是AC中点，故E是PC中点，
以D为原点，DA,DC,DP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系D−xyz，

不妨设DC=2，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，
由题意，F是PB的中点，则F(1,1,1)，
故EF=(1,0,0),DB=(2,2,0),DE=(0,1,1)，
设平面EDB的法向量为m=(x1,y1,z1)，
则DB1⊥mDE⊥m，则DB⋅m=2x1+2y1=0DE⋅m=y1+z1=0，
令y1=−1，得m=(1,−1,1)，
记EF与平面EDB所成角为θ，
则sinθ=|m⋅EF||m|⋅|EF|=1 3×1= 33，
故csθ= 1−sin2θ= 63，
故EF与平面EDB所成角的余弦值为 63．
(2)DE=(0,1,1),PB=(2,2,−2)，故DE⋅PB=0，
故DE⊥PB；又EF⊥PB，DE∩EF=E，DE⊂平面DEF，
EF⊂平面DEF，故PB⊥平面DEF，
故平面DEF的法向量n1=PB=(2,2,−2)，
平面ABCD的法向量n2=(0,0,1)，
记平面DEF与平面ABCD的夹角为φ，
则csφ=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=22 3⋅1= 33，
故平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为 33．
17.解：(1)设Q(x0,y0)，N(x2,y2)，M(x1,y1)，那么x0=x1+x22,y0=y1+y22；
根据M、N两点在椭圆上可得：x12a2+y12b2=1①，x22a2+y22b2=1②，
①−②得：(x1+x2)(x1−x2)a2+(y1+y2)(y1−y2)b2=0，
所以(y1+y2)(y1−y2)(x1+x2)(x1−x2)=2y0(y1−y2)2x0(x1−x2)=y0(y1−y2)x0(x1−x2)=kOMkl=−b2a2=−34，解得b2a2=34；
又因为F2(1,0)，所以c=1,b= 3,a=2，因此C的标准方程为x24+y23=1．
(2)根据题意：线段MN的垂直平分线与y轴的交点为点P(0,m)；
根据直线l的斜率为k(k≠0)知MN与x轴不垂直，那么直线MN为y=k(x−1)(k≠0)，
联立直线MN方程和椭圆C方程可得y=k(x−1)3x2+4y2=12，
化简得：(3+4k2)x2−8k2x+4(k2−3)=0，根的判别式Δ>0恒成立，
根据韦达定理：x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4(k2−3)3+4k2；
所以x0=x1+x22=4k23+4k2,y0=k(x3−1)=−3k3+4k2；
那么MN的垂直平分线方程为y+3k3+4k2=−1k(x−4k23+4k2)；
令x=0,m=k3+4k2=13k+4k；
当k>0时：3k+4k≥2 3k⋅4k=4 3，当且仅当k= 32时取等号，此时0