初中数学4 二次函数的应用测试题

这是一份初中数学4 二次函数的应用测试题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中 x0），面积为，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（ ）
A．20米B．18米C．10米D．8米
3．如图，四边形中，，若，则四边形的面积最大值为（ ）
A．6B．18C．36D．144
4．正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x． 则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
5．一人乘雪橇沿坡度为1：3的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为S=10t+2t2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（ ）
A．72米B．36米C．米D．米
6．一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( )
A．第3.3秒B．第4.3秒C．第5.2秒D．第4.5秒
7．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系式是s=15t-6t2，那么汽车刹车后几秒停下来？（ ）
A．0B．1.25C．2.5D．3
8．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连结，．在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，则满足条件的所有点的坐标为（ ）
A．，B．，
C．，，D．，
9．某产品进货单价为元，按10一件售出时，能售件，如果这种商品每涨价元，其销售量就减少10件，设每件产品涨元，所获利润为元，可得函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，隧道的截面是抛物线，可以用表示，该隧道内设双行道，限高为，那么每条行道宽是（ ）
A．不大于B．恰好C．不小于D．大于，小于
11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，若动点N从点B出发沿边BC方向向终点C运动，连结BM，CM，AN，DN，则在整个运动过程中，阴影部分面积和的大小变化情况是（ ）
A．不变B．一直变大C．先减小后增大D．先增大后减小
12．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻在一定条件下，直杆的太阳影子长度单位：米)与时刻单位：时)的关系满足函数关系是常数)，如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（）
A．B．13C．D．
二、填空题
13．根据牛顿发现的有关自由落体运动的规律，我们知道竖直向上抛出的物体，上升的高度h（m）与时间t（s）的关系式为，一般情况下，g=9.8m/s2．如果=9.8m/s，那么经过 s竖直向上抛出的小球的上升高度为4.9m．
14．如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为 ；自变量x的取值范围为 ．
15．某种正方形合金板材的成本（元）与它的面积成正比. 设边长为厘米. 当时，. 那么当成本为50元时，边长为 厘米.
16．已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是 ．
17．从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间关系是h=30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是 米．
三、解答题
18．已知将二次函数的图像向上平移4个单位，再向左平移3个单位得到一新的二次函数，其图像与ｘ轴交于A，B两点，与ｙ轴交于C点，顶点为P点．解决下列问题
（1）求A、B、C的坐标；
（2）求⊿ABC和⊿ABP的面积；
（3）在新函数的图像上是否存在一点Q使得⊿ABQ的面积与⊿ABC的面积相等？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH．
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；
(3)求四边形EFGH面积的最小值．
20． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；
（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？
21．2015年9月19日第九届合肥文博会开幕．开幕前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：

（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）开幕后，合肥市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过38元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
22．如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，F分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿边BC，CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG＝BC，B，E，C，G在一条直线上.
（1）若BE＝a，求DH的长；
（2）当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值.
23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．
(1)求点A、P的坐标；
(2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的面积．
销售单价x（元/件）
…
20
30
40
50
60
…
每天销售量（y件）
…
500
400
300
200
100
…
《2.4二次函数的应用》参考答案
1．C
【分析】先根据长方形的周长公式求出另一边长，再利用长方形的面积公式写出关系式即可．
【详解】解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中 x0），
∴长方形的另一边长为：24÷2-x=(12-x)cm，
∴长方形的面积为：y=(12-x)x
故选：C
【点睛】本题考查了长方形的周长和面积，熟练利用长方形的周长、面积公式进行运算是解题关键．
2．A
【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解．
【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，
设抛物线解析式为，将点代入，得
解得
∴抛物线解析式为
令，解得（负值舍去）
即，
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键．
3．B
【分析】设，，根据题意表示四边形的面积，根据二次根式的性质作答即可．
【详解】如图，设AC、BD交于点M
设
四边形的面积即四边形的面积
当时，四边形的面积最大，最大为18．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质与最值问题、四边形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．C
【分析】由已知得BE=CF=DG=AH=1-x，根据y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH，求函数关系式，判断函数图象．
【详解】解：依题意，得y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH=1-4×（1-x）x=2x2-2x+1，
即y=2x2-2x+1（0≤x≤1），抛物线开口向上，对称轴为x=．
故答案选C ．
5．B
【分析】求滑下的距离，设出下降的高度，表示出水平高度，利用勾股定理即可求解.
【详解】当时，，
设此人下降的高度为米，过斜坡顶点向地面作垂线，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
解得.
故选：.
【点睛】此题主要考查了坡角问题，理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解是解题关键.
6．D
【分析】由炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等可求得抛物线的对称轴，即对称轴对应炮弹的最高点．
【详解】∵ 炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，
∴ 抛物线的对称轴方程为x＝4.5，
.∴ 当第4.5秒时，炮弹的高度最高，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，利用抛物线的对称性求得对称轴方程是解答的关键．
7．B
【详解】∵s=15t−6t²=−6(t−1.25) ²+9.375，
∴汽车刹车后1.25秒，行驶的距离是9.375米后停下来.
故选B.
8．D
【详解】解：设抛物线的对称轴交轴于点，由题可知，
，，，，，，，
∵，，∴，，
又，∴，，
则①当时，，即，，
∴点在点左侧，此时，
②当时，，即，，
∴点在点左侧，此时，
综上，在轴上有两点，，满足题意．故选D．
【点睛】此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、相似三角形的判定和性质、以及等腰三角形的构成情况等重要知识点，要注意的是分类讨论的数学思想，所以考虑问题一定要全面，以免漏解．
9．D
【分析】根据总利润=单件利润×数量建立等式就可以得出结论．
【详解】解：由题意，得
y=（10+x-9）（100-10x），
y=-10x2+90x+100．
故选D．
【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，总利润=单件利润×数量的运用，解答时找准销售问题的数量关系是关键．
10．A
【分析】本题考查二次函数的实际应用，为数学建模题，需借助二次函数解决实际问题．由题意可知，直接把代入解析式求解即可．
【详解】解：把代入，得：，
解得：（舍去）．
∴每条行道宽应不大于．
故选A．
11．C
【分析】连接MN，根据平行线之间的距离处处相等可得: △AEB与△NME的面积相等，同理△NMF与△CDF的面积相等，从而得出S阴影＝S四边形ABCD﹣2S四边形MENF，设AM＝MD＝a，BC＝b，BN＝x，S△AMN＝S△DMN＝k，根据平行线分线段成比例得出各部分面积与x的函数关系式,再利用函数的增减性判断即可．
【详解】解：连接MN，
∵AD∥BC
∴S△ABM＝S△NMA，
∴△AEB与△NME的面积相等，同理△NMF与△CDF的面积相等，
∴S阴影＝S四边形ABCD﹣2S四边形MENF，
设AM＝MD＝a，BC＝b，BN＝x，S△AMN＝S△DMN＝k，k为常数
∴
所以S△AEM：S△AMN＝
∴S△AEM＝
同理S△DFM＝
令S＝S△AEM+S△DFM＝
＝,其分子为常数
令y＝（a+x）（a+b﹣x）=-x2+bx+a2+ab
它的对称轴为x＝,开口向下
当0＜x＜时，y随x的增大而增大，此时S随着x的增大而减小
所以S四边形MENF=随x的增大而增大
所以S空白=2S四边形MENF随x的增大而增大
所以S阴影随x的增大而减小
当＜x＜b时，y随x的增大而减小，此时S随着x的增大而增大
所以S阴影随x的增大而增大
综上所述：S阴影先减小后增大
故选：C．
【点睛】此题考查的是动点问题与函数的增减性问题,掌握用函数思想解决问题和等高时,面积比与等于底之比是解决此题的关键．
12．C
【详解】把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：
，解得，
∴l=0.15t2-4t+27，
∵0.15＞0，
∴l有最小值，
当t=-=≈13.33时，该地影子最短；
故选C．
【点睛】错因分析 中等题.失分原因：没有理解本题考查的真正意图，通过二次函数图象上的点结合函数性质，推断对称轴位置.
13．1
【分析】把h＝4.9代入关系式，解关于t的一元二次方程求出t的值即可．
【详解】解：当h=4.9时，即，
解得：，
即经过1s竖直向上抛出的小球的上升高度为4.9m，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答时灵活运用一元二次方程的解法是关键．
14．
【分析】根据题意表示出长方形的长进而得出函数关系，进而结合a的最大值得出x的取值范围．
【详解】解：设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，
则S与x的之间的函数表达式为：；
由题意可得：，
解得：．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是正确表示出长方形的长．
15．5
【分析】设y=kx2，由待定系数法就可以求出解析式，把y=50代入函数解析式就可以求出结论．
【详解】设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由题意，得：18=9k，解得：k=2，∴y=2x2，当y=50时，50=2x2，∴x=5（厘米）．
故答案为5．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式的运用，求出函数的解析式是解答本题的关键．
16．4.
【详解】整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分：
①k＞0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况求解；
②k＜0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB一种情况列式计算即可．
解：y=k（x+1）（x﹣）=（x+1）（kx﹣3），
所以，抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，﹣3），
AC==，
点B坐标为（，0），
①k＞0时，点B在x正半轴上，
若AC=BC，则=，解得k=3，
若AC=AB，则+1=，解得k==，
若AB=BC，则+1=，解得k=；
②k＜0时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，
只有AC=AB，则﹣1﹣=，解得k==，
所以，能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条．
故答案是：4．
17．50
【分析】根据题目中的函数解析式可以求得h的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动4秒共运动的路径长．
【详解】解：∵h＝30t−5t2＝−5（t−3）2＋45（0≤t≤6），
∴当t＝3时，h取得最大值，此时h＝45，
∴小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是：45＋[45−（30×4−5×42）]＝50（米），
故答案为50．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的路径的长．
18．（1）A（-5，0）、B（-1，0）、C（0，-5）；（2）10，8；（3）存在，Q（-6，-5）
【分析】（1）根据二次函数图象平移左加右减，上加下减即可得到新的二次函数的解析式，再令x为0求出C的坐标，令y为0求出A、B的坐标；
（2）根据二次函数求出其顶点坐标，根据三角形面积公式求解即可；
（3）由△ABQ于△ABC的面积相等可知两个三角形的底都是AB，所以点Q的纵坐标应和点C的纵坐标一样，由此可找出点Q的坐标；
【详解】（1）∵ 图象向上平移4个单位，向左平移3个单位，
∴ 新的二次函数解析式为： ，
∵ 点C为二次函数与y轴的交点，
∴ ，即y=-5，
∴ C(0，-5)，
∵点A、B为二次函数与x轴的交点，
∴ ，即， ，
∴ A(-5，0)、B(-1，0)；
（2）∵A(-5，0)、B(-1，0)，
∴ AB=4 ，
又∵ C(0，-5)，
∴ ，
∵二次函数：，
∴顶点坐标P(-3，4)，
∴，
（3）存在；
假设 ，AB=AB，
∴ 点Q的纵坐标为-5，
∴ ，
∴ （舍去） 或 ，
∴ Q(-6，-5)，
∴存在一点Q使得
【点睛】本题主要考查了二次函数图象左加右减，上加下减、三角形的面积公式，以及面积相等时求动点的坐标；掌握二次函数的性质是解题的关键；
19．(1)见解析
(2)直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由见解析
(3)32cm2
【分析】（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；
（2）连接AC、EG，交点为O；先证明△AOE≌△COG，得出OA=OC，证出O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；
（3）设四边形EFGH面积为S，BE=xcm，则BF=（8-x）cm，由勾股定理得出S=x2+（8-x）2=2（x-4）2+32，S是x的二次函数，容易得出四边形EFGH面积的最小值．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG，
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形；
（2）解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点），理由如下：
连接AC、EG，交点为O；如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCG，
在△AOE和△COG中，
，
∴△AOE≌△COG（AAS），
∴OA=OC，即O为AC的中点，
∵正方形的对角线互相平分，
∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；
（3）解：设四边形EFGH面积为S，设BE=xcm，则BF=（8-x）cm，
根据勾股定理得：EF2=BE2+BF2=x2+（8-x）2，
∴S=x2+（8-x）2=2（x-4）2+32，
∵2＞0，
∴S有最小值，
当x=4时，S的最小值为32，
∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用和二次函数的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
20．（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）；（3）抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．
【详解】试题分析：（1）根据特征线直接求出点D的特征线；
（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；
（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．
试题解析：解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；
（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵抛物线解析式为，∴，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴，将n=m+1带入得到m=2，n=3；
∴D（2，3），∴抛物线解析式为．
（3）①如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时：
根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离==．
②如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′==，∴A′F=4﹣，设P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣）2+（3﹣c）2=c2，∴c=，∴P（4，），∴直线OP解析式为y=x，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．
综上所述：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．
21．（1）一次函数，y=-10x+700；(2) 销售单价定为40元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是9000元；(3) 销售单价定为38元∕件时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是8960元．
【分析】（1）利用表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出y与x的函数关系式，求出即可；
（2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数关系式得出W=（x-10）（-10x+700），进而利用二次函数最值求法得出即可；
（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案．
【详解】（1）画图：
由图可知，这几个点在一条直线上，所以猜想y与x是一次函数关系．
设这个一次函数为y=kx+b（k≠0），
∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，
∴，解得：，
∴此函数关系式是y=-10x+700．
（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得：
W=（x-10）(-10x+700）=-10x2+800x-7000
=-10（x-40）2+9000，
∴当x=40时，W有最大值9000．
答：销售单价定为40元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是9000元．
（3）对于函数W=-10（x-40）2+9000，
当x≤38时，W的值随着x值的增大而增大，
∴当x=38时，最大=-10×（38-40）2+9000=8960，
答：销售单价定为38元∕件时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是8960元．
22．（1）a；（2）E为BC的中点时，a2
【分析】（1）可通过构建直角三角形求解．连接FH，则FH∥BE且FH=BE，FH⊥CD．因此三角形DFH为直角三角形．
点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，那么DF=3a-a=2a，DF=2a，FH=a，根据勾股定理就求出了DH的长．
（2）设BE=x，△DHE的面积为y，通过三角形DHE的面积=三角形CDE的面积+梯形CDHG的面积-三角形EGH的面积，来得出关于x，y的函数关系式，然后根据函数的性质求出y取最小值时x的值，并求出此时y的值．
【详解】解：（1）连接FH，
∵△EGH≌△BCF，
∴HG＝FC，∠G＝∠BCF，
∴HG∥FC，
∴四边开FCGH是平行四边形，
∴FH∥CG，且FH＝CG，
又∵EG＝BC，
∴EG－EC＝BC－EC，即CG＝BE，
∴FH＝BE，
∵FH∥CG，
∴∠DFH＝∠DCG＝90°，
由题意可知：CF＝BE＝a，
在Rt△DFH中，DF＝3a－a＝2a，FH＝a，
∴DH＝＝a；
（2）设BE＝x，△DHE的面积为y，根据题意得：
y＝S△CDE+S梯形CDHG－S△EGH＝×3a(3a－x)+ (3a+x)x－×3a×x，
∴y＝x2－ax+a2＝(x－a)2+a2，
∴当x＝a，即E为BC的中点时，y取得最小值，即△DHE的面积取得最小值，最小值是a2.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，二次函数的综合应用等知识点．
23．(1)，；
(2)存在，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），
令，即，解得，，
∴，，
∵，
∴；
（2）存在，
∵点H在二次函数的对称轴上且交于x轴，
∴，
∵，
∴，，
设点，
∵DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，
∴，
∴，
∵以点D，E，F为顶点的三角形与△APH全等，
∴当时，，
∴，解得，（舍），
∴；
当时，，
∴，解得，（舍），
∴，
综上所述，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等．
24．（1）抛物线的解析式为；（2）
【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；
（2）由（1）可得，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：（1）把点和点代入抛物线可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
C
B
D
B
D
D
A
题号
11
12








答案
C
C