数学北师大版（2024）5 二次函数与一元二次方程当堂达标检测题

这是一份数学北师大版（2024）5 二次函数与一元二次方程当堂达标检测题，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口方向向下B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线与轴交于点D．抛物线与轴没有交点
2．关于x的二次函数y＝﹣2x2+4x+m2+2m，下列说法正确的是（ ）
A．该二次函数的图象与x轴始终有两个交点
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当该二次函数的图象经过原点时，m＝﹣2
D．该二次函数的顶点的纵坐标无最小值
3．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．x＞﹣3B．x＜1C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞1
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，图象和x轴的一个交点坐标为(5，0)，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是（ ）
A．－1＜x＜5B．x＞5C．x＜－1且x＞5D．x＜－1或x＞5
5．如图，顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．若点都在抛物线上，则
C．当时，y随x的增大而减小
D．关于x的一元二次方程有两个不等的实数根
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0
B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间
C．2a+b＞0
D．若点（5，y1）、（﹣，y2）都在函数图象上，则y1＜y2
7．已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示，则方程的根是（ ）
A．或B．或C．或D．或
8．表是用计算器探索函数y=2x2﹣2x﹣10所得的数值，则方程2x2﹣2x﹣10=0的一个近似解为（ ）
A．x=﹣2.1B．x=﹣2.2C．x=﹣2.3D．x=﹣2.4
9．若二次函数的图象经过四个象限，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
10．已知抛物线，其中m＜n，若a，b是方程的两根，且a＜b，则当时，mn的值（ ）
A．小于零
B．等于零
C．大于零
D．无法确定
11．如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（ ）
A．2B．3C．5D． +
12．已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（ ）
A．-3，-1B．-3，0C．-1，0D．3
二、填空题
13．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且经过点A（3，0），则a﹣b+c的值为 .
14．若二次函数的值总是负值，则 ， .
15．抛物线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则三角形的面积为 ．
16．对于二次函数y=x2+2x﹣5，当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0；所以方程x2+2x﹣5=0的一个正根的近似值是 ．（精确到0.1）．
17．已知二次函数的图像与一次函数图像中的每一条都至多有一个公共点，则的最大值是 ．
三、解答题
18．定义：对于二次函数，其相依函数为一次函数，例如：二次函数的相依函数为：
（1）求二次函数的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数与其相依函数的图象分别交于点、，过该抛物线的顶点作直线平行于轴，已知点到直线的距离为8．
①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上；
②点为抛物线段上的一个动点，求面积的最大值．
19．如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴交于，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集．
20．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，求的面积．
21．已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为．
（1）求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标；
（2）根据图象回答：当取何值时，？
（3）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标．
22．如图，已知抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线向下平移个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点，求的值．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2ax－1（a＜0）．
（1）抛物线的对称轴为 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ；
（2）试说明直线y＝x－2与抛物线y＝ax2－2ax－1（a＜0）一定存在两个交点；
（3）若当－2≤x≤2时，y的最大值是1，求当-2≤x≤2时，y的最小值是多少？
24．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点，设函数（实数a为常数）的图象为图象T．是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
﹣3
1
3
1
…
…



…
…



…
x
﹣2.1
﹣2.2
﹣2.3
﹣2.4
y
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
《2.5二次函数与一元二次方程》参考答案
1．C
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴的交点问题对各选项一一进行判断即可得出答案．
【详解】解：A、由知抛物线开口向上，故此选项说法错误，不符合题意；
B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法错误，不符合题意；
C、当时，，故抛物线与轴交于点，此选项说法正确，符合题意；
D、由知抛物线与轴有两个不同交点，故此选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握抛物线的开口方向、对称轴的相关性质和抛物线与坐标轴的交点的求法是解答此题的关键．
2．A
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，只要计算当y=0时对应的方程的判别式的值即可判断A项，根据二次函数的性质即可判断B、D两项，把点（0，0）代入二次函数的解析式可得关于m的方程，解方程即可判断C项，进而可得答案．
【详解】解：A．由题意得：△＝42﹣4×（﹣2）×（m2+2m）＝8（m+1）2+8＞0，所以该二次函数的图象与x轴始终有两个交点，故本选项说法正确，符合题意；
B．函数的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线开口向下，所以当x＜1时，y随x的增大而增大，故本选项说法错误，不符合题意；
C．当该二次函数的图象经过原点时，即x＝0时，y＝m2+2m＝0，解得：m＝0或﹣2，故本选项说法错误，不符合题意；
D．函数的对称轴为直线x＝1，此时y＝m2+2m+2＝（m+1）2+1≥1，即顶点的纵坐标最小值为1，故本选项说法错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
3．C
【分析】
根据图象与x轴交点的坐标即可得到不等式的解集．
【详解】解：根据图象得二次函数的图象与x轴交点坐标为（﹣3，0）、（1，0），
而，即y＜0，
故﹣3＜x＜1．
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与不等式的关系．
4．D
【分析】先根据抛物线的对称性得到另一点坐标（−1，0），由y＝ax2＋bx＋c＜0得函数值为负数，即抛物线在x轴下方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．
【详解】∵对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点A与B（5，0）关于直线x＝2对称，
∴另一点的坐标为（−1，0）．
∵不等式ax2＋bx＋c＜0，即y＝ax2＋bx＋c＜0，
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的图形在x轴下方，
∴不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是x＜−1或x＞5．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的性质：a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x＝−；当b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，当b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点，即顶点在x轴上，当b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．C
【分析】由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对B进行判断；由抛物线的增减性可直接判断C选项；根据二次函数的最值可对D进行判断．
【详解】解：A、图像与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2-4ac＞0，故A选项不符合题意；
B、抛物线的对称轴为直线x=-3，因为-2离对称轴的距离等于-4离对称轴的距离，所以m=n，故B选项不符合题意；
C、顶点为（-3，-6），则对称轴为直线x=-3，抛物线开口向上，则当x＜-3时，y随x的增大而减小，故C选项符合题意；
D、由抛物线开口向上及顶点为（-3，-6）可知，此函数的最小值为-6，则ax2+bx+c=-7（a≠0）没有实数根，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了二次函数的性质，属于基础题，且难度适中；考查了根的判别式、最值与顶点坐标的关系，及一元二次方程与二次函数的关系等方面的内容，掌握相关基础知识是解题关键．
6．B
【分析】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可得x＝﹣1和x＝4的函数值相等，则可对B进行判断；利用x＝0和x＝3时函数值相等可得到抛物线的对称轴方程，则可对C进行判断；利用二次函数的性质则可对D进行判断．
【详解】解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，
∴抛物线的开口向下，
∴a＜0，
故A正确；
∵x＝﹣1时，y＝﹣3，
∴x＝4时，y＝﹣3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4，
即方程ax2+bx+c＝﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，
故B错误；
∵抛物线过点（0，1）和（3，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝＞1，
∴2a+b＞0，
故C正确；
∵（﹣，y2）关于直线x＝的对称点为（，y2），
∵＜5，
∴y1＜y2，
故D正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、抛物线与x轴的交点、图象法求一元二次方程的近似根、根的判别式、二次函数图象与系数的关系，准确计算是解题的关键．
7．D
【分析】根据抛物线的性质和表格提供的信息得到抛物线解析式为，对称轴为，根据抛物线经过点，得到抛物线也经过点，将方程变形为，根据一元二次方程和二次函数的关系即可求出的根．
【详解】解：由抛物线经过点（0,3）得c=3，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线经过点（0,3）和（6,3），
∴抛物线对称轴为，
∵抛物线经过点，
∴抛物线也经过点，
方程变形为，
∴方程的根可以理解为二次函数的函数值为1时所对应的自变量的取值，
所以方程的根为．
故选：D
【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系，熟知相关知识，并根据题意得抛物线经过点，并能将方程变形为是解题的关键．
8．C
【分析】根据表格可得：方程2x2﹣2x﹣10=0的一个解应在﹣2.3与﹣2.4之间，再由y的值可得：它的根近似的看作是﹣2.3．
【详解】∵当x=﹣2.3时，y=﹣0.11，当x=﹣2.4时，y=0.56，则方程的根﹣2.3＜x＜﹣2.4．
∵|﹣0.11|＜|0.56|，∴方程2x2﹣2x﹣10=0的一个近似解为x≈2.3．
故选C．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是看y值的变化．
9．D
【详解】∵，∴当，即时，开口向上，当时，，∵二次函数的图象经过四个象限，∴，即二次函数的图象与y轴的交点在负半轴，∴；当时，即时，开口向下，当时，，∵二次函数的图象经过四个象限，∴，即二次函数的图象与y轴的交点在正半轴，∴．综上所述，二次函数的图象经过四个象限，则m的取值范围是或．
10．A
【分析】由已知可得y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点为（m，0），（n，0），y＝（x﹣m）（x﹣n）与y＝x的两个交点为（a，a），（b，b）；分三种情况分析，当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴正半轴时；当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点分别在x轴正半轴和负半轴时；当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴负半轴时．结合图像进行分析可得答案．
【详解】解：y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点为（m，0），（n，0），
由（x﹣m）（x﹣n）﹣x＝0，

方程的两个根为：
则y＝（x﹣m）（x﹣n）与y＝x的两个交点为（a，a），（b，b），
如图1：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴正半轴时，（m，0），（n，0）在（a，a），（b，b）点的下方，
∴a＜m＜n＜b，
∴（a﹣m）（b﹣n）＜0，不符合；
如图2：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点分别在x轴正半轴和负半轴时，
此时m＜a＜n＜b，
∴（a﹣m）（b﹣n）＞0，
∴mn＜0；
如图3：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴负半轴时，
此时m＜a＜b＜n，
∴（a﹣m）（b﹣n）＜0，不符合题意；
综上所述：当（a﹣m）（b﹣n）＞0时，mn＜0，
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数与轴的交点坐标，二次函数与一次函数的交点坐标，掌握利用数学结合的方法解题是解题的关键．
11．B
【分析】作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P，连接PC，则△APC的周长的最小，根据抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系计算即可．
【详解】作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P，连接PC，则△APC的周长的最小，
由抛物线的对称性可知，点C′在抛物线上，
当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴点C′的纵坐标为2，
2=﹣x2+32x+2，
解得，x1=0，x2=3，
则点C′的横坐标为3，
﹣x2+32x+2=0，
x1=-1，x2=4，
则点A的坐标为（-1，0），
∴AC′==2，AC==，
∴△APC的周长的最小值是3，
故选B．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、正确利用轴对称作出点P是解题的关键．
12．A
【分析】根据抛物线与x轴交点的横坐标，即可得方程的解．
【详解】∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为与，
∴的两根为：，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，找出抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
13．0
【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（-1，0），由此求出a-b+c的值．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），对称轴是直线x=1，
∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（-1，0），
∴a-b+c=0．
故答案为0．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（-1，0）是解题的关键．
14．
【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向下，且与x轴无交点即可．
【详解】解：∵x取一切实数时，函数值y恒为负，
∴抛物线开口向下，且与x轴无交点，
∴a＜0，△=4-4a×c＜0，
∴解得：>1，
故答案为：a1
【点睛】此题考查抛物线与x轴有无交点的问题，解题关键是熟知：当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点．
15．6
【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，根据轴和y轴上点的坐标特征可求A，B的坐标，由于是直角三角形，根据直角三角形的面积计算公式即可求出结果．
【详解】解：令，则
解得：，
∴点的坐标为，
令x=0，则
∴点的坐标为，
∵点的坐标为，点B的坐标为，
∴，．
∴．
16．1.4
【详解】由题意得1.4＜x＜1.45时，-0.24＜y＜0.0025，二次函数y= x2＋2x－5与x轴必有一个交点在1.4到1.45之间，所以方程x2＋2x－5＝0必有一个实数根在1.4到1.45之间.这个根的近似值为1.4.
故答案为1.4.
17．5
【分析】由二次函数的图像与一次函数图像中的每一条都至多有一个公共点，根据判别式得，，进而可得，根据二次函数的性质求解即可
【详解】二次函数一次函数图像中至多有一个公共点，
由二次函数一次函数图像中至多有一个公共点，
即
解得或
，
则的最大值是5
故答案为：5
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，根据二次函数的性质求自变量范围，掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．（1）；（2）①见解析；②
【分析】（1）根据相依函数的定义求解；
（2）①利用顶点式求得二次函数的顶点坐标，然后利用一次函数图像上的点的坐标特点求解；②联立方程组求得，，然后求得m的值，设P点坐标为，过点P作PM⊥x轴，交AB于点M，然后利用三角形面积公式及二次函数的性质求最值
【详解】解：（1）
∴二次函数的相依函数表达式为：；
（2）①在中，
其顶点坐标为，
∴该二次函数的相依函数为：，
当时，，
∴该二次函数的顶点在其相依函数图像上。
②联立方程组得，解得，
∴，
又∵点到直线的距离为8
∴-3m+8=-2m，解得：m=8
∴
设P点坐标为
过点P作PM⊥x轴，交AB于点M
∴M点坐标为
∴PM=
∴
∴当x=时，S有最大值为1，即

【点睛】本题考查二次函数新定义题目的理解，掌握二次函数的性质、利用数形结合思想解题是关键．
19．（1），；（2）或
【分析】（1）方程的根是二次函数与x轴的交点的横坐标，可由已知直接得出答案．
（2）本题可根据图像观察当，即二次函数y值大于零时x的取值范围直接得出答案．
【详解】（1）∵方程的根是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，且两交点分别为，，
∴方程的根为，．
（2）∵不等式的解集是抛物线在x轴上方的图象对应的x的取值范围，
∴由图可知的解集为或．
【点睛】本题考查二次函数，涉及二次函数与一元二次方程根的关系，求解二次函数不等式时，图像观察法更为便捷，熟练掌握可提升解题效率．
20．的面积为3.
【分析】延长DC交x轴于E，利用S△BCD＝S△BED−S△BCE计算即可．
【详解】解：延长DC交x轴于E，
依题意，可得y＝−x2＋2x＋3＝−（x−1）2＋4，
∴顶点D（1，4），
令y＝0，可得x＝3或x＝−1，
∴B（3，0），
令x＝0，可得y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∴直线DC的解析式为y＝x＋3，
令y＝0，可得x＝-3，
∴E（-3，0），
BE＝6，
∴S△BCD＝S△BED−S△BCE＝=12-9=3．
∴△BCD的面积为3．
【点睛】此题考查二次函数图像与x轴，y轴交点的意义，二次函数顶点坐标与解析式之间的关系，二次函数对称轴的性质和特点，注意二次函数与一次函数以及三角形之间可能出现的出题点．
21．（1），；（2）＜＜；（3）
【分析】（1）把代入：，利用待定系数法求解，再求解点的坐标即可得到答案；
（2）由，可得抛物线的图像在轴的下方，结合图像可得的取值范围，从而可得答案；
（3）由关于抛物线的对称轴对称，可得与对称轴的交点满足最小，从而可得答案．
【详解】解：（1）把代入：，
，
解得：
所以抛物线的解析式为：，
由



（2） 抛物线与轴交于 ，
抛物线的图像在轴的下方，
结合图像可得：＜＜
（3）∵
∴对称轴是直线x=1． 如图，当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，
此时点P是对称轴与x轴的交点，即P（1，0）．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图像解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键．
22．（1）；（2）的值为4
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知条件可求出OB的解析式为，则向下平移m个单位长度后的解析式为：．由于抛物线与直线只有一个公共点，联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值．
【详解】（1）∵抛物线（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）
∴将A与B两点坐标代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），
得：4=4k1，解得：k1=1
∴直线OB的解析式为，
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：，
∵点D在抛物线上，
∴可设D（，），
又∵点D在直线上，
∴，即，
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴△，
解得：．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数（直线）的平移．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与直线的交点．
23．（1）直线x＝1，（0，－1）；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）将抛物线解析式转化为顶点式解析式，得到对称轴，当时，可解得抛物线与y轴的交点坐标；
（2）将y＝x－2代入二次函数解析式，得到关于x的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解题即可；
（3）将抛物线解析式转化为顶点式，得到对称轴为直线x＝1，根据抛物线的图象与性质解题即可．
【详解】解：（1）抛物线y＝ax2－2ax－1 ，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线y＝ax2－2ax－1中，当时，，
抛物线与y轴的交点坐标为：
故答案为：直线x＝1，；
（2）将y＝x－2代入二次函数解析式，得x－2 ＝ ax2－2ax－1，
则原方程可化为 ax2－（2a ＋1）x ＋1＝0，
由根的判别式可得
＝
∴直线y＝x－2与抛物线y＝ax2－2ax－1（a ＜ 0）一定存在两个交点；
（3）∵抛物线的开口向下，对称轴直线为x＝1，顶点坐标为，
∴当－2≤x≤2时，
∵y的最大值是1，
∴顶点坐标为（1， 1），
∴当x ＜ 1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵比离对称轴更远一些，
即x＝－2时，y有最小值，
∴最小值是，
即y的最小值是 .
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数与二次函数的交点问题，涉及二次函数的最值等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.
24．存在，或或或．
【详解】解：存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，
当时，函数表达式为，令，得不符合题意；
当时，在中，令，得，解得或，
∵，a是整数，∴当是6的因数时，是整数，
∴或或或或或或或，
解得或或或或或或或，∵a是整数，
∴或或或．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
D
C
B
D
C
D
A
题号
11
12








答案
B
A