2024-2025学年江西省南昌市高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省南昌市高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角（ ）
A. B. C. D.
2. 已知圆关于直线对称，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
3. 两条平行直线和间的距离为，则，分别为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 已知椭圆：的左，右焦点分别为，，若椭圆上一点Р到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知直线经过椭圆的右焦点F和上顶点A，则C的长轴长为（ ）
A 4B. C. 3D. 2
6. 已知直线：，则点到直线距离的最大值为（ ）
A. B. C. 5D. 10
7. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点A，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若，，点满足，则直线与点的轨迹的交点个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
B. 直线必过定点
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D. 过两点的所有直线的方程为
10. 已知直线，，则（ ）
A. 当时，直线一个方向向量为
B. 若与相互平行，则或
C 若，则
D. 若不经过第二象限，则
11. 已知直线：，圆C：，则下列结论正确的是（ ）
A. 与直线平行且与圆C相切的直线方程为
B. 点在直线上，过点作圆C的一条切线，切点为M，则的最小值为2
C. 点P在直线上，点Q在圆C上，则的最小值为
D. 若圆与圆C关于直线对称，则圆的方程为：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的顶点，则边上的中线所在的直线方程是_______________．
13. 椭圆标准方程为，焦点在轴上，焦距为，则__________．
14. 已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点的坐标分别是，，并且经过点；
（2）经过两点，.
16. 已知圆的圆心为，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相切，求直线的方程.
17. 如图，在三棱锥中，，分别是，的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
18. 已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍．
（1）动点的轨迹为曲线，求的方程；
（2）设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程．
19. 在平面直角坐标系中，给定直线：与直线：，定义点到这两条直线“折线距离”为或.其中表示点P到直线的距离，是点关于直线的镜像点（即过点作直线的垂线，垂足即为点），表示点到直线的距离.
（1）求点到直线与直线的“折线距离”；
（2）若动点满足，，且点到直线与直线的“折线距离”，证明：动点在某定直线上，并求出该定直线的方程
2024-2025学年江西省南昌市高二上学期10月月考数学学情检测试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】将直线方程化成斜截式，再根据斜率得到倾斜角.
【详解】化成斜截式为，所以直线斜率，直线倾斜角，且，则.
故选：D.
2. 已知圆关于直线对称，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【正确答案】C
【分析】由题得圆心在直线上，列方程求解即可.
【详解】由题得圆的圆心坐标为，
因为圆关于直线对称，
所以圆心在直线上，所以，解得.
故选：C
3. 两条平行直线和间的距离为，则，分别为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】B
【分析】根据两平行直线的公式计算即可.
【详解】因为直线和平行，
所以，所以，
所以两平行直线分别为和，
所以两平行线间的距离为.
故选：B.
4. 已知椭圆：左，右焦点分别为，，若椭圆上一点Р到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据点在椭圆上得，且，再利用两点距离求得，从而可确定的最大值与最小值，即可求得的值，即可得离心率的值.
【详解】设椭圆的半焦距为，若椭圆上一点，则，且，
又，，
则
由于，所以，
于是可得，，所以椭圆C的离心率.
故选：B.
5. 已知直线经过椭圆的右焦点F和上顶点A，则C的长轴长为（ ）
A. 4B. C. 3D. 2
【正确答案】A
【分析】根据倾斜角，结合椭圆的性质即可求解.
【详解】的斜率为，经过点1,0，故其倾斜角为，因此,
由于，所以，所以，
故，故长轴长为,
故选：A
6. 已知直线：，则点到直线距离的最大值为（ ）
A. B. C. 5D. 10
【正确答案】B
【分析】根据直线方程，可得直线过定点，即可求出结果.
【详解】直线：，即，
由，得到，所以直线过定点，
当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为，
故选：B.
7. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围．
【详解】根据题意得为恒过定点的直线，
由曲线，可得，
所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，

当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或，
把代入得，解得，
因直线与曲线恰有两个公共点，
由图可得，即的取值范围是．
故选：B．
8. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点A，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若，，点满足，则直线与点的轨迹的交点个数是（ ）
A 0B. 1C. 2D. 1或2
【正确答案】D
【分析】根据题意求出M的轨迹方程，发现直线l恒过圆上一点，即可得出答案.
【详解】设，则，
化简得点的轨迹方程为，表示的是以为圆心，2为半径的圆，
而直线恒经过圆上的点，故直线与点的轨迹的交点个数是1或2.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
B. 直线必过定点
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D. 过两点所有直线的方程为
【正确答案】AC
【分析】根据直线过原点时，满足题意，可判定A错误；根据直线系方程过定点，可判定B正确；根据时，此时直线的斜率不存在，可判定C错误；根据直线的方程，分类讨论，可判定D正确.
【详解】对于A中：当在两坐标轴上的截距相等且等于时，直线过原点，
可设直线方程为，又直线过点，则，即，
此时直线方程为，满足题意，所以A错误；
对于B中：直线可化为，由方程组，解得，
即直线必过定点，所以B正确；
对于C中，当倾斜角时，此时直线的斜率不存在，无意义，所以C错误；
对于D中，由两点，
当时，此时过两点的所有直线的方程为，即，
当时，此时过两点的所有直线的方程为或，适合上式，
所以过两点的所有直线的方程为，所以D正确.
故选：AC.
10. 已知直线，，则（ ）
A. 当时，直线的一个方向向量为
B. 若与相互平行，则或
C. 若，则
D. 若不经过第二象限，则
【正确答案】CD
【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将直线方程化简可得，结合一次函数的性质即可判断D.
【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，
，A错误；
对B，若与相互平行，则，解得或，
当时，与重合，B错误；
对C，若，则，解得，故C正确；
对D，若不经过第二象限，，即，
则，解得，D正确.
故选：CD
11. 已知直线：，圆C：，则下列结论正确的是（ ）
A. 与直线平行且与圆C相切的直线方程为
B. 点在直线上，过点作圆C的一条切线，切点为M，则的最小值为2
C. 点P在直线上，点Q在圆C上，则的最小值为
D. 若圆与圆C关于直线对称，则圆的方程为：
【正确答案】BD
【分析】运用直线与圆相切的条件即可判断选项A；根据切线长，将所求问题转化为求的最小值，进而利用点到直线的距离公式，即可判断选项B；要使PQ最小，只需最小即可，利用选项B即可判断选项C；利用点关于点的对称即可判断选项D.
【详解】对于选项A，因为直线：，
设与直线平行的直线为：，圆：，
圆心，因为直线圆C相切，
则圆心到直线的距离，
解得，所以与直线平行且与圆C相切的直线方程为，
所以A错误；
对于选项B，因为点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则，
所以在中，，
要使最小，只需最小，因为点在直线上，圆心，
则的最小值即为点到直线的距离，
即，，所以B正确；
对于选项C，点P在直线上，点Q在圆C上，圆心，要使PQ最小，
只需直线过圆心，则，只需最小，由选项B知，，
则，所以C错误；
对于选项D，圆与圆关于直线对称，则点与点关于对称，设，
因为直线斜率为，直线与直线垂直，则，
又的中点在直线上，
所以，解得，所以，
则圆的方程为：，所以D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的顶点，则边上的中线所在的直线方程是_______________．
【正确答案】
【分析】求出线段的中点坐标，用两点式求出直线方程，化为一般方程；
【详解】中点坐标为，即，
所以边上的中线所在的直线方程是：，
整理得.
故
13. 椭圆的标准方程为，焦点在轴上，焦距为，则__________．
【正确答案】16
【分析】利用椭圆的标准方程及焦距的定义即可求解.
【详解】椭圆的标准方程为，焦距为，焦点在轴上，
，
，
故16．
14. 已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为______.
【正确答案】
【分析】根据题意得出P的轨迹方程，结合图像即可求解.
【详解】
如图，连接，因为，与圆相切，
所以，
设，所以，
整理得，所以在以为圆心，3为半径的圆上运动，
，当且仅当在时等号成立，
所以答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点的坐标分别是，，并且经过点；
（2）经过两点，.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据题意求出即可；
（2）设椭圆的方程为，再利用待定系数法求解即可.
【小问1详解】
设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为，
则，且焦点在轴上，
，
所以，
所以椭圆方程为；
【小问2详解】
设椭圆的方程为，
则，解得，
所以椭圆方程为.
16. 已知圆的圆心为，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相切，求直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）或者
【分析】（1）由中点坐标公式得出两端点坐标，得到半径，写出圆的方程.
（2）切线方程先讨论直线斜率是否存在，斜率存在即可设出直线，用圆心到直线距离等于半径得到等量关系，从而计算出直线方程.
【小问1详解】
设圆的直径的两个端点分别为，，
∴为中点，则，则，
∴直径，∴，
故圆.
【小问2详解】
当斜率不存在时，直线：，显然不是切线，舍去；
当斜率存在时，设直线：，整理得：
圆心到直线距离，
∵直线时切线，∴
∴，解得：
∴直线：或者.
17. 如图，在三棱锥中，，分别是，的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）通过已知条件证明、，根据线面垂直的判定定理即可证明平面；
（2）取的中点，通过平行关系可知异面直线所成角为或其补角，根据余弦定理求解出的值，则异面直线所成角的余弦值可求.
【详解】（1）证明：连接，
∵，，∴.
∵，，∴.
在中，由已知可得：，，而，
∴，∴，即.
∵，∴平面；
（2）解：取的中点，连接，，，
由为的中点知，，
∴直线与直线所成的锐角就是异面直线与所成的角.
在中，，，
∵是斜边上的中线，
∴，∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
18. 已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍．
（1）动点的轨迹为曲线，求的方程；
（2）设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程．
【正确答案】（1）
（2），
【分析】（1）设动点的坐标为，根据题意列出方程，化简可得答案；
（2）分离参数，求出直线所过定点E，确定当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值，结合圆的弦长的求解，即可求得弦的长度，结合直线的垂直关系即可求得直线的方程．
【小问1详解】
设动点的坐标为，则由,
得，即，
即，
即的方程为；
【小问2详解】
直线，即，
由于，故令，解得，
即直线l过定点，设为，由于，故定点在圆内，
即直线l和圆相交，
当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值，
由于，故，圆半径为，
故的长度的最小值为.
又的斜率为，故此时直线l的斜率为3，
则直线l的方程为，即.
19. 在平面直角坐标系中，给定直线：与直线：，定义点到这两条直线的“折线距离”为或.其中表示点P到直线的距离，是点关于直线的镜像点（即过点作直线的垂线，垂足即为点），表示点到直线的距离.
（1）求点到直线与直线的“折线距离”；
（2）若动点满足，，且点到直线与直线的“折线距离”，证明：动点在某定直线上，并求出该定直线的方程.
【正确答案】（1）7 （2）,证明见解析
【分析】（1）先求得坐标，由点到线的距离公式即可求解；
（2）求得在上的镜像点，再结合即可求解.
【小问1详解】
设，由题意可得：解得：
所以
【小问2详解】
设在直线的镜像点，
由题意可得：解得：，
所以
又，
所以
所以，
所以动点在定直线上