2024-2025学年江西省上饶市高二上册10月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省上饶市高二上册10月月考数学检测试题（含解析），共25页。试卷主要包含了考查范围，考生必须保持答题卡的整洁， 若直线 则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章第一节.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点，，若直线的斜率为，则（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，若直线 的斜率分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知圆，圆，则圆，的位置关系为（ ）
A. 内切B. 外切C. 相交D. 外离
5. 已知点，且直线AB与直线CD垂直，则的值为（ ）
A. −7或0B. 0或7C. 0D. 7
6. 若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 在中，，已知点 ，，设点到直线的最大距离为，点到直线的最大距离为，则 （ ）
A B. C. D.
8. 已知F₁，F₂分别是椭圆 的左、右焦点，O是坐标原点，以F₁F₂ 为直径的圆与E在第一、二象限交于Q，P两点，PF₂与QF₁交于点M，记△PF₁M的面积为S△PF₁M，△QF₁F₂的面积为S△QF₁F₂，若， 则E 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若直线 则（ ）
A. 的截距式方程为 B.
C. 与之间的距离为1D. 与的倾斜角互补
10. 已知直线被圆心在坐标原点的圆O所截得的弦长为2，则（ ）
A. 圆O的方程是
B. 直线与圆相离
C. 过点的直线被圆所截得的弦的长度的最小值是
D. 已知点是直线上动点，过点作圆的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是2
11. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如下图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上、下顶点分别为，，左、右顶点分，，，，设C的离心率为e，则（ ）
A. 若，则
B. 四边形的面积与的面积之比为
C. 四边形的内切圆方程为
D. 设条形阴影部分的面积为，点形阴影部分的面积为，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 直线恒过定点________.
13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，若以，为焦点，且过点C的椭圆方程为则直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为________.
14. 若过点与圆 相切的两条直线的夹角为，则 _____
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在中，，边上高所在直线的方程为所在直线的方程为，点A的坐标为.

（1）求直线的方程;
（2）求点B的坐标及直线的方程.
16. 已知圆过，两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆切线，求切线方程.
17. 已知椭圆的上、下焦点分别为，，为坐标原点，是上一动点，，的周长为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：无论动点在上如何运动，恒为一个常数.
18. 已知圆 与圆 相外切.
（1）求圆的标准方程；
（2）若，求 的最小值；
（3）已知，P为圆上任意一点，试问在x轴上是否存在定点B（异于点A），使得 为定值? 若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由.
19. 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）.
（1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由；
（2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
（3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）.
2024-2025学年江西省上饶市高二上学期10月月考数学检测试题
试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章第一节.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点，，若直线的斜率为，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据斜率公式可知，即可得解.
【详解】若直线的斜率为，则，
所以，
故选：C.
2. 如图，若直线 的斜率分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可判断.
【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；
倾斜角为钝角时，斜率为负，倾斜角越大，倾斜程度越小，斜率越大，
所以
故选： A.
3. 已知点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据中点坐标公式算出的中点坐标为，且，从而得到所求圆的圆心和半径，可得圆的标准方程.
【详解】因为，
线段的中点为，，
所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，
所以线段为直径的圆的方程为.
故选：D.
4. 已知圆，圆，则圆，的位置关系为（ ）
A. 内切B. 外切C. 相交D. 外离
【正确答案】A
【分析】根据圆心之间的距离判断两圆位置关系.
【详解】圆可化为，
圆心为，半径；
圆可化为，
圆心为，半径，
则两圆心之间的距离，
所以，即两圆相内切，
故选：A.
5. 已知点，且直线AB与直线CD垂直，则的值为（ ）
A. −7或0B. 0或7C. 0D. 7
【正确答案】B
【分析】根据直线的斜率存在和不存在分类讨论，利用两直线垂直的性质，即可求解．
【详解】当时，直线AB的斜率不存在，直线 CD的斜率为
此时直线AB的方程为x=0，直线CD的方程为，故;
当时，
则 解得，
综上，或.
故选：B.
6. 若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】运用弦长结合垂径定理求出圆的半径即可.
【详解】如图，过点 C 作CD⊥AB 于D，依题意， 因为故|CD|=3，
从而，圆的半径为 故所求圆的方程为
即
故选：C
7. 在中，，已知点 ，，设点到直线的最大距离为，点到直线的最大距离为，则 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据正弦定理进行边角互化，可知点的轨迹及，，即可得解.
【详解】由已知，，则，
由，再由正弦定理可知，
所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为得椭圆，不含左、右顶点，
所以当且仅当点是椭圆的上、下顶点时，
点到直线的距离最大为，
当时，点到直线的距离最大为，
所以，
故选：D.
8. 已知F₁，F₂分别是椭圆 的左、右焦点，O是坐标原点，以F₁F₂ 为直径的圆与E在第一、二象限交于Q，P两点，PF₂与QF₁交于点M，记△PF₁M的面积为S△PF₁M，△QF₁F₂的面积为S△QF₁F₂，若， 则E 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】如图，根据圆与椭圆的对称性可知，点M在y轴上，转成 设 则运用三角形相似得到将线段长度用c表示，借助椭圆定义构造齐次方程，求出离心率即可.
【详解】如图，根据圆与椭圆的对称性可知，点M在y轴上，
若 则
设 则易得
所以 易知 QF₁⊥QF₂，则△QF₁F₂∽△OF₁M，
则 即 解得
且 解得
所以在中，由勾股定理得 所
以由椭圆的定义得 得 即
故E的离心率为
故选 ：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若直线 则（ ）
A. 的截距式方程为 B.
C. 与之间的距离为1D. 与的倾斜角互补
【正确答案】BCD
【分析】根据直线的截距式方程，直线平行的斜率结论，平行线之间的距离公式，斜率与倾斜角的关系逐个判断即可.
【详解】由 得 ，故的截距式方程为 故A 错误；
因为 与 的斜率都等于所以故B正确;
直线 化为一般方程是，则与之间的距离为故C正确；
因为的斜率，的斜率与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，故 D 正确.
故选： BCD.
10. 已知直线被圆心在坐标原点的圆O所截得的弦长为2，则（ ）
A. 圆O的方程是
B. 直线与圆相离
C. 过点的直线被圆所截得的弦的长度的最小值是
D. 已知点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是2
【正确答案】ABC
【分析】对于A，结合弦长，半径和弦心距的关系计算即可求；对于B，计算弦心距，与半径比较即可；对于C，根据垂径定理得弦的最小值是，计算即可；对于D，数形结合即可知四边形的面积，计算即可.
【详解】对于A，设圆的方程为，
因为直线与圆相交所得的弦长为2，
且圆心到直线的距离
所以
所以圆的方程为故A正确；
对于B，圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，故B正确；
对于C，因为圆的圆心是，半径，且，
可知点在圆内，
过点的直线被圆所截得的弦最短时，点是弦的中点，
根据垂径定理得弦的最小值是，故C正确；
对于D，因为四边形的面积，
如图，由数形分析可知：当时，取到最小值，
所以四边形面积的最小值为故D错误.
故选：ABC
11. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如下图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上、下顶点分别为，，左、右顶点分，，，，设C的离心率为e，则（ ）
A. 若，则
B. 四边形的面积与的面积之比为
C. 四边形的内切圆方程为
D. 设条形阴影部分的面积为，点形阴影部分的面积为，则
【正确答案】AB
【分析】利用两直线平行，得到、的比值即可判断A；根据题意分别求出四边形的面积与椭圆的面积，即可判断B；利用为直角三角形，在直角三角形中利用正弦值求出原点到四边形一条边的距离几即为半径，即可求解；根据 ，利用作差法即可判断D.
【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
对于A选项，若，则 即
所以，故A正确；
对于B选项，，又，
所以四边形的面积与椭圆的面积之比为
故B正确；
对于C选项，因为原点到四边形的四条边的距离都相等，
都等于即为四边形内切圆的半径，
所以四边形内切圆的方程为，
即，故C错误；
对于D项，由题意 ，
所以
所以 ，而，
所以，所以，故D错误.
故选：AB.
关键点点睛：本题关键在于利用，通过作差法比较大小.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线恒过定点________.
【正确答案】
【分析】分离参数，解方程组可得直线恒过定点.
【详解】直线可化，
令，解得 ，
所以直线恒过定点 ，
故答案为.
13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，若以，为焦点，且过点C的椭圆方程为则直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为________.
【正确答案】
【分析】先根据已知条件结合椭圆定义求出，再利用基本不等式即可求解.
【详解】设，，根据椭圆定义得 ，
所以 ，当且仅当时取等号，
所以直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为.
故
14. 若过点与圆 相切的两条直线的夹角为，则 _____
【正确答案】或
【分析】由圆的方程可确定圆心与半径，再结合三角函数值可得圆的半径，进而可得参数
【详解】
如图所示，
圆化为标准方程为，
圆心C0,1，半径，
过点与圆相切的两条直线的夹角为，
所以或，
又点到圆心0,1的距离为，则或，
即或，
解得或，
故或.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在中，，边上的高所在直线的方程为所在直线的方程为，点A的坐标为.

（1）求直线的方程;
（2）求点B的坐标及直线的方程.
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）由与互相垂直得到直线的斜率，再由点斜式得到直线方程；
（2）解方程组得到点，再由两直线垂直得到斜率关系，最后由点斜式得到直线方程；
【小问1详解】
由于所在直线的方程为，故的斜率为
因为与互相垂直，所以直线的斜率为
结合，可得的方程为即.
【小问2详解】
联立，解得，则点，
直线的斜率，因为与互相垂直，
所以直线的斜率为，
结合，可得方程为，即.
16. 已知圆过，两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线方程.
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）根据点，可知线段中垂线，圆心在中垂线上，联立两直线，可知点坐标，进而可得圆方程；
（2）当切线斜率不存在时直线方程为成立，当切线斜率存在时，设点斜式，根据点到直线距离，即可得解.
【小问1详解】
由已知，，
则其中点为，，
所以中垂线的斜率，
则中垂线为，所以点在上，
又点在直线，
联立，解得，即，
半径，
所以圆的方程为；
小问2详解】
由（1）得，，
当过点的切线斜率不存在时，直线为，与圆相切；
当过点的斜率存在时，设切线方程为，即，
圆心到切线的距离，
解得，
所以直线方程为，即，
综上所述，切线方程为或.
17. 已知椭圆的上、下焦点分别为，，为坐标原点，是上一动点，，的周长为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：无论动点在上如何运动，恒为一个常数.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的定义可得解；
（2）设点，结合向量线性运算及模长公式化简可得证.
【小问1详解】
由已知，则，即，
又的周长为，
则，，
则，
即椭圆方程为：；
【小问2详解】
由（1）可知，，
设，
则，，，
，
又，
即，
即，
所以无论动点在上如何运动，恒一个常数.
18. 已知圆 与圆 相外切.
（1）求圆的标准方程；
（2）若，求 的最小值；
（3）已知，P为圆上任意一点，试问在x轴上是否存在定点B（异于点A），使得 为定值? 若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由.
【正确答案】（1）
（2）
（3）存在定点B，B的坐标为.
【分析】（1）运用圆与圆的位置关系构造方程求出圆心即可
（2）将转化点到圆心 与圆心 的距离之和，结合点关于直线的对称知识画图求解即可；
（3）设，用式子表示，
分析得到取得定值即可.
【小问1详解】
圆心 圆心
因为圆 与圆 相外切，
所以 即 解得 或
因为，所以 舍去，故
故圆的标准方程为
【小问2详解】
若，则点在直线上，
则 表示点到圆心 与圆心 的距离之和，
设如图关于直线对称点，

则 得 ，则点
数形结合易知，到圆心 与圆心 的距离之和的最小值等于 即
【小问3详解】
假设存在定点B，设，
则

当 即时， 为定值，且定值 ，
故存在定点B，且B的坐标为.
19. 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）.
（1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由；
（2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
（3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）.
【正确答案】（1）这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为；
（2）证明见解析； （3）
【分析】（1）根据“相似椭圆”的定义判断即可；
（2）根据充要条件的定义及“相似椭圆”的定义证明即可；
（3）由题意可求得的面积为，再根据的面积与的面积的比为，求解即可.
【小问1详解】
解: 这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下：
椭圆中，
椭圆中，
，
则
所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似，
则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为
【小问2详解】
证明：必要性：
若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等.
如图，若，
则，
，
所以，
又因为
，
所以；
充分性：
若离心率相等，则，所以，
则，，
则；
同理，，，
则，
所以；
所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似，
所以两个椭圆是“相似椭圆”.
故两个椭圆是“相似椭圆”充要条件是离心率相等；
【小问3详解】
解：设椭圆的半焦距为，
因为椭圆的离心率为，椭圆与相似，
所以椭圆的离心率也为，
若的面积为，
又，，
所以的面积与的面积之比为，
所以的面积为
因为与的相似比为，
所以的面积与的面积的比为，
所以的面积为
关键点睛：解答本题的关键是理解“相似椭圆”的定义.