2024-2025学年河南省信阳市浉河区高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省信阳市浉河区高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知，，则（ ）
A B.
C. D.
2. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
3. 若，且，则的最小值为（ ）
A. 20B. 12C. 16D. 25
4. 已知是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，得到的图象，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知抛物线x2＝4y的焦点F是椭圆1（a＞b＞0）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若△FAB是等边三角形，则此椭圆的离心率为（ ）
A B. C. D.
二、多选题
9. 若复数z满足，则下列命题正确的有（ ）
A. z的虚部是B.
C. D. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限
10. 设为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）
A. 若与对立，则
B. 若与互斥，，则
C. 若，且，则与相互独立
D. 若与相互独立，，则
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 直线过定点
B. 过点作圆的切线，则的方程为
C. 若圆与圆有唯一公切线，则
D. 圆上存在两个点到直线的距离为2
12. 如图，双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交双曲线的右支于、两点，且，则（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 与面积之比为
C. 与周长之比为
D. 与内切圆半径之比为
三、填空题
13. 向量与共线且满足，则______.
14. 俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮”．但由于臭皮匠太“臭”，三个往往还顶不了一个诸葛亮．已知诸葛亮单独解出某道奥数题概率为0.8，每个臭皮匠单独解出该道奥数题的概率是0.3．试问，至少要几个臭皮匠能顶个诸葛亮？_____．
15. 已知四面体ABCD的顶点都在球О的表面上，平面平面BCD，，为等边三角形，且，则球O的表面积为_______.
16. 已知直线与椭圆C：交于A，B两点，弦BC平行y轴，交x轴于D，AD的延长线交椭圆于E，下列说法中正确的命题有______．
①椭圆C的离心率为：； ②；
③； ④以AE为直径的圆过点B．
四、解答题
17. 甲袋子中装有2个红球、1个白球，乙袋子中装有1个红球、2个白球（袋子不透明，球除颜色外完全一样）.
（1）现从甲、乙两个袋子中各任选1个球，求选出2个球的颜色相同的概率；
（2）从甲、乙两袋6个球中任选2个球，求选出的2个球来自同一袋子的概率.
18. 已知的内角的对边分别为，且，
（1）求的大小；
（2）若，求的面积．
19. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：．
（1）求的面积；
（2）若直线交于两点，求．
20. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21. 已知圆，直线.
（1）求证：对，直线与圆总有两个不同交点；
（2）若圆与直线相交于两点，求弦的中点的轨迹方程．
22. 已知抛物线上点到焦点的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）点在抛物线上，直线与抛物线交于两点（第一象限），过点作轴的垂线交于点，直线与直线、分别交于点（为坐标原点），且，证明：直线过定点
2024-2025学年河南省信阳市浉河区高二上学期10月月考数学学情
检测试题
一、单选题
1. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】直接进行交集的运算即可．
【详解】因为，，则.
故选:C.
本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算．
2. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】直接法求解抛物线的准线方程.
【详解】抛物线即，它的的准线方程为.
故选：A.
3. 若，且，则的最小值为（ ）
A. 20B. 12C. 16D. 25
【正确答案】D
【分析】利用，结合基本不等式可求和的最小值.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
4. 已知是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】借助向量模长与数量积的关系及夹角公式计算即可得.
【详解】，
，
则，
因为，所以，
即与的夹角是.
故选：B.
5. 函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，得到的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据函数图象的平移即可求解.
【详解】的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再把横坐标缩短为原来的一半，得到的图象
故选：A．
6. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先将变形为，再根据其几何意义数形结合转化为直线上动点到直线同侧两定点的距离之和，然后利用对称转化为异侧两点之间距离最短可求最小值.
【详解】设点为直线上的动点，
由，
则其几何意义为与的距离和与的距离之和，
设点，
则点关于直线的对称点为点，
故，且，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
7. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果.
【详解】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为2，则.
所以，又
所以.

故选：C.
8. 已知抛物线x2＝4y的焦点F是椭圆1（a＞b＞0）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若△FAB是等边三角形，则此椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由题意得抛物线的焦点及准线方程，所以可得椭圆的焦点，由于，关于轴对称，再由若是等边三角形得边长与高的关系，求出的坐标，代入椭圆求出离心率的值．
【详解】由题意得抛物线的焦点坐标，准线方程：，
所以椭圆的的，如图所示：
由题意设，
若是等边三角形，则，
即，
解得：，
而在椭圆上，
所以，，，
，
所以离心率，
故选：．
本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，考查等边三角形的性质，化简运算能力，属于中档题．
二、多选题
9. 若复数z满足，则下列命题正确的有（ ）
A. z的虚部是B.
C. D. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限
【正确答案】ABC
【分析】利用复数的四则运算求出，利用复数有关定义依次判断选项.
【详解】由，得，
所以的虚部是，故A正确；，故B正确；
则，故C正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为在第四象限，故D错误；
故选：ABC
10. 设为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）
A. 若与对立，则
B. 若与互斥，，则
C. 若，且，则与相互独立
D. 若与相互独立，，则
【正确答案】BD
【分析】根据互斥（或对立）事件概率的性质可判断AB的正误，根据独立事件的定义和性质可判断CD的正误.
【详解】对于A，若与对立，则，故A错误；
对于B，与互斥，则，故B正确；
对于C，因为，故，
故，故与不相互独立，故C错误；
对于D，因为，所以，
而与相互独立，故与相互独立，故，故D正确.
故选：BD.
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 直线过定点
B. 过点作圆的切线，则的方程为
C. 若圆与圆有唯一公切线，则
D. 圆上存在两个点到直线的距离为2
【正确答案】AD
【分析】根据当时，，得到直线过定点，即可判断A选项；过点作圆的切线，考虑斜率存在和不存在两种情况，当斜率不存在时切线方程为，即可判断B选项；根据圆和圆有唯一公切线得到两圆内切，然后根据内切列方程求解即可判断C选项；根据圆心到直线的距离得到直线与圆的位置关系，再结合圆上点到直线距离的最大值和最小值即可判断圆上有几个点到直线的距离为2，即可判断D选项.
【详解】直线，当时，，所以直线过定点，故A正确；
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为2，所以时圆的切线，故B错；
因圆和圆有唯一公切线，所以圆和圆内切，圆：，圆：，
所以，即，解得，故C错；
圆上的圆心到直线的距离，
所以圆上点到直线的距离的最大值为，最小值为，则直线与圆的位置关系如下图，
又因为，，所以圆上存在两个点到直线的距离为2，故D正确.
故选AD.
12. 如图，双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交双曲线的右支于、两点，且，则（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 与面积之比为
C. 与周长之比为
D. 与内切圆半径之比为
【正确答案】BD
【分析】设设，则，则，，在和中由余弦定理可得，即可得离心率可判断A；将代入可得，进而可得与周长可判断C；由可得与面积之比可判断C；由三角形的面积等于乘以三角形的周长再乘半径结合周长之比可得内切圆的半径之比，可判断D，进而可得正确选项.
【详解】设，，
由双曲线的定义可得：，，
在中，由余弦定理可得：，
即，所以，
在中，由余弦定理可得：，
即，所以，
所以，，整理可得，
所以该双曲线的离心率为，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，因为，代入可得，
所以，，，
的周长为，
，，
所以，的周长为，
所以，和的周长之比为，C错；
对于D选项，设和的内切圆半径分别为、，
则，解得，D对.
故选：BD.
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
三、填空题
13. 向量与共线且满足，则______.
【正确答案】
【分析】设向量，由解得可得答案.
【详解】设向量，因为，所以，
解得，所以.
故答案为.
14. 俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮”．但由于臭皮匠太“臭”，三个往往还顶不了一个诸葛亮．已知诸葛亮单独解出某道奥数题的概率为0.8，每个臭皮匠单独解出该道奥数题的概率是0.3．试问，至少要几个臭皮匠能顶个诸葛亮？_____．
【正确答案】5
【分析】分别计算3，4，5个臭皮匠都未解出的概率，再利用对立事件概率公式，即可求得结论．
【详解】解：当有3个臭皮匠，解出该道奥数题的概率：，
当有4个臭皮匠，解出该道奥数题的概率，
当有5个臭皮匠，解出该道奥数题的概率，
故至少要5个臭皮匠能顶个诸葛亮．
故5．
15. 已知四面体ABCD的顶点都在球О的表面上，平面平面BCD，，为等边三角形，且，则球O的表面积为_______.
【正确答案】##
【分析】取的中点为，连接，根据条件可得平面BCD，球心在上，然后在中根据勾股定理建立方程可求出球的半径.
【详解】
取的中点为，连接，因为为等边三角形，所以，
因为平面平面BCD，平面平面BCD，平面，
所以平面BCD，
因为，所以的外心为，球心在上，
设球的半径为，因为，，
所以在中，，即，解得，
所以球的表面积为，
故
16. 已知直线与椭圆C：交于A，B两点，弦BC平行y轴，交x轴于D，AD的延长线交椭圆于E，下列说法中正确的命题有______．
①椭圆C的离心率为：； ②；
③； ④以AE为直径的圆过点B．
【正确答案】②③④
【分析】根据椭圆的方程得到：，，即可求得椭圆的离心率；由椭圆的对称性知、关于原点对称，设，则，，结合斜率公式可以判断②；设，联立直线和椭圆，得到：，根据根与系数的关系和在直线上得到，即可判断③和④.
【详解】由题意得：，则，
所以椭圆的离心率，所以①错误；
又由椭圆的对称性知、关于原点对称，
设，则，，
由斜率公式得：，，
由题知
则，所以②正确；
由上得直线的方程为，设，则，
则，
联立直线和椭圆得：，
因为直线经过点，点在椭圆内，则，
所以，将其代入，又，
所以，
则，即，
所以以AE为直径的圆过点B，所以④正确；
又，所以③正确；
故②③④.
四、解答题
17 甲袋子中装有2个红球、1个白球，乙袋子中装有1个红球、2个白球（袋子不透明，球除颜色外完全一样）.
（1）现从甲、乙两个袋子中各任选1个球，求选出的2个球的颜色相同的概率；
（2）从甲、乙两袋6个球中任选2个球，求选出的2个球来自同一袋子的概率.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）直接由列举法求解古典概型概率即可；
（2）直接由列举法求解古典概型概率即可.
【小问1详解】
甲袋子中2个红球分别用A，B表示，白球用C表示，乙袋子中红球用D表示，2个白球分别用E，F表示.
从甲、乙两袋中各任选1个球的所有可能结果为，，，，，，，，，共9种，
从中选出的2个球的颜色相同的有，，，，共4种，
故选出的2个球的颜色相同的概率.
【小问2详解】
从6个球中任选2个球的所有可能结果为
，，，，，（B，C），，，，，，，，，，共15种，
从中选出2个球来自同一袋子的结果有，，，，，，共6种，
所以选出的2个球来自同一袋子的概率.
18. 已知的内角的对边分别为，且，
（1）求的大小；
（2）若，求的面积．
【正确答案】18.
19.
【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求大小；
（2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得边，用面积公式计算面积.
【小问1详解】
，可得
又
【小问2详解】
由正弦定理得，，
由余弦定理，,可得，，
联立方程组整理得，，所以或（舍）．
19. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：．
（1）求面积；
（2）若直线交于两点，求．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据椭圆方程和椭圆面积公式，即可求解；
（2）直线与椭圆方程来努力，利用弦长公式，即可求解.
【小问1详解】
椭圆的方程为，所以，，
则，，
所以椭圆的面积；
【小问2详解】
联立，得，
，，，
.
20. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）根据线面垂直的判定与性质可证得；由正方形性质知；由线面垂直的判定可证得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可求得结果.
【小问1详解】
四棱柱为直四棱柱，平面，
平面，，，
，，平面，平面，
平面，；
，，平行四边形为正方形，，
，平面，平面.
【小问2详解】
以坐标原点，正方向分别为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
轴平面，平面的一个法向量，
，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
21. 已知圆，直线.
（1）求证：对，直线与圆总有两个不同交点；
（2）若圆与直线相交于两点，求弦的中点的轨迹方程．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2），除去点.
【分析】（1）直线恒过定点，求出点到圆心的距离，并与圆的半径比较大小，即可得解；
（2）设中点的坐标为，在中，利用勾股定理可求得，再由直线的斜率存在，可排除圆心，从而得解．
【小问1详解】
直线经过定点D0,1，
点到圆心的距离等于1小于圆的半径，
故定点0,1在圆的内部，故直线与圆总有两个不同交点；
【小问2详解】
设中点的坐标为，则由直线和圆相交的性质可得.
由于定点D0,1､圆心､点构成直角三角形，
由勾股定理得，
，
∴，即，
由于直线的斜率一定存在，故排除圆上的点0,2.
此圆在圆的内部，
故点的轨迹方程为：，除去点0,2.
22. 已知抛物线上的点到焦点的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）点在抛物线上，直线与抛物线交于两点（第一象限），过点作轴的垂线交于点，直线与直线、分别交于点（为坐标原点），且，证明：直线过定点．
【正确答案】（1）
（2）0,2
【分析】（1）利用抛物线定义计算即可；
（2）设坐标及直线方程，含参表示坐标，由得出坐标的关系，联立抛物线根据韦达定理消元计算即可.
【小问1详解】
由题意可知抛物线准线方程为：，则，且，
解之得，即抛物线方程为；
【小问2详解】
依题意与抛物线于第一象限有两个交点，
故可设，
由（1）可知，即，所以，
则，
又，所以，
因为，故，
联立抛物线方程有，
则，显然过定点0,2.
思路点睛：第二问通过设点设线，由向量关系得出点的坐标关系，再联立抛物线根据韦达定理消元转化得出直线参数的关系即可