河南省信阳市浉河区信阳高级中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

河南省信阳高级中学2023-2024学年高二上期09月月考

数学试题

命题人：朱新风  审题人：熊成兵

考试时间：120分钟  试卷满分：150分

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数在复平面上对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

3．若不同直线，与平面，且满足，则“与异面”是“与相交”的（    ）

A．充分不必要条件  C．充要条件

B．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

4．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天．（参考数据：，）

A．9 B．15 C．25 D．35

5．已知直平行六面体中，，则直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆：上的点到点的轨迹的距离的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．5 D．

7．已知，函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知平面向量，满足，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的的2分，有选错的得0分）

9．2020年7月16日，国家统计局发布2020年上半年中国经济数据．数据显示，上半年，全国居民人均消费支出9718元，较2019年上半年全国人均消费支出10330元，下降约5.9%（不考虑价格因素），图1、图2分别为2019年上半年与2020年上半年居民人均消费支出构成，则下列说法正确的是（    ）

A．2020年上半年较2019年上半年人均生活用品及服务消费支出减少了

B．2019年上半年人均衣着消费支出和人均居集消费支出的总和超过了人均食品烟酒消费支出

C．2020年上半年较2019年上半年人均居住消费支出减少了

D．2020年上半年较2019年上半年人均教育文化娱乐消费支出比重降幅最大

10．已知直线，则（    ）

A．若，则的一个方向向量为 B．若，则或

C．若，则  D．若不经过第二象限，则

11．如图1，在中，是的中位线，沿将进行翻折，连接得到四棱锥（如图2），点为的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（    ）

A．当点与点重合时，三角形翻抓旋转所得的几何体的表面积为

B．四棱锥的体积的最大值为

C．若三角形为正三角形，则点到平面的距离为

D．若异面直线与所成角的余弦值为，则、两点间的距离为

12．已知，下列命题中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）

13．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为________．

14．已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为________．

15．在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，且该三棱柱的外接球表面积为若将此三棱柱掏空（保留表面，不计厚度）后放入一个球，则该球最大半径为________．

16．在中，，当取得最小值时，________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步㵵）

17．在中，内角的对边分别为，已知，且．

（1）求的大小；

（2）求的面积．

18．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）求样本成绩的第75百分位数；

（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．

19．已知满足

（1）求点的轨迹的方程，并说明轨迹的形状．

（2）若直线过定点与交于两点，且，求直线的方程．

20．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，为线段的中点

（1）证明：

（2）在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

21．在平面四边形中，如图所示．

（1）若，求线段长度的最大值；

（2）若，求四边形面积的最大值．

22．为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：

（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；

（2）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．

河南省信阳高级中学2023-2024学年高二上期09月月考

数学答案

1．D  2．C  3．C  4．D  5．A  6．A  7．B  8．C

9．ABD  10．ACD  11．ABD  12．ACD

13．2    14．    15．    16．

17．（1）因为，所以由正弦定理得，

因为，

所以，所以，

因为，所以，因为，所以

（2）由余弦定理得，，所以，

所以，解得，所以

18．（1）解：∵每组小矩形的面积之和为1，

∴，∴．

（2）解：成绩落在内的频率为，

落在内的频率为，

设第75百分位数为m，由，得，故第75百分位数为84；

（3）解：由图可知，成绩在的市民人数为，

成绩在的市民人数为，故．

设成绩在中10人的分数分别为，，，…，；

成绩在中20人的分数分别为，，，…，，

则由题意可得，，

所以，，

所以，

所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．

19．（1）令，则，故，

整理得，即M的轨迹C的方程为，

轨迹是以为圆心，2为半径的圆去掉与x轴的交点．

（2）由题设，若D是AB中点，连接CD，则，且，

所以，即C到直线l距离为1，

显然时满足C到直线l距离为1，且过；

若l的斜率存在，令l：，则，故，

所以，故l：；

综上，直线l为或．

20．（1）证明：作于M，由平面平面ABC，

且平面平面，得面ABC，∴．

∵，，，由勾股定理得，所以，

∴，，．

在直角三角形APM中，由勾股定理可得．

又．∴．

（2）在平面ABC内，过点M作，垂足为点M，以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

∴，，，，，

设，∴，．

设是平面ABP的法向量，

∴，取，得，

又．设直线AF与平面ABP所成的角为，

∴，

化简得，解得或．

当时，（F在线段BC上）；

当时，（F在线段CB的延长线上）

∴存在点F，使得直线AF与平面ABP所成角的正弦值为，且或1．

21．（1）设，，中，根据余弦定理可知，，

满足，所以，

设，，在和中，

，得，

则

，

，，

当，即时，函数取得最大值3．

所以AC的最大值为；

（2）在中，，

中，

两式相加得，则，

两边平方后得，①

根据余弦定理可知，，

即，得，

两边平方后，，②

式两边乘以4后得，  ③，

，即，

当时，的最大值为75，所以四边形ABCD的面积取得最大值为．

22．（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，

游戏一中取出一个球的样本空间为，则，

因为，所以，．所以游戏一获胜的概率为．

游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间，

则，因为，所以，

所以，所以游戏二获胜的概率为．

（2）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”，

由题意知，m的可能取值为3，4，5，6，7，8，9，

且，，

当时，若先玩游戏二再玩游戏三，

则，且AB，互斥，A，B，C相互独立，

∴

若先玩游戏三再玩游戏二，

则，且AC，互斥，A，B，C相互独立，

∴

此时，说明先玩游戏二再玩游戏三获得书券的概率更大，不符合题意．

同理，8，9也不符合题意．

当时，若先玩游戏二再玩游戏三，

则，且AB，互斥，A，B，C相互独立，

∴

若先玩游戏三再玩游戏二，

则，且AC，互斥，A，B，C相互独立，

∴

此时，说明先玩游戏三再玩游戏二获得书券的概率更大，符合题意．

同理，7也符合题意．

综上当，6，7时，先玩游戏三再玩游戏二获得书券的概率更大．