河南省信阳市浉河区2023-2024学年高二上学期期末数学（理）模拟试题（含答案）

这是一份河南省信阳市浉河区2023-2024学年高二上学期期末数学（理）模拟试题（含答案），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知向量，，使成立的x为（ ）
A．-6B．6C．D．
2．已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（ ）
A．-2B．-3C．-4D．-5
3．若函数在处的导数为2，则 ( )
A．2B．1C．D．6
4．已知等差数列的前n项和为，若且，则（ ）
A．6B．12C．27D．36
5．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
6．如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点，点G是棱的中点，则过线段AG且平行于平面的截而图形为（ ）
A．等腰梯形B．三角形C．正方形D．矩形
7．已知椭圆，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂线交椭圆于C、D两点，且ABCD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．圆D．抛物线
8．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是29，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，依此类推，求满足如下条件的最小整数且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是（ ）
A．440B．330C．220D．110
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量，若，则
B．若空间四个点，，则三点共线
C．已知向量，若，则为钝角
D．任意向量满足
10．已知等差数列的前n项和为，，，，的前n项和为则下列说法正确的是（ ）
A．数列的公差为2B．
C．数列是公比为4的等比数列D．
11．已知为正四棱柱，底面边长为2，高为4，，分别为，的中点.则下列说法正确的是（ ）
A．直线与平面所成角为
B．平面平面
C．正四棱柱的外接球半径为
D．以为球心，为半径的球与侧面的交线长为
12．下列不等关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．正弦曲线上一点，正弦曲线以点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是 .
14．正项等比数列中，存在两项、使得，且，则的最小值为
15．数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知，点为上一点，则的最小值为
.
16．在双曲线的右支上存在点A，使得点A与双曲线的左、右焦点形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足//．则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数．
1求的单调递增区间；
2若，求实数x的取值范围．
18．设抛物线C：y2 =2px（p>0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A、B，线段AB中点M的横坐标为2，且.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l（斜率存在）经过焦点F，求直线l的方程.
19．设数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
20．如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，底面ABCD，，，，.
(1)求证：平面PAC；
(2)E是侧棱PB上一点，记，是否存在实数，使平面ADE与平面PAD所成的二面角为60°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21．若函数是定义域D内的某个区间上的增函数，且在上是减函数，则称是上的“单反减函数”，已知
（1）判断在上是否是“单反减函数”；
（2）若是上的“单反减函数”，求实数的取值范围．
22．已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．
1．A
【分析】根据向量平行的坐标表示求解.
【详解】因为，则，
即，所以，所以.
故选：A
2．D
【详解】∵，∴，故选D．
3．B
【分析】直接根据题意利用导数的定义求解即可
【详解】由函数在处的导数为2，得，
所以，
故选：B
4．C
【分析】列方程组解得等差数列的首项与公差，即可求得.
【详解】设等差数列的首项公差为
则，解之得，则
故选：C
5．B
【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
6．A
【分析】利用平行作出截面图形，即可判断形状.
【详解】取BC中点H，连接AH，GH，，.如下图所示：
由题意得，.又平面，平面，
平面，同理平面.又，平面，平面平面，故过线段且与平面平行的截面为四边形，显然四边形为等腰梯形.
故选：A
7．B
【分析】首先根据，设出点坐标，再根据点在椭圆上，代入椭圆方程，求出点轨迹方程即可.
【详解】由题知，
故设，，
所以，
又因为，，
消去t可得：，
可知点轨迹为双曲线.
故选：B.
本题主要考查了判断点的轨迹方程，属于基础题.
8．A
【分析】直接利用数列前n项和公式建立等量关系，进一步求出结果.
【详解】根据题意知，数列分段给出，第段为首项为1，公比为2的项等比数列，
因此前段包含的项数为，
这些项的和为
，
化简得，
设所求数列的前N项包含完整的段和第段的前项，
则，且，
即，且，N取得最小整数，
则，
易知随着的变大而变大，
当时，，不合题意；
当时，，符合；
故选：A
9．AB
【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空间向量的基本定理与共线定理可判断B
【详解】对于A：因为，，则，故A正确；
对于B：因为，则，即，
又与有公共点，所以三点共线，故B正确；
对于C：，
若为钝角：则，且与不共线，
由得，
当时，，即，由与不共线得，
于是得当且时，为钝角，故C错误；
对于D：是的共线向量，而是的共线向量，故D错误，
故选：AB
10．AB
【分析】因为为等差数列，，，可得，从而可得A正确；
根据等差数列的求和公式，可得，从而可得B正确；
由题意可得，，从而可得C错误；
根据等比数列的求和公式可得D错误.
【详解】解：因为为等差数列，，，
所以公差，故A正确；
所以，
所以，故B正确；
又因为，
，
所以数列是公比为16的等比数列，故C错误；
因为数列是公比为16的等比数列，且，
所以，故D错误.
故选：AB.
11．BCD
【分析】对A选项找到即为线面夹角，即可判断；对B选项证明，则得到平面，同理得到平面，利用面面平行的判定定理则可证明；正四棱柱的体对角线即为外接球的直径，即可判断C；对D选项得到轨迹为圆弧，计算弧长即可.
【详解】解：对于A：由正四棱柱的结构特征可知，则为直线与平面所成角，
因为，所以直线与平面所成角不等于，故A错误；
对于B：由正四棱柱的结构特征可得，，，
则四边形为平行四边形，可得，
平面，平面，
平面，
同理可证平面，
又，且，平面，
平面平面，故B正确；
对于C：正四棱柱外接球的直径即为其体对角线，
所以其外接球的半径，故C正确；
对于D：点到侧面的距离为，易得交线轨迹与圆相关，设为球与侧面交线轨迹的半径，
，立体图如下图所示：
球与侧面的交线轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，平面图如下图所示：
故交线长为，故D正确；
故选：BCD
本题为立体几何综合题，考察了线面角，面面平行的判定，空间几何体的表面积与体积等知识，需要有一定的空间想象能力，对于一些常见的外接球模型要记住.
12．ABD
【分析】对于A，作差变形，借助对数函数单调性判断；对于C，利用基本不等式计算即可判断；对于B，D，根据不等式的性质及对数函数单调性判断作答.
【详解】对于A，，而函数在单调递增，
显然，则，A正确；
对于B，因为，所以，故，
因为，所以，故，所以，B正确；
对于C，因为，所以，C错误；
对于D，因为，所以，即，D正确.
故选：ABD
13．
【分析】由可得，直线的斜率为，即可求出答案.
【详解】由可得，
切线为直线的斜率为：
设直线的倾斜角，则且.
所以
故
本题考查求曲线上的切线的倾斜角的范围，属于中档题.
14．
【分析】利用通项公式得到，对m、n讨论，分别代入即可求解.
【详解】正项等比数列中，，所以，
因为，所以，解得：（舍去）.
因为存在两项、使得，所以，即，解得：（）.
所以时，；
时，；
时，.
所以的最小值为.
故答案为.
15．##
【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算用所求式子将表示为，再利用三角形的几何意义求解即可.
【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，
所以
因为，所以，的最小值为.
故
16．
【分析】先设出点，点A坐标，结合双曲线的定义和圆的切线性质求出内切圆圆心坐标；再根据重心坐标和//，得；利用三角形等面积法，得，；最后利用两点间距离公式得，即可计算出离心率.
【详解】
设内切圆的圆心坐标为，与边的切点记为点B，点A在第一象限，点A坐标为.
则点B坐标为.
点A在双曲线的右支上，为左、右焦点
，.
则的重心，即.
由圆的切线性质得.
又，，
，即.
又内切圆的半径为，
内切圆圆心坐标为.
//
， 即
又，
，.
则，解得.
所以双曲线的离心率为.
故
关键点点睛：本题主要考查双曲线的定义、和性质.解题关键在于对双曲线定义的掌握和灵活使用.难点在于内切圆圆心的确定、三角形等面积法和两点间距离公式的使用，综合性较强.
17．（1）见解析；（2）
【分析】（1）求导，根据导函数正负即可得到单调性；（2）将写成，再根据（1），利用函数的单调性求得实数的取值范围．
【详解】（1）由已知得的定义域为
函数
，
当时，
即在区间上单调递增
（2）函数
由（1）知在区间上单调递增，又，
可得
解得：或
故实数的取值范围为
本题考查利用求导的方法判断函数的单调性、利用单调性求解不等式问题，易错点在于求解不等式时，忽略了定义域的要求，导致求解的解集不准确.
18．(1)
(2)
【分析】（1）设出点的坐标，求出线段中点点的横坐标，再利用焦点弦求得p的值，即可求出抛物线C的标准方程；
（2）设出焦点的直线方程，与抛物线联立，利用根和系数的关系求出斜率，即可写出直线方程.
【详解】（1）解：由题意得：
设，
则线段中点点的横坐标
，解得
抛物线的标准方程为.
（2）由问题（1）可知抛物线的焦点坐标为
故设直线方程为
联立方程组为
解得
直线l的方程
19．（1）；（2）
【分析】（1）由递推公式可得，进而可得是以为公比、为首项的等比数列，根据等比数列的通项公式计算可得；
（2）由（1）可得，利用分组求和法与错位相减法计算可得．
【详解】解：（1），
，，
，
是以为公比、为首项的等比数列，
，
；
（2），
，
，
记，
，
，
，
故．
20．(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由底面ABCD，可得，在三角形ABC中，由余弦定理可得.再由线面垂直的判定可得平面PAC；
（2）以A为原点，分别以AD，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.求得，，，.设，由，得.求出平面ADE与平面ADP的一个法向量，结合题意可得.说明存在实数，使平面ADE与平面PAD所成的二面角为60°.
【详解】（1）证明：∵底面ABCD，∴，
在三角形ABC中，由，，，
得.
∴，即.
又，
∴平面PAC；
（2）解：以A为原点，分别以AD，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
∵，，，
∴，，，.
设，由，得.
∴，
∴，，.
则.
，，.
设平面ADE的一个法向量为，
由，取，得；
设平面ADP的一个法向量为，
由，
得，解得（舍）或.
∴存在实数，使平面ADE与平面PAD所成的二面角为60°.
21．（1）不是；（2）.
【详解】试题分析：（1）先判定的单调性，则利用导数判定的单调性即可；（2）根据定义，将函数的单调性转化为导函数恒为正或恒为负进行求解.
试题解析：1）由于，在上是增函数，且，
，时，，为增函数，
即在上不是“单反减函数”；
（2），，
是上的“单反减函数”，
在恒成立，
，即，
又在是减函数，
在恒成立，即在恒成立，
即在恒成立， 11分
令，则，
，解得，
综上所述．
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）1.
【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；
(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.
【详解】(Ⅰ)设椭圆方程为：，由题意可得：
，解得：，
故椭圆方程为.
(Ⅱ)[方法一]：
设，，直线的方程为：，
与椭圆方程联立可得：，
即：，
则.
直线MA的方程为：，
令可得：，
同理可得.
很明显，且，注意到，
，
而
，
故.
从而.
[方法二]【最优解】：几何含义法
①当直线l与x轴重合，不妨设，由平面几何知识得，所以．
②当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，所以．设，联立得．由题意知，所以．且．
由题意知直线的斜率存在．．
当时，
．
同理，．所以．
因为，所以．
【整体点评】方法一直接设直线的方程为：，联立方程消去y，利用韦达定理化简求解；方法二先对斜率为零的情况进行特例研究，在斜率不为零的情况下设直线方程为，联立方程消去x，直接利用韦达定理求得P,Q的纵坐标，运算更为简洁，应为最优解法.