新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练7-6 隐零点与极值点偏移问题 (培优课-精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc2736" 7-6 隐零点与极值点偏移问题 PAGEREF _Tc2736 \h 1
\l "_Tc14261" 一、分类题型 PAGEREF _Tc14261 \h 1
\l "_Tc747" 题型一 隐零点问题 PAGEREF _Tc747 \h 2
\l "_Tc2925" 题型二 极值点偏移问题 PAGEREF _Tc2925 \h 12
一、分类题型
题型一 隐零点问题
导函数的零点在很多时候是无法直接解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题．
已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
已知函数．
(1)若时，函数有2个极值点，求的取值范围；
(2)若，，方程有几个解？
已知函数.
(1)若，证明：存在唯一的极值点.
(2)若，求的取值范围.
已知函数．
(1)设，求在 上的最大值；
(2)当时，求证：．
已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)设，若，，都有，求实数的取值范围．
零点问题求解三步曲
(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围．
(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．
(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．
已知函数（k为常数，且）．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围．
已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论在上的单调性．
已知函数
(1)若，求的极小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，恒成立，求的最大整数值．
设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．
(1)求a的值；
(2)求的单调区间；
(3)若对成立，求b的取值范围．
已知函数．
(1)若，求的极小值．
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，证明：有且只有个零点．
题型二 极值点偏移问题
极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有构造对称函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色．
（2021·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求的取值范围，并证明：．
（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论的单调性和最值；
(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.
已知函数
（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；
（2）若函数有两个极值点，求证：
极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>((