新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练7-5 利用导数研究恒(能)成立问题 (精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc19212" 7-5 利用导数研究恒(能)成立问题 PAGEREF _Tc19212 \h 1
\l "_Tc10335" 一、分类题型 PAGEREF _Tc10335 \h 1
\l "_Tc29133" 题型一 分离参数求参数范围 PAGEREF _Tc29133 \h 2
\l "_Tc31165" 题型二 等价转化求参数范围 PAGEREF _Tc31165 \h 2
\l "_Tc23536" 题型三 双变量的恒(能)成立问题 PAGEREF _Tc23536 \h 3
\l "_Tc4929" 三、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc4929 \h 4
一、分类题型
题型一 分离参数求参数范围
（2022春·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知函数恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】当时，成立；当时，由已知可得，，
设，则.当时，有.
当时，有，所以在上单调递减；
当时，有，所以在上单调递增.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，所以，.
因为在时恒成立，所以；当时，由已知可得，，
则恒成立，所以在上单调递减.
要使在时恒成立，则应有.
因为，所以.综上所述，要使恒成立，
应有.故选：A.
【点睛】思路点睛：对的范围讨论，分离常数，构造函数，转化为求解函数的最值问题.求解导函数，根据导函数得出函数的单调区间以及最值，即可得出参数的取值范围.
（2023·河北·统考模拟预测）若，不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】因为，不等式等价于，
即，即
构造函数，则，在上单调递增，
所以，于是，则，
即，设，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，解得.故选：A.
（2023春·河北邯郸·高二统考期末）已知函数.
(1)若是增函数，求的取值范围；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
【解答】（1）的定义域为.
因为是增函数，所以在上恒成立.
即在上恒成立.
令函数，.
所以在上单调递增，则.
所以，故的取值范围为.
（2）由题意可得在上恒成立.
令函数，则.
当时，，
所以，此时在上单调递增，
故，符合题意.
当时，令函数，则.
所以在上单调递增..
当，即时，在上恒成立，
此时在上单调递增，故，符合题意.
当，即时，存在，使得当时，，
即在上单调递减，此时，不符合题意.
综上，的取值范围是.
【点睛】不等式恒成立求参数的取值范围方法点睛：
常规套路无非是分类讨论和分离参数.分类讨论是一定可行的，但却未必简单，这需要严密的逻辑，甚至耗费洪荒之力.分离参数的方法无需讨论，降低了难度，同时也会有一定的计算量.
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解法一，由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立
令，
则．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以
因为，，所以，
所以，即实数的取值范围为．
解法二，由在上恒成立，得在上恒成立．
令，，则满足即可
，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
因为，，所以，
所以，即实数的取值范围为．
（2023春·湖北武汉·高二统考期末）已知函数，时，，则实数的范围是__________.
【解答】由题可得对任意恒成立，
等价于对任意恒成立，
令，则，
令，则，
在单调递增，
，，
存在唯一零点，且，使得，
在单调递减，在单调递增，
，
，即，
令，显然在单调递增，则，即，
则，.
故答案为：
（2023春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是______.
【解答】函数，∴，
∵函数在上存在单调递增区间，，即有解，
令,,∴当时，，即可．
故答案为:
（2023·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则m的取值范围为______
【解答】存在，要使成立，即，，
令，，即，
又，设，，
则，则在内单调递增，
，则，在内单调递增，
，故m的取值范围为．
故答案为：.
题型二 等价转化求参数范围
已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝1处的切线与直线3x－y＝0平行，求a的值；
(2)若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】(1)f′(x)＝ex－1－a＋eq \f(1,x)，∴f′(1)＝2－a＝3，∴a＝－1，经检验a＝－1满足题意，∴a＝－1，
(2)f(x)≥ln x－a＋1可化为ex－1－ax＋a－1≥0，x>0，
令φ(x)＝ex－1－ax＋a－1，则当x∈[1，＋∞)时，φ(x)min≥0，∵φ′(x)＝ex－1－a，
①当a≤eq \f(1,e)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(1)＝1－a＋a－1＝0≥0恒成立，∴a≤eq \f(1,e)符合题意．
②当a>eq \f(1,e)时，令φ′(x)＝0，得x＝ln a＋1.当x∈(0，ln a＋1)时，φ′(x)0，∴φ(x)在(0，ln a＋1)上单调递减，
在(ln a＋1，＋∞)上单调递增．当ln a＋1≤1，即eq \f(1,e)1时，φ(x)在[1，ln a＋1)上单调递减，在(ln a＋1，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(ln a＋1)1不符合题意．
综上，实数a的取值范围为(－∞，1]．
根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．
（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知函数，．
(1)研究函数在区间上的单调性；
(2)若对于，恒有，求的取值范围．
【解答】（1）函数的定义域为．，
当时，，而，所以，
当时，，而，
所以．
所以当时，，即．
综上，在上单调递增．
（2）即，
设，
当时，结合（1）知，在上是增函数，则，
所以当时，不等式显然成立．
当时，，
令，则，
当时，，，所以，
所以为增函数，．
当时，，从而有，此时不等式恒成立．
当时，令，即，
由前面分析知，函数在上是增函数，
且，
．
故存在唯一的，使得．
当时，，为减函数且．
所以与恒成立矛盾．
综上所述，的取值范围为．
（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知函数.
(1)令，讨论的极值；
(2)若时，恒成立，求正实数a的取值范围.
【解答】（1），则，
若，则，此时无极值；
若，由得；由得；
则在上为减函数，在上为增函数，
故在处取极小值且极小值为，
综上，当时，无极值；
当时，有极小值为，无极大值.
（2）时，恒成立等价于恒成立，
设，则，
若，则，则为上的增函数，
故，故恒成立.
若，则当时，，
故在上为减函数，而，
故当时，成立，
这与题设矛盾，
故.
（2023春·重庆·高二校联考期末）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)设，其中，若恒成立，求的取值范围．
【解答】（1）的定义域为，，令，得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
故递减区间为，递增区间为.
（2），定义域为，
令，，所以在上单调递增，
而当趋向于1时，趋向负无穷；趋向正无穷时，趋向正无穷，故，
由恒成立，，得，
即，恒成立，
令，则，令，得，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
所以，所以，解得.
所以的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题第（2）小题关键是由恒成立，得恒成立，换元令可转化为恒成立，构造函数求出其最大值即可求解，可减少复杂的隐零点运算.
题型三 双变量的恒(能)成立问题
（2023春·湖南怀化·高二统考期末）已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，存在满足，证明.
【解答】（1）依题意得，，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）时，，，
令，得，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
，，，
因为存在满足，不妨设，
则其一个必要条件是，
由得，即，
令，，
则，两边取对数得，即，
要证，只要证，
，
故只要证，即，
设，则，
故只要证，即，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
即成立，从而原不等式得证.
【点睛】方法点睛：本题第二问关键是合理转化，将问题变为熟悉的极值点偏移问题，进而转化为证明对数均值不等式即可.
（2023春·天津静海·高二静海一中校考阶段练习）已知函数（是自然对数的底数）
(1)求在处的切线方程.
(2)存在成立，求a的取值范围.
(3)对任意的，存在，有，则的取值范围.
【解答】（1）由题意可得：，
则，
即切点坐标，切线斜率，
故在处的切线方程为，即.
（2）∵，则，
∴原题意等价于存在成立，
又∵，则，
∴，
故a的取值范围为.
（3）因为对任意的，存在，有，所以，
因为，所以，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
因为开口向下，对称轴为，则有：
①当，即时，在上单调递减，则，
所以，则，
故；
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，则，
所以，故；
③当，即时，在上单调递增，则，
所以，故；
综上所述：，即的取值范围.
“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转换有
(1)∀x1，x2∈D，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.
(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.
(3)∃x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
（2023·广西·校联考模拟预测）已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若有两个不同零点，证明：．
【解答】（1）当时，，
故，，
故在处的切线方程为，即.
（2）证明：不妨设，设，则，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
可知，也是的两个零点，且，，于是，
设，
因为．
设，
当时，，
故在单调递增，
所以，从而，
因此在单调递增．
又，故，故，于是．
又在单调递减，故
即，故
【点睛】关键点点睛：第一个关键点是从结论分析，由得，故构造函数；第二个关键点是能利用函数的最值得到，进而证明.
（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围．
【解答】（1），
曲线在点处的切线方程为，即.
（2），
则函数的定义域为，
若函数有两个极值点，且．
则方程的判别式，且，
．
．
设，
则在上恒成立．
故在单调递减，从而．
因此，的取值范围是．
（2023春·重庆南岸·高二重庆市广益中学校校考阶段练习）已知函数．
(1)若在单调递增，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．
【解答】（1）函数的定义域为，则，
若单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，
又在上单调递减，于是，
所以，
故实数a的取值范围为.
（2）证明：（），
则，
依题意可得，是方程的两个不同的根，
于是，，，即，
又，则，.
要证，
只需证，
即证，，
因为，所以，
从而，
令，，
则，
设，则，
令，解得：（舍去），
由，得，由，得，
于是在上单调递增，在上单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减，
而，，于是在上，，
因此在上单调递增，从而，
综上所述，，
所以原命题得证．
【点睛】方法点睛：破解含双参不等式证明题的3个关键点
（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.本题中得到，是方程的两个不同的根，根据韦达定理得到及，从而将原不等式转化为只的不等式；
（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.本题中构造函数，；
（3）再次利用导数研究函数的最值，即可证得结果.
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（浙江高考）设，若时，均有，则 ．
【解答】解：（1）时，代入题中不等式明显不成立．
（2），构造函数，，它们都过定点．
考查函数：令，得，，
；
考查函数，时均有，
过点，，代入得：，
解之得：，或（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是构造函数，利用函数的性质求解．
2．（2023•天津）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在处的切线斜率；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）证明：．
【解答】解：（Ⅰ）对函数求导，可得，
则曲线在处的切线斜率为（2）；
（Ⅱ）证明：当时，，即，即，
而 在上单调递增，
因此，原不等式得证；
（Ⅲ）证明：设数列的前项和，
则；
当时，，
由（2），，
故，不等式右边得证；
要证，只需证：对任意的，，
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
则，即，
则，
因此当时，，
当时，累加得
，
又，，
故，即得证．
【点评】本题考查导数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．
3．（2016•新课标Ⅲ）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设函数，当时，，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，
，，
，，
，
解得，
不等式的解集为．
（2），
，
，
，
当时，成立，
当时，，
，
解得，
的取值范围是，．
【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．
4．（2022•浙江模拟）已知函数的振幅为2，初相为，函数的图象关于轴对称．
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）函数，若恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知．
令．
的图象关于轴对称，
，
，
，
，，
，
函数的最小正周期，
令，
解得，
函数的单调递增区间为．
（Ⅱ），
令，
，，
恒成立等价于在上恒成立，
易知，
由函数在上单调递增可得：，
，
，
即的取值范围为．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，不等式的恒成立问题，属于中档题．
5．（2022•毕节市模拟）已知．
（Ⅰ）若，解不等式；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）化为，
当时，，
当时，，，
综上可得，解集为；
（Ⅱ）由题意得：恒成立，
恒成立，
上式化为恒成立，
即
由于，，
令，则，
上式化为：，
在，上为减函数，（3），
同理在，上为增函数，，
，
所以实数的取值范围是，．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
6．（2022•上饶一模）已知函数，．
（1）当时，解不等式；
（2）若在，时有解，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）时，函数，
所以不等式等价于或或，
解得或或，
所以不等式的解集为，；
（2）因为，时，所以函数，
又因为，
所以在，上的值域是，，
若在，时有解，则，
当时，，所以，解得；
当时，，所以，解得，
综上知，，
所以实数的取值范围是，．
【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了使不等式有解的应用问题，是中档题．
7．（2022•赤峰模拟）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）时，函数，
不等式等价于或，
解得，
所以不等式的解集为；
（2）对任意的，，不等式恒成立，等价于，
即，所以或，
所以或，
又因为，，所以或，
所以实数的取值范围是，，．
【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论与转化思想，是中档题．
8．（2022•临夏州一模）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）时，函数，
①当时，不等式可化为，解得，此时无解；
②当时，不等式可化为，解得，即；
③当时，不等式可化为，解得，即；
综上，不等式 的解集为，．
（2）因为，
①当时，，
②当时，，
③当时，，
因为在上单调递减，在，上单调递增，
所以，
又因为恒成立，所以，
即，解得，
所以的取值范围是．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想和转化思想，是中档题．
9．（2022•长丰县校级模拟）已知．
（1）解不等式；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【解答】（1）解：，
①当时，可化为，解得，无解；
②当时，可化为，解得，故；
③当时，可化为，解得，故；
综上所述，不等式的解集为，；
（2）关于的不等式在上恒成立，即，
，当且仅当，即时等号成立，
，
，解得，
故实数的取值范围为，．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
10．（2022•安康三模）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数，
所以不等式等价于或或，
解得或或，
所以不等式的解集为，；
（2）当时，恒成立，等价于或恒成立；
由，得，解得，
由，得，解得，
综上知，实数的取值范围是，．
【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了绝对值不等式的解法与不等式恒成立问题，是中档题．
11．（2022•河南模拟）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，
所以，即或或，
解得，
即不等式的解集是，；
（2）因为，
所以恒成立等价于恒成立，
当时，恒成立，所以符合题意；
当时，等价于，
即，解得或，
综上，的取值范围是，，．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
12．（2022•上海）．
（1）若将函数图像向下移后，图像经过，，求实数，的值．
（2）若且，求解不等式．
【解答】解：（1）因为函数，
将函数图像向下移后，得的图像，
由函数图像经过点和，
所以，
解得，．
（2）且时，不等式可化为，
等价于，
解得，
当时，，，解不等式得，
当时，，，解不等式得；
综上知，时，不等式的解集是，，
时，不等式的解集是，．
【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题．
13．（2022•通辽模拟）已知函数．
（1）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；
（2）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）有解，
，
当 时，，
，
当时，
，
，
当 时，
，
，
当 时，
，
，
综上，或，
即的取值范围是，，；
（2）恒成立，
由（1）知，
当时，，
，
，
或，
即的取值范围为，，．
【点评】本题考查了函数的有解和恒成立问题，属于中档题．
14．（2022•大兴区校级三模）设函数，．
（1）当时，求在点，处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）求证：当时，．
【解答】解：（1），，即切点．
，，则切线方程为：．
（2），恒成立等价于恒成立．
设，
，，为增函数，
，，为减函数，
所以，即．
（3）证明：等价于
设，
设，
所以在为增函数，即，
所以，
即在为增函数，即，
即证：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的切线方程及函数的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于中档题
15．（2022•海拉尔区校级四模）已知函数．
（1）当，时，求不等式的解集；
（2）当时，的最大值为，求的最小值．
【解答】解：（1）由于，，
则，
，
，
或或，解得，
故不等式的解集为，．
（2），
则在区间上函数为增函数，
在区间上函数为减函数，
故，即，
，当且仅当等号成立，
故的最小值为．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于中档题．
16．（2022•呼和浩特模拟）已知函数
（Ⅰ）当时，解不等式：；
（Ⅱ）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）时，，
由，得或或，解得，
所以不等式的解集为．
（Ⅱ）不等式对任意实数恒成立，
对任意实数恒成立，
，
当且仅当时等号成立，
所以，所以，
所以，解得或，
即，，．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，属于中档题．
17．（2022•爱民区校级三模）已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若，求的最小值．
【解答】解：（1）函数，
当时，，
时，不等式化为，解得；
时，不等式化为，解得，此时无解；
时，不等式化为，解得；
综上，不等式的解集为或；
（2）由，，
，
由，
设，
，
，当且仅当或时等号成立）；
的最小值为．
【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题．
18．（2022•叙州区校级模拟）已知函数．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若关于的不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：由得或或
解得或或，不等式的解集为．
（Ⅱ）由题意知，当，时，恒成立．
若，则，即恒成立，
此时，，故；
若，则，即恒成立，
此时，在，上的最小值为，
故．综上所述，的取值范围是，．
【点评】本题考查函数的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（2022•河南模拟）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，化为，
当时，不等式化为，解得，
当时，不等式化为，解得，
当时，不等式化为，解得，
综上所述，当时，不等式的解集为；
（2）由，得，即，
因为
（当且仅当时，等号成立），
又因为对任意的恒成立，所以，
当，即时，有，即，此不等式无解；
当，即时，有，即，解得，
综上所述，的取值范围为，即，．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，属于中档题．
20．（2022•陕西模拟）已知函数．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）即为，
当时，不等式等价于，解得；
当时，不等式等价于，即，无解；
当时，不等式等价于，解得；
综上，不等式的解集为，，；
（Ⅱ），易知，
要使不等式有解，则，即或，解得或，
实数的取值范围为，，．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．