新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练5-3 空间点、直线、平面之间的位置关系 (精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc15325" 5-3 空间点、直线、平面之间的位置关系 PAGEREF _Tc15325 \h 1
\l "_Tc31647" 一、主干知识 PAGEREF _Tc31647 \h 1
\l "_Tc10184" 考点1：平面 PAGEREF _Tc10184 \h 2
\l "_Tc9774" 考点2：“三个”推论 PAGEREF _Tc9774 \h 2
\l "_Tc4809" 考点3：空间中直线与直线的位置关系 PAGEREF _Tc4809 \h 2
\l "_Tc1093" 考点4：空间中直线与平面的位置关系 PAGEREF _Tc1093 \h 2
\l "_Tc32219" 考点5：空间中平面与平面的位置关系 PAGEREF _Tc32219 \h 2
\l "_Tc2856" 考点6：等角定理 PAGEREF _Tc2856 \h 2
\l "_Tc2182" 考点7：异面直线所成的角 PAGEREF _Tc2182 \h 2
\l "_Tc9804" 二、分类题型 PAGEREF _Tc9804 \h 4
\l "_Tc14924" 题型一 基本事实应用 PAGEREF _Tc14924 \h 4
\l "_Tc27010" 题型二 空间线面位置关系 PAGEREF _Tc27010 \h 5
\l "_Tc16556" 命题点1 空间位置关系的判断 PAGEREF _Tc16556 \h 5
\l "_Tc22909" 命题点2 异面直线所成角 PAGEREF _Tc22909 \h 5
\l "_Tc3599" 题型三 空间几何体的切割(截面)问题 PAGEREF _Tc3599 \h 6
\l "_Tc9589" 三、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc9589 \h 7
一、主干知识
考点1：平面
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
考点2：“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
考点3：空间中直线与直线的位置关系
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交直线，,平行直线，)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有, 公共点.))
考点4：空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
考点5：空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
考点6：等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
考点7：异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：．
二、分类题型
题型一 基本事实应用
（2023·全国·高一专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且．设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
（2023春·云南楚雄·高一统考期中）如图，在正四棱台中，E，F，G，H分别为棱，，AB，BC的中点．

(1)证明E，F，G，H四点共面；
(2)证明GE，FH，相交于一点．
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证：
(1)E､F､G､H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：

(1)，，，四点共面；
(2)直线，，相交于一点．
题型二 空间线面位置关系
命题点1 空间位置关系的判断
下列推断中，错误的是( )
A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是( )
A．直线MN与直线A1B是异面直线 B．直线MN与直线DD1相交
C．直线MN与直线AC1是异面直线 D．直线MN与直线A1C平行
命题点2 异面直线所成角
（2021·全国·统考高考真题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
如图，正方体中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与所成角的正切值为（ ）

A．B．C．D．
（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，则直线与所成角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．0
(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．
(2)求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
如图，在正方体中，是的中点，则异面直线和所成角的大小为 ．
（2023·高一单元测试）在正三棱柱中，D为棱AB的中点，与交于点E，若，则CD与所成角的余弦值为 ．
题型三 空间几何体的切割(截面)问题
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝eq \f(1,3)DD1，NB＝eq \f(1,3)BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
【解答】先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．
如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形．
(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•河南模拟）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，则过线段且垂直于平面的截面图形为
A．等腰梯形B．三角形C．正方形D．矩形
2．（2023•河南模拟）在正方体中，，分别为，的中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
3．（2023•洛阳模拟）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，的中点为，过点做与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为
A．B．C．D．
4．（2023•新乡三模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为
A．B．C．D．
5．（2023•新疆模拟）已知在直三棱柱中，，分别为，的中点，，，，，如图所示，若过、、三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面面积为
A．B．C．D．
6．（2023•金凤区校级三模）如图，在四棱锥中，底面，底面为长方形，，，为上一点，且，则异面直线与所成的角的余弦值为
A．B．C．D．
7．（2023•柯桥区模拟）“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，面，，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，则异面直线与所成角的正弦值为
A．B．C．D．
8．（2023•河南三模）已知三棱锥中，平面，，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
9．（2023•甘肃模拟）在直三棱柱中，，点，分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
10．（2023•定远县校级一模）如图，在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
11．（2023•安康一模）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
12．（2023•台州二模）已知菱形的边长为3，对角线长为5，将沿着对角线翻折至△，使得线段长为3，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
13．（2023•新余二模）在长方体中，，，点、分别是棱、的中点，、、平面，直线平面，则直线与直线所成角的余弦值为
A．B．C．D．
14．（2023•陕西模拟）在正方体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
15．（2023•梅河口市校级一模）直三棱柱如图所示，，，，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为
A．B．C．D．
16．（2023•贵州模拟）如图，圆柱的底面直径与母线相等，是弧的中点，则与所成的角为
A．B．C．D．
17．（2023•河南模拟）在正三棱柱中，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
18．（多选）（2023•合肥三模）下列命题正确的有
A．空间中两两相交的三条直线一定共面
B．已知不重合的两个平面，，则存在直线，，使得，为异面直线
C．过平面外一定点，有且只有一个平面与平行
D．已知空间中有两个角，，若直线直线，直线直线，则或
19．（2023•咸宁模拟）已知正方体的棱长为2，点为的中点，平面，平面过点，则平面截正方体所得截面图形的面积为 ．