第2章《相交线与平行线》单元复习卷 2024--2025学年北师大版七年级数学下册

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北师大版七年级下册第2章《相交线与平行线》单元复习卷一．选择题（共8小题）1．下列说法中不正确的是（　　）A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．两点确定一条直线 C．小于平角的角可分为锐角和钝角两类 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2．在同一平面内，下列说法正确的是（　　）A．两直线的位置关系是平行、垂直和相交 B．不平行的两条直线一定互相垂直 C．不垂直的两条直线一定互相平行 D．不相交的两条直线一定互相平行3．我们学过用三角尺和直尺画平行线的方法，按如图方式画出的两条直线l1，l2一定平行，其判定依据是（　　）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等4．如图，直线AB和CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠EOC＝35°，则∠AOD的度数为（　　）A．115° B．125° C．135° D．140°5．已知，如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝（　　）A．150° B．30° C．120° D．60°6．如图，OA⊥OB，∠BOC＝48°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是（　　）A．21° B．30° C．45° D．69°7．下列命题中真命题的个数有（　　）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③对顶角相等④同位角相等⑤垂线段最短A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．如图所示，直线l1∥l2，∠1＝150°，∠2＝60°，则∠3为（　　）A．60° B．70° C．80° D．90°二．填空题（共6小题）9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，则以下命题不正确的是 　 　①BC+AD＝AB；②E为CD中点；③∠AEB＝90°；④S△ABE=12S四边形ABCD；⑤BC＝CE．10．如图，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，则∠BOC＝　 　．11．如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则∠1＝　 　°．12．如图，请你添加一个条件　 　，使AB∥CD．13．如图，已知AB∥DE，∠B＝130°，∠D＝75°，则∠C的度数是 　 　．14．如图，已知AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝　 　，∠3＝　 　，∠4＝　 　．三．解答题（共8小题）15．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例．（1）直角都相等；（2）如果a+b＝0，那么a＝0，b＝0；16．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．在三角形ABC内有一点P．（1）在AB上找一点D，使得CD是点C到AB的最短距离；（2）过P作直线a∥AB，作直线b∥AC；并直接写出直线a与b所夹的角与∠A有怎样的大小关系？17．如图，已知AB∥CD，∠1+∠3＝90°，BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE，试说明AB∥EF的理由．解：∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠2（ 　 　）．∵∠1+∠3＝90°（已知），∴∠2+∠3＝90°（ 　 　）．即∠BCF＝90°．∵　 　＝180°（三角形内角和等于180°），∴　 　＝90°（等式性质）．∵BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE（已知），∴　 　（ 　 　）．∴∠ABF+∠BFE＝180°（ 　 　）．∴AB∥FE（ 　 　）．18．如图，点C、D、E在同一条直线上，AD⊥BE于点F，BC⊥BE，∠A＝∠C．求证：AB∥CD．19．已知：如图，∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B．试说明AB∥EF的理由．20．如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，DE与FG相交于点H，∠C+∠BFG＝180°，∠1＝∠2．（1）求证：∠C+∠CGF＝180°；（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；（3）若∠EHG＝100°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．21．如图，已知AB∥CD，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．（1）若∠1＝50°，求∠2的度数；（2）若EH平分∠AEF，判断EH，FG是否平行，并说明理由．22．如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝　 　．（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由．（3）利用（2）的结论解答：①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由．②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B（用含β的代数式表示）．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列说法中不正确的是（　　）A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．两点确定一条直线 C．小于平角的角可分为锐角和钝角两类 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【分析】根据线段、射线和角的概念，对选项一一分析，选择正确答案．【解答】解：A、两点之间的所有连线中，线段最短，正确；B、两点确定一条直线，正确；C、小于平角的角可分为锐角、钝角，还应包含直角，错误；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；故选：C．2．在同一平面内，下列说法正确的是（　　）A．两直线的位置关系是平行、垂直和相交 B．不平行的两条直线一定互相垂直 C．不垂直的两条直线一定互相平行 D．不相交的两条直线一定互相平行【分析】在同一平面内，两直线的位置关系有2种：平行、相交，根据以上结论判断即可．【解答】解：A、∵在同一平面内，两直线的位置关系是平行、相交，2种，∴在同一平面内，两直线的位置关系是平行、相交（相交不一定垂直），故本选项错误；B、在同一平面内，不平行的两条直线一定相交，故本选项错误；C、在同一平面内，不垂直的两直线可能平行，可能相交，故本选项错误；D、在同一平面内，不相交的两条直线一定平行，故本选项正确；故选：D．3．我们学过用三角尺和直尺画平行线的方法，按如图方式画出的两条直线l1，l2一定平行，其判定依据是（　　）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等【分析】根据同位角相等，两直线平行，即可解决问题．【解答】解：∵同位角相等，两直线平行，∴两条直线l1，l2一定平行．故选：A．4．如图，直线AB和CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠EOC＝35°，则∠AOD的度数为（　　）A．115° B．125° C．135° D．140°【分析】由EO⊥AB可确定∠AOE的度数，由∠EOC＝35°可确定∠AOE的度数，再由补角的概念可确定∠AOD的度数．【解答】解：∵EO⊥AB，∴∠AOE＝90°，又∵∠EOC＝35°，∴∠AOC＝90°﹣35°＝55°，∴∠AOD＝180°﹣55°＝125°，故选：B．5．已知，如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝（　　）A．150° B．30° C．120° D．60°【分析】先根据平行线及角平分线的定义求出∠CDB＝∠CBD，再根据平角的定义求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质求出∠C的度数即可．【解答】解：∵直线AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD，∵∠CDB＝180°﹣∠CDE＝30°，∴∠ABD＝30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝60°，∵AB∥CD，∴∠C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°．故选：C．6．如图，OA⊥OB，∠BOC＝48°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是（　　）A．21° B．30° C．45° D．69°【分析】根据题意：因为OD平分∠AOC，可以先求∠AOC，再求∠COD，利用角的和差关系求∠BOD的度数．【解答】解：∵OA⊥OB，∠BOC＝48°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝138°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC÷2＝69°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝21°．故选：A．7．下列命题中真命题的个数有（　　）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③对顶角相等④同位角相等⑤垂线段最短A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据平行线的判定及性质、垂线的性质、对顶角的性质、平行线公理等知识逐项判定即可．【解答】解：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题为假命题；②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题；③对顶角相等，为真命题；④两直线平行，同位角相等，故原命题为假命题；⑤垂线段最短，为真命题；故选：A．8．如图所示，直线l1∥l2，∠1＝150°，∠2＝60°，则∠3为（　　）A．60° B．70° C．80° D．90°【分析】先根据平行线的性质求出∠4的度数，再由三角形外角的性质得出∠5的度数，根据对顶角相等即可得出结论．【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝150°，∴∠4＝∠1＝150°，∵∠2＝60°，∴∠5＝∠4﹣∠2＝150°﹣60°＝90°，∴∠3＝∠5＝90°．故选：D．二．填空题（共6小题）9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，则以下命题不正确的是 　⑤　①BC+AD＝AB；②E为CD中点；③∠AEB＝90°；④S△ABE=12S四边形ABCD；⑤BC＝CE．【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠BAD＝180°，又BE、AE都是角平分线，可以推出∠ABE+∠BAE＝90°，从而得到∠AEB＝90°，然后延长AE交BC的延长线于点F，先证明△ABE与△FBE全等，再根据全等三角形对应边相等得到AE＝EF，然后证明△AED与△FEC全等，从而可以证明①②③④正确，AB与CD不一定相等，所以⑤不正确．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，∴∠BAE=12∠BAD，∠ABE=12∠ABC，∴∠BAE+∠ABE=12（∠BAD+∠ABC）＝90°，∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°，故③小题正确；延长AE交BC延长线于F，∵∠AEB＝90°，∴BE⊥AF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，在△ABE与△FBE中，∠ABE=∠FBEBE=BE∠AEB=∠FEB=90°，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AB＝BF，AE＝FE，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠F，在△ADE与△FCE中，∠EAD=∠FAE=FE∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴AD＝CF，∴AB＝BC+CF＝BC+AD，故①小题正确；∵△ADE≌△FCE，∴CE＝DE，即点E为CD的中点，故②小题正确；∵△ADE≌△FCE，∴S△ADE＝S△FCE，∴S四边形ABCD＝S△ABF，∵S△ABE=12S△ABF，∴S△ABE=12S四边形ABCD，故④小题正确；若AD＝BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC＝CE，∵BD与BC不一定相等，∴BC与CE不一定相等，故⑤小题错误．综上所述，不正确的有⑤共1个．故答案为：⑤．10．如图，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，则∠BOC＝　36°　．【分析】根据垂直的定义知∠AOB＝∠COD＝90°，然后由周角的定义即可求得∠BOC的度数．【解答】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，∴∠AOB＝∠COD＝90°；又∵∠AOD+∠AOB+∠BOC+∠COD＝360°，∠AOD＝144°，∴∠BOC＝36°；故答案为：36°．11．如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则∠1＝　78　°．【分析】根据题意结合图形，求出所求角度数即可．【解答】解：根据题意得：∠1＝138°﹣60°＝78°，故答案为：7812．如图，请你添加一个条件　∠1＝∠5　，使AB∥CD．【分析】根据平行线的判定进行解答，可以考虑同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补．【解答】解：添加∠1＝∠5∵∠1＝∠5，∴AB∥CD．故答案为：∠1＝∠513．如图，已知AB∥DE，∠B＝130°，∠D＝75°，则∠C的度数是 　25°　．【分析】如图，延长AB交DC于点F．由AB∥DE，∠D＝75°，得∠DFB＝∠D＝75°．那么，∠CFB＝105°．由外角的性质，得∠ABC＝∠CFB+∠C，故∠C＝∠ABC﹣∠CFB＝130°﹣105°＝25°．【解答】解：如图，延长AB交DC于点F．∵AB∥DE，∠D＝75°，∴∠DFB＝∠D＝75°．又∵∠CFB+∠DFB＝180°，∴∠CFB＝180°﹣∠DFB＝105°．又∵∠ABC＝∠CFB+∠C，∠ABC＝130°，∴∠C＝∠ABC﹣∠CFB＝130°﹣105°＝25°．故答案为：25°14．如图，已知AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝　70°　，∠3＝　70°　，∠4＝　110°　．【分析】根据对顶角相等求出∠2的度数，再根据AB∥CD，可求出∠3的度数，再由补角的定义求出∠4的度数即可．【解答】解：∵∠1与∠2是对顶角，∠1＝70°，∴∠2＝∠1＝70°，∵AB∥CD，∴∠3＝∠1＝70°，∵∠3+∠4＝180°，∴∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°．故答案为：70°，70°，110°．三．解答题（共8小题）15．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例．（1）直角都相等；（2）如果a+b＝0，那么a＝0，b＝0；【分析】（1）根据直角的概念判断；（2）根据相反数的概念解答．【解答】解：（1）直角都相等是真命题；（2）如果a+b＝0，那么a＝0，b＝0是假命题，例如：当a＝2，b＝﹣2时，a+b＝0，则如果a+b＝0，那么a＝0，b＝0是假命题．16．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．在三角形ABC内有一点P．（1）在AB上找一点D，使得CD是点C到AB的最短距离；（2）过P作直线a∥AB，作直线b∥AC；并直接写出直线a与b所夹的角与∠A有怎样的大小关系？【分析】（1）根据点到直线的距离及垂线段最短可过C点作AB的垂线；（2）根据题意画出图形，再利用平行线的性质可求解直线a与b所夹的角与∠A的大小关系．【解答】解：（1）过C点作CD⊥AB，垂足为D，如图所示：（2）如图所示：直线a与b所夹的角与∠A相等或互补．∵直线a∥AB，∴∠1＝∠2，∵直线b∥AC，∴∠1＝∠A，∴∠2＝∠A，∵∠3+∠2＝180°，∴∠3+∠A＝180°，故直线a与b所夹的角与∠A相等或互补．17．如图，已知AB∥CD，∠1+∠3＝90°，BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE，试说明AB∥EF的理由．解：∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠2（ 　两直线平行，内错角相等　）．∵∠1+∠3＝90°（已知），∴∠2+∠3＝90°（ 　等量代换　）．即∠BCF＝90°．∵　∠BCF+∠4+∠5　＝180°（三角形内角和等于180°），∴　∠4+∠5　＝90°（等式性质）．∵BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE（已知），∴　∠ABF＝2∠5，∠BFE＝2∠4　（ 　角平分线的定义　）．∴∠ABF+∠BFE＝180°（ 　等式的性质　）．∴AB∥FE（ 　同旁内角互补，两直线平行　）．【分析】根据平行线的性质结合三角形的内角和定理可求解∠4+∠5＝90°，由角平分线的定义可求得∠ABF+∠BFE＝180°，进而可证明结论．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．∵∠1+∠3＝90°（已知），∴∠2+∠3＝90°（等量代换）．即∠BCF＝90°．∵∠BCF+∠4+∠5＝180°（三角形内角和等于180°），∴∠4+∠5＝90°（等式性质）．∵BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE（已知），∴∠ABF＝2∠5，∠BFE＝2∠4（角平分线的定义）．∴∠ABF+∠BFE＝180°（等式的性质）．∴AB∥FE（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为两直线平行，内错角相等；等量代换；∠BCF+∠4+∠5；∠4+∠5；∠ABF＝2∠5，∠BFE＝2∠4；角平分线的定义；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行．18．如图，点C、D、E在同一条直线上，AD⊥BE于点F，BC⊥BE，∠A＝∠C．求证：AB∥CD．【分析】根据AD⊥BE，BC⊥BE，可以得到AD∥BC，从而可以根据平行线的性质得到∠ADE＝∠C，再根据∠A＝∠C，即可得到∠ADE＝∠A，从而可以得到AB∥CD．【解答】证明：∵AD⊥BE，BC⊥BE，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠C，∵∠A＝∠C，∴∠ADE＝∠A，∴AB∥CD．19．已知：如图，∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B．试说明AB∥EF的理由．【分析】由∠AED＝∠C，根据平行线的判定定理得到DE∥BC，根据平行线的性质得到∠B＝∠ADE，又∠DEF＝∠B，等量代换得出∠ADE＝∠DEF，根据平行线的判定即可得到结论．【解答】证明：∵∠AED＝∠C，∴DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，又∠DEF＝∠B，∴∠ADE＝∠DEF，∴AB∥EF．20．如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，DE与FG相交于点H，∠C+∠BFG＝180°，∠1＝∠2．（1）求证：∠C+∠CGF＝180°；（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；（3）若∠EHG＝100°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．【分析】（1）依据同位角相等，即可得到两直线平行，再根据平行线的性质可得答案；（2）依据平行线的性质，可得出∠3+∠BFG＝180°，进而判定AB∥CD，即可得出∠AED+∠D＝180°；（3）依据已知条件求得∠1的度数，进而利用平行线的性质得出∠BED的度数，即可得出∠BEC的度数，依据对顶角相等即可得到∠AEM的度数．【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∴CE∥GF，∴∠C+∠CGF＝180°；（2）解：∠AED+∠D＝180°；理由：∵CE∥GF，∴∠C＝∠3，∵∠C+∠BFG＝180°，∴∠3+∠BFG＝180°，∴AB∥CD，∴∠AED+∠D＝180°；（3）解：∵CE∥GF，∴∠1+∠EHG＝180°，∵∠EHG＝100°，∴∠1＝180°﹣∠EHG＝180°﹣100°＝80°，∵AB∥CD，∠D＝30°，∴∠BED＝∠D＝30°，∴∠BEC＝∠1+∠BED＝80°+30°＝110°，∴∠AEM＝∠BEC＝110°．21．如图，已知AB∥CD，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．（1）若∠1＝50°，求∠2的度数；（2）若EH平分∠AEF，判断EH，FG是否平行，并说明理由．【分析】（1）依据平行线的性质得到∠BEF+∠EFD＝180°，根据角平分线的定义得到∠1+∠2=12×（∠BEF+∠EFD）＝90°，据此即可得解；（2）EH∥FG，理由：依据平行线的性质得到∠AEF＝∠EFD，根据角平分线的定义得出∠EFG＝∠HEF，即可判定EH∥FG．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，∴∠1=12∠BEF，∠2=12∠EFD，∴∠1+∠2=12×（∠BEF+∠EFD）＝90°，∵∠1＝50°，∴∠2＝40°；（2）EH∥FG，理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFD，∵FG平分∠EFD，EH平分∠AEF，∴∠EFG=12∠EFD，∠HEF=12∠AEF，∴∠EFG＝∠HEF，∴EH∥FG．22．如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝　110°　．（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由．（3）利用（2）的结论解答：①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由．②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B（用含β的代数式表示）．【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM＝∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB＝∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；（2）结论：∠APB＝∠DAP+∠FBP．（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答；②根据①的规律可得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．【解答】（1）证明：过P作PM∥CD，∴∠APM＝∠DAP．（两直线平行，内错角相等），∵CD∥EF（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠MPB＝∠FBP．（两直线平行，内错角相等），∴∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP．（等式性质）即∠APB＝∠DAP+∠FBP＝40°+70°＝110°．（2）结论：∠APB＝∠DAP+∠FBP．理由：见（1）中证明．（3）①结论：∠P＝2∠P1；理由：由（2）可知：∠P＝∠DAP+∠FBP，∠P1＝∠DAP1+∠FBP1，∵∠DAP＝2∠DAP1，∠FBP＝2∠FBP1，∴∠P＝2∠P1．②由①得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，∴∠CAP2=12∠CAP，∠EBP2=12∠EBP，∴∠AP2B=12∠CAP+12∠EBP，=12（180°﹣∠DAP）+12（180°﹣∠FBP），＝180°−12（∠DAP+∠FBP），＝180°−12∠APB，＝180°−12β．题号12345678答案CDABCAAD