北师大版（2024）数学七年级下册第二章《相交线与平行线》单元测试卷（含答案）

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北师大版（2024）数学七年级下册第二章《相交线与平行线》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.若∠α＝70°，则∠α的余角的补角度数是（　　）A.130°　 B.160°　 C.30° D.20°2.如图，AB∥CD，若∠1＝140°，则∠C的度数是（　　）A.20°　　 B.30° C.40°　 D.50°3.如图所示是一跳远运动员跳入沙坑时的痕迹，则表示该运动员成绩的是（　　）A.线段AP1的长 B.线段BP1的长C.线段AP2的长 D.线段BP2的长4.如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCB的度数是（　　）A.55° B.70° C.60° D.35°5.如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（AM∥CN），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若∠MAB＝65°，∠NCB＝55°，则∠ABC＝（　　）A.110° B.115° C.120° D.125°6. 如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角.其中正确的是（　　）A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④7.下列说法中正确的有（　　）①从直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到直线的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③A，B，C三点（不重合）在同一直线上且AB＝BC，则B是线段AC的中点；④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.如图，以下说法错误的是（　　）A.若∠EAD＝∠B，则AD∥BCB.若∠EAD＋∠D＝180°，则AB∥CDC.若∠CAD＝∠BCA，则AD∥BCD.若∠D＝∠EAD，则AB∥CD9. 如图所示，若∠A=75∘ ，则要使EB//AC可添加的条件是（　　）A. ∠C=75∘ B. ∠ABE=75∘ C. ∠DBE=75∘ D. ∠EBC=105∘10.如图，已知AB∥DE，∠ABC＝150°，∠CDE＝70°，则∠BCD的度数为（　　）A.30° B.40° C.35° D.45°二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠2＝30°，∠3＝70°，则∠1的度数为 .12.如图，已知a∥b，点A在直线a上，AB⊥AC，∠1＝150°，则∠2的度数是 .13.如图，若AB∥DE，∠B＝15°，∠D＝120°，则∠1＝ .14.如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，则∠D＝ °15.如图是地球截面图，其中AB，CD分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线MD的延长线经过地心O），此时，太阳光线与地面水平线EF垂直，已知∠MDN＝23°26‘，则∠EDN的度数是 .三、解答题(一)(本大题共3小题,第16题6分,第17题7分,第18题8分,共21分)16. 如图，AB∥CD，∠α＝45°，∠D＝∠C，依次求出∠D，∠C，∠B的度数.17.已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E.18.已知：如图，EF⊥FG，垂足为F，且点F在直线CD上，FE与直线AB相交于点H，∠1＋∠2＝90°.求证：AB∥CD.（请完成下面的证明过程）证明：因为EF⊥FG（已知），所以∠EFG＝90°（垂直的定义），即∠EFD＋ ＝90°.又因为∠1＋∠2＝90°（已知），所以∠EFD＝ （ ），所以AB∥CD（ ）.四、解答题(二)(本大题共3小题,每小题9分,共27分)19.如图，CG∥AF，点B在CG上，CD⊥AB于点E，交AF于点D.若∠A＋∠FBG＝90°，求证：∠C＝∠F.20.如图，已知AB∥CD，OF是∠AOD 的平分线，过点O作OE⊥OF.（1）∠BOE的补角是 ，∠DOE的余角是 ；（2）若∠BOE∶∠AOF＝2∶1，求∠D的度数.21.如图，直线AB∥CD，连接AC，CE平分∠ACD交AB于点E，过点E作FE⊥AB交CD于点F.（1）试说明：CD⊥EF；（2）若∠A＝130°，求∠CEF的度数.五、解答题(三)(本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分)22. 如图1，已知AB//CD，∠B=30∘ ，∠D=120∘ .（1） 若∠E=60∘ ，求∠F的度数.（2） 请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由.（3） 如图2，已知EP平分 BEF，FG平分 EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数.23.【图形感知】如图1，AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点P为AB、CD之间一点.（1）如图2，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：∠BEP＋∠DFP＋∠EPF＝360°，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程.证明：如图2，过点P作PQ∥BE.因为AB∥CD，PQ∥BE（已知），所以AB∥PQ∥ （平行于同一条直线的两条直线平行），所以∠1＋∠BEP＝180°，∠2＋∠PFD＝180°（ ），所以∠1＋∠BEP＋∠2＋∠PFD＝360°（等式性质），所以∠BEP＋∠PFD＋∠EPF＝360°.（2）如图3，该基本图形称为“M型”（实线部分），仿照上面结论的推理思路可得∠AEP、∠CFP、∠EPF之间的关系是 ；【结论应用】直接利用上述结论进行证明：（3）如图4，直线a∥b，点A，C在直线a上，点B，D在直线b上，直线CE，BE分别平分∠ACD，∠ABD，且交于点E.猜想并证明∠CEB与∠AFD的数量关系；【拓展延伸】（4）如图5，已知AB∥CD，∠ABN与∠CDN两个角的平分线相交于点E.若∠ABM＝1n∠ABE，∠CDM＝1n∠CDE，设∠M＝m°，则∠N＝ °.（用含有n，m的代数式表示）北师大版（2024）数学七年级下册第二章《相交线与平行线》单元测试卷·教师版一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.若∠α＝70°，则∠α的余角的补角度数是（　B　）A.130°　 B.160°　 C.30° D.20°2.如图，AB∥CD，若∠1＝140°，则∠C的度数是（　C　）A.20°　　 B.30° C.40°　 D.50°3.如图所示是一跳远运动员跳入沙坑时的痕迹，则表示该运动员成绩的是（　B　）A.线段AP1的长 B.线段BP1的长C.线段AP2的长 D.线段BP2的长4.如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCB的度数是（　B　）A.55° B.70° C.60° D.35°5.如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（AM∥CN），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若∠MAB＝65°，∠NCB＝55°，则∠ABC＝（　C　）A.110° B.115° C.120° D.125°6. 如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角.其中正确的是( A )A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④7.下列说法中正确的有（　C　）①从直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到直线的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③A，B，C三点（不重合）在同一直线上且AB＝BC，则B是线段AC的中点；④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.如图，以下说法错误的是（　B　）A.若∠EAD＝∠B，则AD∥BCB.若∠EAD＋∠D＝180°，则AB∥CDC.若∠CAD＝∠BCA，则AD∥BCD.若∠D＝∠EAD，则AB∥CD9. 如图所示，若∠A=75∘ ，则要使EB//AC可添加的条件是( B )A. ∠C=75∘ B. ∠ABE=75∘ C. ∠DBE=75∘ D. ∠EBC=105∘10.如图，已知AB∥DE，∠ABC＝150°，∠CDE＝70°，则∠BCD的度数为（　B　）A.30° B.40° C.35° D.45°二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠2＝30°，∠3＝70°，则∠1的度数为　25°　.12.如图，已知a∥b，点A在直线a上，AB⊥AC，∠1＝150°，则∠2的度数是　60°　.13.如图，若AB∥DE，∠B＝15°，∠D＝120°，则∠1＝　75°　.14.如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，则∠D＝　100　°15.如图是地球截面图，其中AB，CD分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线MD的延长线经过地心O），此时，太阳光线与地面水平线EF垂直，已知∠MDN＝23°26‘，则∠EDN的度数是　66°34　’　.三、解答题(一)(本大题共3小题,第16题6分,第17题7分,第18题8分,共21分)16. 如图，AB∥CD，∠α＝45°，∠D＝∠C，依次求出∠D，∠C，∠B的度数.解：因为AB∥CD，所以∠D＝∠α，∠C＋∠B＝180°.因为∠α＝45°，所以∠D＝45°.因为∠D＝∠C，所以∠C＝45°.因为∠C＋∠B＝180°，所以∠B＝180°－∠C＝180°－45°＝135°.17.已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E.证明：因为∠1＝∠2，所以DE∥AC，所以∠3＝∠E.又因为AD∥BE，所以∠A＝∠3，所以∠A＝∠E.18.已知：如图，EF⊥FG，垂足为F，且点F在直线CD上，FE与直线AB相交于点H，∠1＋∠2＝90°.求证：AB∥CD.（请完成下面的证明过程）证明：因为EF⊥FG（已知），所以∠EFG＝90°（垂直的定义），即∠EFD＋　∠2　＝90°.又因为∠1＋∠2＝90°（已知），所以∠EFD＝　∠1　（　　同角的余角相等　　），所以AB∥CD（　　同位角相等，两直线平行　　）.四、解答题(二)(本大题共3小题,每小题9分,共27分)19.如图，CG∥AF，点B在CG上，CD⊥AB于点E，交AF于点D.若∠A＋∠FBG＝90°，求证：∠C＝∠F.证明：因为CD⊥AB，所以∠AED＝90°，所以∠A＋∠EDA＝90°.因为∠A＋∠FBG＝90°，所以∠EDA＝∠FBG.因为CG∥AF，所以∠C＝∠EDA，∠F＝∠FBG，因为∠EDA＝∠FBG，所以∠C＝∠F.20.如图，已知AB∥CD，OF是∠AOD 的平分线，过点O作OE⊥OF.（1）∠BOE的补角是　∠AOE　，∠DOE的余角是　∠DOF　；（2）若∠BOE∶∠AOF＝2∶1，求∠D的度数.解： （2）因为OE⊥OF，所以∠DOE＋∠DOF＝90°，所以∠BOE＋∠AOF＝90°.因为∠BOE∶∠AOF＝2∶1，所以设∠AOF＝x，则∠BOE＝2x，所以2x＋x＝90°，解得x＝30°.因为OF是∠AOD 的平分线，所以∠AOD＝2∠AOF＝2x＝60°.因为AB∥CD，所以∠D＝180°－∠AOD＝180°－60°＝120°.21.如图，直线AB∥CD，连接AC，CE平分∠ACD交AB于点E，过点E作FE⊥AB交CD于点F.（1）试说明：CD⊥EF；（1）证明：因为EF⊥AB，所以∠BEF＝90°.因为AB∥CD，所以∠CFE＝∠BEF＝90°，所以CD⊥EF.（2）若∠A＝130°，求∠CEF的度数.（2）解：因为AB∥CD，所以∠A＋∠ACD＝180°.因为∠A＝130°，所以∠ACD＝50°.因为CE平分∠ACD，所以∠ECF＝12∠ACD＝25°.因为∠CFE＝90°，所以∠CEF＝90°－25°＝65°.五、解答题(三)(本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分)22. 如图1，已知AB//CD，∠B=30∘ ，∠D=120∘ .（1） 若∠E=60∘ ，求∠F的度数.解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，则EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30∘ ， MEF= EFN.5AB//CD，AB//FN，4CD//FN，∴∠D+∠DFN=180∘ .又∵∠D=120∘ ，∴∠DFN=60∘ .∵∠BEF=∠MEF+30∘ ，∠EFD=∠EFN+60∘ ，∴∠EFD=∠MEF+60∘=∠BEF−30∘+60∘=60∘−30∘+60∘=90∘（2） 请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由.[答案]∠F=∠E+30∘ .理由：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，则EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30∘ ， MEF= EFN.5AB//CD，AB//FN，4CD//FN，∴∠D+∠DFN=180∘ .∵∠D=120∘ ，∴∠DFN=60∘ .∵∠BEF=∠MEF+30∘ ，∠EFD=∠EFN+60∘ ，∴∠EFD=∠MEF+60∘=∠BEF−30∘+60∘=∠BEF+30∘ ,即∠F=∠E+30∘ .（3） 如图2，已知EP平分 BEF，FG平分 EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数.[答案]如图2，过点F作FH//EP，由（2）知，∠EFD=∠BEF+30∘ .设∠BEF=2x∘ ，则∠EFD=2x+30∘ ，5EP平分 BEF，FG平分 EFD，∴∠PEF=12∠BEF=x∘ ，∠EFG=12∠EFD=x+15∘ .5FH//EP，∴∠PEF=∠EFH=x∘ ， P= HFG.∵∠HFG=∠EFG−∠EFH=15∘ ，∴∠P=15∘ .23.【图形感知】如图1，AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点P为AB、CD之间一点.（1）如图2，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：∠BEP＋∠DFP＋∠EPF＝360°，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程.证明：如图2，过点P作PQ∥BE.因为AB∥CD，PQ∥BE（已知），所以AB∥PQ∥　CD　（平行于同一条直线的两条直线平行），所以∠1＋∠BEP＝180°，∠2＋∠PFD＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　），所以∠1＋∠BEP＋∠2＋∠PFD＝360°（等式性质），所以∠BEP＋∠PFD＋∠EPF＝360°.（1）证明：如图2，过点P作PQ∥BE.因为AB∥CD，PQ∥BE（已知），所以AB∥PQ∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），所以∠1＋∠BEP＝180°，∠2＋∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），所以∠1＋∠BEP＋∠2＋∠PFD＝360°（等式性质），所以∠BEP＋∠PFD＋∠EPF＝360°.故答案为CD；两直线平行，同旁内角互补.（2）如图3，该基本图形称为“M型”（实线部分），仿照上面结论的推理思路可得∠AEP、∠CFP、∠EPF之间的关系是　∠EPF＝∠AEP＋∠CFP　；【结论应用】直接利用上述结论进行证明：（2）解：如图，过点P作PM∥AB.因为AB∥CD，所以AB∥CD∥PM，所以∠AEP＝∠MPE，∠CFP＝∠MPF，所以∠EPF＝∠MPE＋∠MPF＝∠AEP＋∠CFP，即∠EPF＝∠AEP＋∠CFP.故答案为∠EPF＝∠AEP＋∠CFP.（3）如图4，直线a∥b，点A，C在直线a上，点B，D在直线b上，直线CE，BE分别平分∠ACD，∠ABD，且交于点E.猜想并证明∠CEB与∠AFD的数量关系；（3）解：∠AFD＝2∠CEB，证明如下：由（2）得，∠CEB＝∠ACE＋∠DBE，∠AFD＝∠CFB＝∠ACF＋∠DBF，因为CE平分∠ACD，BE平分∠ABD，所以∠ACD＝2∠ACE，∠DBF＝2∠DBE，所以∠AFD＝2∠CEB.【拓展延伸】（4）如图5，已知AB∥CD，∠ABN与∠CDN两个角的平分线相交于点E.若∠ABM＝1n∠ABE，∠CDM＝1n∠CDE，设∠M＝m°，则∠N＝　（360－2mn）　°.（用含有n，m的代数式表示）（4）解：因为∠ABN与∠CDN两个角的平分线相交于点E，所以∠ABE＝12∠ABN，∠CDE＝12∠CDN.因为∠ABM＝1n∠ABE，∠CDM＝1n∠CDE，所以∠ABE＝n∠ABM，∠CDE＝n∠CDM，所以∠ABN＝2n∠ABM，∠CDN＝2n∠CDM.由（1）得，∠ABN＋∠N＋∠CDN＝360°，所以2n∠ABM＋2n∠CDM＋∠N＝360°，因为∠M＝∠ABM＋∠CDM，所以2n∠M＋∠N＝360°，因为∠M＝m°，所以∠N＝（360－2mn）°.故答案为（360－2mn）.