高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式课堂检测

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\l "_Tc30786" 【题型1 条件概率的计算】 PAGEREF _Tc30786 \h 1
\l "_Tc16231" 【题型2 条件概率性质的应用】 PAGEREF _Tc16231 \h 3
\l "_Tc14868" 【题型3 利用全概率公式求概率】 PAGEREF _Tc14868 \h 5
\l "_Tc15530" 【题型4 利用贝叶斯公式求概率】 PAGEREF _Tc15530 \h 7
\l "_Tc29766" 【题型5 条件概率与全概率公式的综合应用】 PAGEREF _Tc29766 \h 9
【知识点1 条件概率】
1．条件概率
(1)条件概率的定义
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(BA)=为事件A发生的条件下，事件
B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)性质
设P(A)>0，为样本空间，则
①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)；
③设和B互为对立事件，则P(A)=1-P(BA).
2．概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(BA).
【题型1 条件概率的计算】
【例1】（2023·全国·模拟预测）连续抛掷一枚质地均匀的骰子3次，观察向上的点数．在第1次出现奇数的条件下，3次出现的点数之积为偶数的概率为（ ）
A．12B．58C．34D．78
【解题思路】设第一次出现奇数为事件A，3次出现的点数之积为偶数为事件B，结合条件概率的计算公式，即可求解.
【解答过程】设第一次出现奇数为事件A，3次出现的点数之积为偶数为事件B，
则P(A)=36=12，P(AB)=(3×6×6−3×3×3)6×6×6=38，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=3812=34.
故选：C.
【变式1-1】（2023下·广东肇庆·高二校考期中）已知PA=0.5，PB=0.3，PB∩A=0.1，求PB|A=（ ）
A．110B．13C．15D．1
【解题思路】直接利用条件概率公式计算.
【解答过程】由题可得PB|A=PABPA=
故选：C.
【变式1-2】（2023上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“四名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则PA|B的值为（）
A．14B．34C．19D．29
【解题思路】由条件概率和独立事件的公式直接求解处理即可.
【解答过程】由题意得PB=3344=27256，P(AB)=A3344=6256，
故P(A|B)=P(AB)P(B)=6256×25627=29.
故选：D.
【变式1-3】（2023上·全国·高三专题练习）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A．事件A与B相互独立
B．事件A与C相互独立
C． PB|A=512
D． PC|A=512
【解题思路】按相互独立的定义可判断AB，用条件概率公式可判断CD.
【解答过程】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含C42A33=36（个）样本点，它们等可能，
事件A含有的样本点个数为A33+C32A22=12，
则PA=1236=13，
同理PB=PC=13，
事件AB含有的样本点个数为A22=2，则PAB=236=118，
事件AC含有的样本点个数为C22+C21C21=5，则PAC=536，
对于A， PAPB=19≠PAB，即事件A与B不相互独立，故A不正确；
对于B， PAPC=19≠PAC，即事件A与C不相互独立，故B不正确；
对于C，PB|A=PABPA=16，故C不正确；
对于D， PC|A=PACPA=512，故D正确．
故选：D.
【题型2 条件概率性质的应用】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知A，B分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列说法正确的是（ ）
A．PBA+PBA=P(A)
B．若PA+PB=1，则 A，B对立
C．若A，B独立，则PAB=P(A)
D．若A，B互斥，则PAB+PBA=1
【解题思路】利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行分析判断，即可得到答案；
【解答过程】对A，PBA+PBA=P(AB)+P(AB)P(A)=P(A)P(A)=1，故A错误；
对B，若A，B对立，则PA+PB=1，反之不成立，故B错误；
对C，根据独立事件定义，故C正确；
对D，若A，B互斥，则PAB+PBA=0，故D错误；
故选：C.
【变式2-1】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二校联考期中）已知PBA=13，PA=25，则PAB=（ ）
A．56B．910C．215D．13
【解题思路】由条件概率的计算公式求解即可.
【解答过程】由题意，知P(AB)=P(BA)P(A)=13×25=215.
故选：C.
【变式2-2】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且PA∪BC=12，PBC=112，PC=14，则PAC的值等于（ ）
A．16B．112C．14D．13
【解题思路】根据条件概率的公式，以及概率的加法公式，可得答案.
【解答过程】由题意，PBC=PBCPC=13，由A，B是互斥事件知，PA∪BC=PAC+PBC，
所以PAC=PA∪BC−PBC=12−13=16，
故选：A．
【变式2-3】（2023·高二课时练习）已知PB>0，A1A2=ϕ，则下列式子成立的是（ ）
①PA1B>0；
②PA1∪A2B=PA1B+PA2B；
③PA1A2B≠0；
④PA1A2B=1.
A．①②③④B．②C．②③D．②④
【解题思路】利用条件概率公式及概率性质辨析
【解答过程】①若A1B=ϕ则PA1B=PA1BPB=0，故PA1B≥0，故①错误；
②因为A1A2=ϕ所以(A1B)(A2Β)=ϕ PA1∪A2B=PA1∪A2BPB=PA1B∪A2BPB=PA1B+PA2BPB=PA1B+PA2B所以②正确；
③若A1B=ϕ或A2B=ϕ则PA1A2B=0故③错误；
④若A1B=ϕ或A2B=ϕ则PA1A2B=0故④错误.
故选：B.
【知识点2 全概率公式】
1．全概率公式及应用
(1)全概率公式
一般地，设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，
n，则对任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我们称此公式为全概率公式.
(2)全概率公式的意义
全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一
个划分Ω=∪∪∪，，，，两两互斥，将，，，看成是导致B发生的一组原
因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求
解.
2．贝叶斯公式
设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，n，则对
任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=.
贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下：
(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P()已知;
(2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知；
(3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；
(4)求解的目标是用A的某种情况的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P().
【题型3 利用全概率公式求概率】
【例3】（2023上·贵州·高三校联考阶段练习）在2023亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3分球投手，在比赛中，她3分球投中的概率为34，非3分球投中的概率为45，且她每次投球投3分球的概率为23，则该球员投一次球得分的概率为（ ）
A．34B．12C．2330D．1730
【解题思路】根据全概率公式即可求解.
【解答过程】设事件A为“该球员投球得分”，事件B为“该球员投中3分球得分”，
由全概率公式：PA=PBPAB+PBPAB=23×34+13×45=2330，
故选：C.
【变式3-1】（2023上·河南·高三统考阶段练习）2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为25和35．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为35；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为12．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（ ）
A．2350B．12C．25D．59
【解题思路】设出事件，根据条件概率公式得到PAB=625,PBC=310，结合全概率公式求出答案.
【解答过程】设小明第一天去甲影院为事件A，第二天去甲影院为事件B，小明第一天去乙影院为事件C，第二天去乙影院为事件D.
故PA=25,PC=35,PBA=35,PBC=12，
由PBA=PABPA=35,PBC=PBCPC=12可得PAB=625,PBC=310，
故PB=PAB+PCB=625+310=2750，
则小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为PCB=PBCPB=3102750=59.
故选：D.
【变式3-2】（2023下·河南商丘·高二校联考期末）现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（ ）

A．1115B．1130C．115D．215
【解题思路】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.
【解答过程】记事件A表示“球取自甲箱”，事件A表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，
则P(A)=P(A)=12,P(BA)=26=13,P(BA)=25，
由全概率公式得P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=12×13+12×25=1130．
故选：B．
【变式3-3】（2023下·福建泉州·高二校考期末）甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球，其中甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事件A1,A2和A3分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件B表示从乙袋中取出的球是红球，则P(B)=（ ）
A．1730B．35C．922D．411
【解题思路】由全概率公式可得.
【解答过程】易知PA1=25,PA2=25,PA3=15，
PB|A1=46,PB|A2=36,PB|A3=36，
所以P(B)=PA1PB|A1+PA2PB|A2+PA3PB|A3
=25×46+25×36+15×36=1730.
故选：A.
【题型4 利用贝叶斯公式求概率】
【例4】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为13和23，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为34，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为12，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（ ）．
A．37B．47C．15D．45
【解题思路】利用贝叶斯概率公式求解即可.
【解答过程】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B，
则本题所求PAB=PBA⋅PAPBA⋅PA+PBA⋅PA=13×3413×34+23×12=37．
故选：A．
【变式4-1】（2023上·江苏常州·高三校考开学考试）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)=0.95，P(A|C)=0.95.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即PC=0.005，则P(C|A)≈（ ）
A．0.087B．0.950C．0.050D．0.475
【解题思路】根据条件概率的性质及变式可求得P(A|C)，由已知可求得PC=0.995，根据贝叶斯公式可求得答案．
【解答过程】解：因为P(A|C)=0.95，所以P(A|C)=1−P(A|C)=0.05，
因为PC=0.005，所以PC=0.995，
所以由全概率公式可得PA=P(A|C)⋅PC+P(A|C)⋅PC，
因为PAC=P(C|A)PA=P(A|C)PC，
所以P(C|A)=P(A|C)PCP(A|C)PC+P(A|C)PC=0.95××0.005+0.05×0.995=19218．
所以P(C|A)=19218≈0.087．
故选：A.
【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为13，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（ ）
A．13B．23C．34D．14
【解题思路】利用全概率公式以及贝叶斯公式即可求解.
【解答过程】设A表示“考生答对”，B表示“考生知道正确答案”，
由全概率公式得PA=PBPAB+PBPAB=13×1+23×14=12.
又由贝叶斯公式得PBA=PBPABPA=13×112=23.
故选：B.
【变式4-3】（2023下·山东聊城·高二统考期末）托马斯·贝叶斯（ThmasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：PAiB=PAiPBAij=1nPAjPBAj，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中j=1nPAjPBAj称为B的全概率．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ）
A．37150B．975C．1837D．12
【解题思路】根据题意，先分析求解设从甲中取出2个球，其中白球的个数为i个的事件为Ai，事件Ai的概率为PAi，从乙中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B，事件B的概率为PB，再分别分析i=0,1,2三种情况求解即可
【解答过程】设从甲中取出2个球，其中白球的个数为i个的事件为Ai，事件Ai的概率为PAi，从乙中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B，事件B的概率为PB，由题意：
①PA0=C22C30C52=110，PB|A0=C22C40C62=115；
②PA1=C31C21C52=35，PB|A1=C32C30C62=15；
③PA2=C20C32C52=310，PB|A2=C42C20C62=25；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为PA2|B=PA2PB|A2PA0PB|A0+PA1PB|A1+PA2PB|A2 =310×25110×115+35×15+310×25=61+9+6=1837
故选：C.
【题型5 条件概率与全概率公式的综合应用】
【例5】（2023上·山东日照·高二日照一中校考阶段练习）如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件Ai（i=1，2，3）表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．
(1)求P(B)的值：
(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．
【解题思路】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件B属于全概率事件，分别计算出P(Ai)和P(B|Ai),i=1,2,3，代入全概率公式即得；
（2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率P(Ai|B),i=1,2,3，根据条件概率公式分别计算再比较即得.
【解答过程】（1）由已知得：P(A1)=P(A2)=P(A3)=13,P(B|A1)=14,P(B|A2)=12,P(B|A3)=1,而P(BA1)=P(B|A1)⋅P(A1)=14×13=112, P(BA2)=P(B|A2)⋅P(A2)=12×13=16, P(BA3)=P(B|A3)⋅P(A3)=1×13=13.
由全概率公式可得：P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=112+16+13=712.
（2）因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：A1B,其概率为P(A1|B)=P(A1B)P(B)=112712=17,
“小明取出的球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：A2B,其概率为P(A2|B)=P(A2B)P(B)=16712=27,
“小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：A3B,其概率为P(A3|B)=P(A3B)P(B)=13712=47.
综上，P(A3|B)最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大.
【变式5-1】（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为0.32，选择乙公司的频率为0.68：
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.
(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.
【解题思路】（1）利用全概率公式可计算出用户网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，即可得出结论；
（2）利用条件概率公式计算出该用户对甲、乙两个公司网约车舒适度满意率，比较大小后可得出结论.
【解答过程】（1）解：设事件M:用户选择甲公司的网约车出行，事件A:用户对等待时间满意，
事件B:用户对乘车舒适度满意，事件C:用户对乘车费用满意.
则PA=PMPAM+PMPAM=0.32×0.62+0.68×0.78=0.7288，
PB=PMPBM+PMPBM=0.32×0.68+0.68×0.61=0.6324，
PC=PMPCM+PMPCM=0.32×0.21+0.68×0.32=0.2848
所以，用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.
（2）解：由题知，PMB=PMBPB=0.32×，
PMB=PMBPB=0.68×，
所以，PMB