高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课后复习题

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\l "_Tc32003" 【题型1 分类加法计数原理的应用】 PAGEREF _Tc32003 \h 2
\l "_Tc21463" 【题型2 分步乘法计数原理的应用】 PAGEREF _Tc21463 \h 3
\l "_Tc27743" 【题型3 代数中的计数问题】 PAGEREF _Tc27743 \h 4
\l "_Tc4078" 【题型4 几何计数问题】 PAGEREF _Tc4078 \h 4
\l "_Tc20797" 【题型5 数字排列问题】 PAGEREF _Tc20797 \h 5
\l "_Tc28424" 【题型6 涂色问题】 PAGEREF _Tc28424 \h 5
\l "_Tc32626" 【题型7 两个计数原理的综合应用】 PAGEREF _Tc32626 \h 6
【知识点1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理】
1．分类加法计数原理
(1)分类加法计数原理的概念
完成一件事直两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，
那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
概念推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种
不同的方法，，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=+++种不同
的方法.
(2)分类加法计数原理的特点
分类加法计数原理又称分类计数原理或加法原理，其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事
情，我们可以用第一类有种方法，第二类有种方法，，第n类有种方法，来表示分类加法计数
原理，即强调每一类中的任一种方法都可以完成要做的事，因此一共有+++种不同方法可以完成
这件事.
(3)分类的原则
分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，
分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种
方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏.
2．分步乘法计数原理
(1)分步乘法计数原理的概念
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件
事共有N=m×n种不同的方法.
概念推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，，
做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=×××种不同的方法.
(2)分步乘法计数原理的特点
分步乘法计数原理的特点是在所有的各步之中，每一步都要使用一种方法才能完成要做的事，可以利
用图形来表示分步乘法计数原理，图中的“”强调要依次完成各个
步骤才能完成要做的事情，从而共有×××种不同的方法可以完成这件事.
(3)分步的原则
①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才
能完成这件事；
②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件
事就不可能完成；不能缺少步骤.
③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各
个步骤既不能重复也不能遗漏.
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析
(1)联系
分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题.
(2)区别
分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区
别如下表：
(3)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择
分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理；
分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理.
在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用.
【题型1 分类加法计数原理的应用】
【例1】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二校考期中）完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）
A．6种B．10种C．4种D．60种
【变式1-1】（2023下·黑龙江大庆·高二校考期中）完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有4种不同的方法，在第2类方案中有5种不同的方法，在第3类方案中有6种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法，其中N=（ ）
A．15B．6C．24D．120
【变式1-2】（2023下·重庆·高二校联考阶段练习）现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．10种B．12种C．20种D．36种
【变式1-3】（2023上·高二课时练习）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（ ）
A．18B．36
C．72D．48
【题型2 分步乘法计数原理的应用】
【例2】（2023上·湖南长沙·高二校联考阶段练习）用0､1､2､3､4这五个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．18B．24C．30D．48
【变式2-1】（2023上·山东·高二校联考阶段练习）甲同学计划从3本不同的文学书和4本不同的科学书中各选1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．81种B．64种C．12种D．7种
【变式2-2】（2023下·河南·高二校考期中）把3个不同的小球放入4个不同的盒子中，共有（ ）种方法.
A．81B．64C．12D．7
【变式2-3】（2023上·高二单元测试）某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生和女生各1名去参加座谈会，则不同的选法有（ ）
A．48种B．24种
C．14种D．12种
【知识点2 两个计数原理的综合应用】
1．两类计数问题的求解思路：
(1)“类中有步”计数问题：完成一件事有几类方案，每一类方案中分若干步，利用分步乘法计数原
理求出每一类方案中的方法数，再利用分类加法计数原理把各类方案的方法数相加，即可得出结果.
(2)“步中有类”计数问题：完成一件事的过程分成若干步，完成每一步的方法分成若干类，利用分
类加法计数原理求出完成每一步中的方法数，再利用分步乘法计数原理把每一步的方法数相乘，即可得出结果.
2．两个计数原理的综合应用
两个计数原理的综合应用主要包括四个方面：(1)实际问题中的计数问题；(2)代数中的计数问题；(3)几何计数问题；(4)涂色问题.
【题型3 代数中的计数问题】
【例3】（2023·全国·高二专题练习）如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6，24，2013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2 013，则n＝（ ）
A．50B．51C．52D．53
【变式3-1】（2023下·重庆·高二统考期末）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读.比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天，由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数n′与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142.则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（ ）
A．900个B．891个C．810个D．648个
【变式3-2】（2023·全国·高二专题练习）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（ ）
A．64B．56C．53D．51
【变式3-3】（2023·全国·高二专题练习）对于自然数n作竖式运算n+(n+1)+(n+2)时不进位，那么称n是“良数”，如32是“良数”，由于计算32+33+34时不进位，23是“良数”，由于计算23+24+25时要进位，那么小于1000的“良数”有
A．36个B．39个C．48个D．64个
【题型4 几何计数问题】
【例4】（2023·全国·高二专题练习）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）.
A．20种B．16种C．12种D．8种
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
A．48B．18C．24D．36
【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）
A．105种B．225种C．315种D．420种
【变式4-3】（2023·全国·高二专题练习）在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A．95B．91C．88D．75
【题型5 数字排列问题】
【例5】（2023下·江苏扬州·高二统考期中）用1，2，3，4四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（ ）
A．6个B．18个C．24个D．12个
【变式5-1】（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）
A．42个B．48个C．54个D．120个
【变式5-2】（2023下·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）自然数n是一个三位数，其十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把n叫做“集中数”.那么，大于600的“集中数”的个数是（ ）
A．30B．31C．32D．33
【变式5-3】（2023下·天津武清·高二校考期中）如果自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．那么数字0，1，2，3一共可以组成“集中数”个数有（ ）
A．20B．21C．25D．26
【题型6 涂色问题】
【例6】（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A．240B．360C．480D．600
【变式6-1】（2023上·高二课时练习）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色．如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法数为（ ）

A．240B．300
C．420D．480
【变式6-2】（2023上·江西南昌·高三校考阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（ ）种不同的方法.

A．120B．360C．420D．480
【变式6-3】（2023下·江西·高三统考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）

A．1050种B．1260种C．1302种D．1512种
【题型7 两个计数原理的综合应用】
【例7】（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）口袋中装有8个白球和10个红球每个球有不同编号，现从中取出2个球．
(1)至少有一个白球的取法有多少种？
(2)两球的颜色相同的取法有多少种？
【变式7-1】（2023上·高二课时练习）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．那么，从甲地到丁地，如果每条路至多走一次，且每个地点至多经过一次，有多少种不同的走法？

【变式7-2】（2023上·高二课时练习）某校数学课外活动小组有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人．
(1)选其中1人为总负责人，有多少种不同的选法？
(2)每一年级各选1名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选出其中2人去外校参观学习，要求这2人来自不同年级，有多少种不同的选法？
【变式7-3】（2023下·陕西西安·高二校考期中）用0、1、2、3、4、5这六个数字.
(1)可以组成多少个数字不重复的三位数；
(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数；
(3)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数.
区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
①
针对的是“分类”问题
针对的是“分步”问题
②
各种方法相互独立
各个步骤中的方法互相依存
③
用其中任何一种方法都可以完成这件事
只有各个步骤都完成才算完成这件事