山西省吕梁市交城县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)

这是一份山西省吕梁市交城县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数 学
(满分120分，考试时间120分钟)
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1. 比大5的数是（ ）
A. B. C. 2D. 8
答案：C
解：，
比大5的数是，
故选：C．
2. 年1月日，国家统计局公布了年中国经济运行数据．初步核算，全年国内生产总值（）万亿元，比上年增长，远远超过全球的平均增速．数据万亿用科学记数法表示为
A. B.
C. D.
答案：D
解：万亿，
万亿用科学记数法表示为．
故选：．
3. 从下图中裁掉一个正方形后，剩余部分恰好是正方体的表面展开图，则裁剪错误的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
答案：A
解：裁剪甲，如图所示：
不能还原成正方体，不是正方体的侧面展开图，符合题意；
裁剪乙，如图所示：
展开图能还原成正方体，是正方体的侧面展开图，不符合题意；
裁剪丙，如图所示：
展开图能还原成正方体，是正方体的侧面展开图，不符合题意；
裁剪丁，如图所示：
展开图能还原成正方体，是正方体的侧面展开图，不符合题意；
故选：A．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A B.
C. D.
答案：C
解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故选C．
5. 如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：弦，，
，
．
故选：．
6. 某建筑队计划修筑2600米的围墙，由于投入新设备，每天的施工效率比原计划提高了30%，按这样的进度将比原计划提前6天完成．设原计划每天修筑米，根据题意列方程得（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解：由已知可得原计划修筑的天数为，实际修筑天数为，
故选B．
7. 农科院的研究员种植了甲、乙两块玉米试验田，为了解试验田中玉米的长势情况，研究员分别从两块试验田中随机抽取了株玉米测量其高度（单位：），具体数据统计如下：
根据测量数据，长势比较整体的是（ ）
A. 甲试验田B. 乙试验田C. 两块试验田一样D. 无法判断
答案：A
解：∵甲试验田和乙试验田株玉米高度的平均数都为：，
∴甲试验田玉米高度的方差为：
乙试验田玉米高度的方差为：
∵，
∴长势比较整体的是甲试验田．
故选：A．
8. 青苗小组的同学在探究的结果时，发现可以进行如下操作：如图，将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；……由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了（ ）
A. 方程思想B. 分类讨论思想C. 模型思想D. 数形结合思想
答案：D
将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；……由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了数形结合思想．
9. 如图，在平面直角坐标系中有四个点，分别代表阻值不同的甲、乙、丙、丁四个电阻通过不同电流时的情况，其中甲、丙两个电阻对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个电阻中两端的电压最大的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
答案：D
解：根据题意，阻值与电流满足反比例关系，设电阻、电流与电压函数表达式为，
甲、丙两点均在反比例函数图象上，，
甲、丙两个电阻两端的电压值相等，均为，
过乙、丁作轴平行线交反比例函数图象于两点，如图所示：
不变时，；不变时，；
在反比例函数图象上，由知，
；，即四个电阻中两端的电压：丁甲丙乙，
这四个电阻中两端的电压最大的是丁，
故选：D．
10. 如图，将放置在平面直角坐标系中，，点A在轴的负半轴上，已知，，将绕着点O顺时针旋转得到，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
在中，，
．
由旋转的性质可得，，，
过点作于点，
∵
∴，
在中，，
，
∴点的坐标为．
故选B．
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
11. 分解因式：_____．
答案：
解：
，
故答案为：．
12. 不等式组的解集是_________________．
答案：
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
13. 如图，在菱形中，，，于点，对角线交于点，则的长为______________．
答案：##
四边形是菱形，
，
，
，
，
，，
．
14. 为了对学生进行消防安全教育，传播消防安全知识，某校计划将以下四张海报随机张贴在两个教室，每个教室张贴两张海报，则①③两张海报张贴在同一教室内的概率为_________________．
答案：
解：设有两间教室，将四张海报随机张贴在两个教室，每个教室张贴两张海报的情况有：
由表可知，将四张海报随机张贴在两个教室，每个教室张贴两张海报的情况有6种，其中，①③两张海报张贴在同一教室内的情况有两种，
①③两张海报张贴在同一教室内的概率为，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，连接对角线，是的平分线，过点作于点，交于点，交于点，则的长为_______________．
答案：
∵四边形矩形，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴．
∵是的平分线，
，
，
∴
．
，
∴
∴
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)
16. （1）计算：；
（2）解方程组：．
答案：（1）（2）
（1）解：原式=
=
=
（2）解：原方程可变形为
整理得
由②得：③
把③代入①得：
解得：
把代入③得
∴原方程组得解为
17. 先化简，再求值：，其中
答案：，
解：
=
=
=
=
=
=
=
当时，
原式==
18. 某校开展了一次消防知识竞赛（百分制）．七、八年级各有50名学生参赛，对他们的成绩进行整理、描述和分析．将成绩（单位：分）分为五组：一组；二组；三组；四组；五组．
部分信息如下：
①七年级二组的学生人数占七年级参赛人数的．
八年级三组中最低的10个成绩分别为：70，71，71，72，72，73，74，74，75，75．
②七、八年级成绩统计图如下：

③七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ．
（2）请补全条形统计图；
（3）这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为73分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前，可知甲是 （填“七”或“八”）年级的学生；
（4）综合上表中的统计量，在此次竞赛中，哪个年级的学生对消防知识掌握得更好？请说明理由．
答案：（1），
（2）见解析 （3）七
（4）八年级的学生掌握的更好．因为，七、八年级的学生成绩平均数一样，而八年级的学生成绩的中位数和众数更高，所以，八年级的学生掌握的更好
【小问1详解】
解：，
八年级一组人，二组人，三组人，四组人，五组人，
将八年级50人成绩从小到大排列，第25、26个数据分别为74、74，
∴八年级成绩的中位数．
故答案为：，；
【小问2详解】
七年级二组的学生人数为人，
五组的学生人数为人，
所以，可补画条形统计图如下：
【小问3详解】
这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为73分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前，
根据八年级成绩的中位数为74，故73分在年级中排名在第26名之后，
而七年级成绩的中位数为71，故73分在年级中排名在第25名之前，
可知甲是七年级的学生．
故答案为：七；
【小问4详解】
八年级的学生掌握的更好．因为，七、八年级的学生成绩平均数一样，而八年级的学生成绩的中位数和众数更高，所以，八年级的学生掌握的更好．
19. 某文化旅游公司推出“亲近大自然野外宿营”活动，票价为360元/人．周末期间有如下两种优惠方案：
方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费270元），所有人都按半价优惠；
方案二：所有人都按六五折优惠．
设小明所在的团队有人，在周末期间参加该活动，购票总花费为元．
（1）分别写出这两种方案中关于的函数关系式；
（2）这两种方案中关于的函数图象如图所示，请求出点的坐标，并说明点所表示的实际意义；
（3）当方案一比方案二更优惠时，请直接写出的取值范围．
答案：（1），
（2）
（3）
【小问1详解】
解：方案一：，则
方案二：，则；
【小问2详解】
解：令代入中，得，
∴，
联立方程组的，解得，
∴，
点的实际意义为：当小明的团队有5人时，方案一和方案二一样优惠，都需要花费1170元；
【小问3详解】
解：由（1）中解析式可知，方案二图象过原点，如图所示：
两条直线的交点，在直线的右侧，的图象都在的图象上方，即方案一比方案二更优惠，
．
20. 交城县教育局为了丰富春节期间群众的文化生活，营造节日喜庆氛围，宣传教育新形象，特在卦山公园举办花灯展，并在公园的门口搭建了一座门楼（如图）．某校“综合与实践”活动小组的同学们为了测量门楼的高度，设计了如下方案：
请你结合以上数据，帮助该小组的同学求出门楼的高度．（结果精确到米．参考数据：）
答案：米
解：如下图，延长，交于点，
由题意可知，，，，
在中，，
∴，
∴，
设米，则米，
∵米，
∴米，
在中，可有，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴米．
21. 阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务．
圆内接正三角形的有趣结论
我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论.
如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程：
以点为顶点，作，交于点D，
在等边三角形中，，，
（依据），
，
是等边三角形，
，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴
任务：
（1）小宇的日记中的“依据”是 ，
（2）如图，若，，则线段的长度是 ，
（3）如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由．
答案：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
（2）
（3）
【小问1详解】
在等边三角形中，，，
（在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等），
故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
【小问2详解】
过点作于点，
在中，
∴，，
∴，
，
在中，
，
，
，．
，
由题可知，
．
【小问3详解】

连接，过点作交于点
∵正方形内接于
，，
是等腰直角三角形
∴，
即
．
22. 综合与实践
问题初探：
如图1，四边形是正方形，点E，F分别是边上的动点，若点E运动到的中点处，点F运动到的中点处，连接、．
（1）请写出与的数量和位置关系_______________________；
猜想证明：
（2）如图2，在点E，F运动过程中，若，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图1的基础上，连接AG，得到图3，求证：．
答案：（1），
（2）成立，理由见解析
（3）见解析
【小问1详解】
∵四边形是正方形
，

在和中
故答案为：，
【小问2详解】
成立
证明：∵四边形是正方形
，
即
在和中
【小问3详解】
证明：延长和交于点，
点是的中点，
∴
在和中
在中
．
23. 综合与探究
如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上的一动点．

（1）求抛物线的顶点的坐标和直线的解析式；
（2）如图，连接交于点，若，求此时点的坐标；
（3）如图，直线与抛物线交于，两点，过顶点作轴，交直线于点．若点是抛物线上一动点，试探究在直线上是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：（1），
（2）点的坐标的或
（3）存在，点的坐标为或或或
【小问1详解】
解：
，
∴，
当时，得：，
解得：，，
∴，，
当时，得：，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴抛物线的顶点的坐标为和直线的解析式为；
【小问2详解】
过点作轴于点，交于点，过点作轴交于点，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，，
∴点的坐标的或；
【小问3详解】
∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于，两点，
∴，
解得：，，
∴，
设在直线上存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，设，，
①若为平行四边形的对角线，则：
，得：，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，（舍去），
此时点的坐标为；
②若为平行四边形的边，
∴，
∵轴，
∴轴，
则：，得：，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，（舍去），
此时点的坐标为；
③若为平行四边形的边，
∴，
∵轴，
∴轴，
则：，得：，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，，
此时点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
试验田
第一株
第二株
第三株
第四株
第五株
第六株
第七株
平均数
甲
乙
种类
1
①②
③④
2
①③
②④
3
①④
②③
4
②③
①④
5
②④
①③
6
③④
①②
年级
平均数
中位数
众数
七
70
71
76
八
70
79
课题
测量门楼的高度
测量工具
无人机
测量示意图
说明：表示门楼，点表示门楼的顶部，点表示门楼的底部．点，为无人机两次测量的位置，米，点，在同一水平直线上，点，，，均在同一竖直平面内，与水平面垂直．
测量数据
从处观测处的俯角
从处观测处的俯角
从处观测处的俯角
……
……