上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

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时间: 120分钟 满分: 150分
注：请将试题的解答全部写在答题纸的相应位置，写在试卷上无效.
一、填空题(本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分) 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 函数 y=lg22x−13−x的定义域为 .
【答案】
x+1x6的展开式中常数项的值为 .
【答案】20
已知i为虚数单位, 复数满足(1-3i)·z=|3+4i|, 则复数的虚部为 .
【答案】
已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为 且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积为 .
【答案】
已知样本数据的平均数是2, 方差是1, 则的平均数是 .
【答案】5
设斜率为3的直线是曲线的切线，则直线的方程为 .
【答案】
若椭圆 x2a2+y23=1 ????? ????????.????3 \∗ ??????????? 的焦距是2，则其离心率为 .
【答案】
若直线 xa+yb=1 ????? ????????.????3 \∗ ??????????? 经过点(1，2)，则直线在轴和轴上的截距之和取最小值时， ab= .
【答案】
在平面四边形ABCD中, E、 F分别是AD、 BC的中点.若AB=2,CD=3, 且 EF⋅AB=4,则 |EF|= .
【答案】
10. 函数是定义在(-4,4)上的偶函数, 其图像如左下图所示, 满足设. y'=f'x是的导函数, 则关于的不等式≥0的解集是 .
【答案】
如右上图，B地在A地的正东方向，相距4km； C地在B地的北偏东30°方向，相距2km，河流沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比它到 B的距离远 2km，现要在曲线 PQ上选一处 M建一座码头，向B、C两地转运货物. 经测算，从M到B地修建公路费用是25万元/ km，从M到C地修建公路的费用为 50 万元/ km. 选择合适的点 M，可使修建的两条公路总费用最低，则总费用最低是 万元.
【答案】125（可用双曲线第二定义来解释或者几何方法均可以）
12. 一个项数为6的正整数数列满足 a₁=3,且 aₖ₊₁≥aₖ1≤k≤5k∈N,若为不大于 10的偶数，则符合条件的数列共有 个.
【答案】5
二、选择题(本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分)每题有且只有一个正确选项. 考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑.
13. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 ( )
A. 是相互独立事件，不是互斥事件 B. 是互斥事件，不是相互独立事件
C. 既是相互独立事件又是互斥事件 D. 既不是互斥事件也不是相互独立事件
【答案】
14. 如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是 ( )
A. AC⊥BD
B. AB与平面BCD所成角为60°
C. △ADC为等边三角形
D. 二面角A-BC--D的平面角的正切值是 2
【答案】
15. 设集合P={-1,1}, Q={}, 函数fx=aˣ+λa⁻ˣ ，下列四个命题：
① 对任意λ∈P, 存在a∈Q, 使得y=f(x)是增函数;
② 存在λ∈P, 对任意a∈Q, y=f(x)是减函数;
⑧ 对任意λ∈P, 存在a∈Q, 使得y=f(x)是奇函数;
④ 存在λ∈P, 对任意a∈Q, y=f(x)是偶函数.
其中真命题的个数是 ( )
1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】
16. 已知 M={xy|y=tx²+1−tx,1≤x≤2, 0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集. 设是M中两点间距离的最大值，S是M中所有点构成的图形的面积，则 ( )
A. d=3, S<1 B. d=3, S>1
C.d=10,S<1 D.d=10,S>1
【答案】
三、解答题(本大题共5题，满分78分) 解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
在等差数列中，已知 a₁+a₂=10 , a₃+a₄+a₅=30.
(1) 求数列的通项公式;
(2) 若数列 {aₙ+bₙ}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和.
【解析】
(1) 设等差数列 an 的公差为 d,
由 a1+a2=10a3+a4+a5=30, 得 2a1+d=10a1+3d=10, 解得
a1=4d=2
所以 an=4+2(n−1)=2n+2n∈N∗;
(2) 由 (1) 可知 (2n+2)+bn=3n−1, 则
bn=3n−1−(2n+2),
所以
Sn=30+31+…+3n−1− (4+6+8+…+2n+2)=1−3n1−3−n2 (4+2n+2)=3n−12−n2−3n
18. (本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)
如图，在三棱锥 D−ABC中， ∠DAC=∠BAC=60°,AC=1,AB=2,AD=3,
(1) 求 AC⋅BD, 并说明异面直线AC与BD所成的角θ的大小在棱BD长度增大时是怎样变化的；
(2) 判断点D在平面ABC上的射影是否可能在直线BC上，给出你的结论并加以证明.
【解析】(1) 异面直线 AC 与 BD 所成角为 θ,
AC⋅BD=AC⋅(AD−AB)=AC⋅AD−AC⋅AB
AC⋅AD=|AC|⋅|AD|cs⁡⟨AC,AD⟩=1×3×12=32 ,AC⋅AB=|AC|⋅|AB|cs⁡⟨AC,AB⟩=1×2×12=1
∴AC⋅BD=AC⋅AD−AC⋅AB=32−1 =12
∵AC⋅BD=|AC|∙|BD|cs⁡θ,AC=1,
∴cs⁡θ=12|BD|, 因为 θ∈[0,π],y=cs⁡θ 在 [0,π]
上单调递减, 所以随 BD 长度增大, cs⁡θ 减少, 故 θ 增大;
(2)不可能.
证明：假设点 D 在平面 ABC 上的射影在 BC 上,则平面 ABC⊥ 平面 DBC, 平面 ABC∩ 平面 DBC=BC,AC⊥BC,AC⊂ 平面 ABC,AC⊥ 平面 DBC, 则有 AC⊥BD,
从而有 AC⋅BD=0, 这与 AC∙BD=12 矛盾,所以点 D 在平面 ABC 上的射影不可能在 BC 上.
19. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为2.4米，车厢的左侧直线CD与双车道的分界线相交于E、 F，记∠DAE=θ.
(1) 若大卡车在转弯的某一刻，恰好 θ=π6,且A、B也都在双车道的分界线上，直线CD也恰好过路口边界O，求大卡车的车长AB；
(2) 为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线. 求此大卡车的车长AB的最大值.
【解析】
(1) 如图 所示, 作 EM⊥OM, 垂足为 M, 作 FN⊥ON, 垂足为 N,
因为 ∠DAE=π6, 所以 ∠MEO=∠NOF =∠BFC=π6, 在=435
在 Rt △BCF 中, CF=2.4tan⁡π6=1235
在 Rt △OME 中, OE=4cs⁡π6=833, 在 Rt △ONF 中, OF=4sin⁡π6=8
所以 CD=OE+OF−ED−CF=833+8−435−1235= 8−8315 米.
(2) 因为 ∠DAE=θ, 所以 OE=4cs⁡θ,OF=4sin⁡θ,ED=2. 4tan⁡θ,CF=2.4tan⁡θ,
所以 AB=CD=OE+OF−ED−CF=4cs⁡θ+4sin⁡θ−2. 4tan⁡θ− 2.4tan⁡θ=4sin⁡θ+4cs⁡θ−2.4sin2⁡θ−2.4cs2⁡θsin⁡θcs⁡θ= 4(sin⁡θ+cs⁡θ)−2.4sin⁡θcs⁡θ0<θ<π2,
令 sin⁡θ+cs⁡θ=t, 则 t=2sin⁡θ+π4,
因为 0<θ<π2, 所以 θ+π4∈π4,3π4,
所以 1所以 AB=4t−2.4t2−12=8t−35t2−1(1设 k=t−3525所以 AB=8kk+352−1=8k−1625k+65,
易知 g(k)=k−1625k+65 在 25,2−35 上单调递增, 且 g(k)>0,
所以 AB=8kk+352−1=8k−1625k+65 在 25,2−35 上单调递减,
所以当 k=2−35, 即 t=2 时, AB 取得最小值 82−245。所以最终符合条件的大卡车车长最大值为（82−245）米
20. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线C: y²=4x的焦点为F，点 AxAyA是抛物线C上的一点.
(1) 若 |AF|=4,求点A的坐标；
(2) 已知T(t，0)是x轴上的点，若线段AT的最小值为4，求实数t的值；
(3) 如图, 已知 yA=2,点M、N在抛物线C上，满足 AM⊥AN,作 AD⊥MN，D为垂足. 问：是否存在定点Q，使得|DQ|为定值? 若存在，求出点Q坐标以及|DQ|的值； 若不存在，说明理由.
【解析】
由抛物线的性质可知，。A到焦点F的距离等于到准线的距离
所以，带入抛物线y²=4x，
(3)设 Mx1,y1,Nx2,y2,A(1,2),
∴AM=x1−1,y1−2,AN=(x2−1,y2−2
又 AM⊥AN,
∴x1−1x2−1+y1−2y2−2=x1x2−x1+x2+y1y2−2y1+y2+5=0 令直线 MN:x=ty+n, 联立 C:y2=4x,整理得 y2−4ty−4n=0 ，且
Δ=16t2+16n>0 ∴y1+y2=4t,y1y2=−4n
则
x1+x2=ty1+y2+2n=4t2+2n, x1x2=t2y1y2+tn⁡y1+y2+n2=n2
代入(1)式得:
n2−4t2−2n−4n−8t+5=(n+2t−1) (n−2t−5)=0
当 n=1−2t 时, lMN:x=t(y−2)+1 过定点 B(1,2)与A重合,不符;
当 n=5+2t 时， lMN:x=t(y+2)+5 过定点 (5,−2).
∴ 直线 MN 过定点 B(5,−2),
又 AD⊥MN, 故 D 在以 AB 为直径的圆上,
而 AB 中点为 Q(3,0), 即 |DQ|=|AB|2=22为定值.
21. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
已知定义域均为D的函数 y=fx , y=gx, S是R的非空子集. 若对任意 x₁,x₂∈D, 当 x₁−x₂∈S时，总有 fx₁−gx₂∈S,则称 y=fx是 y=gx的一个“S关联函数”.
(1) 求 y=2ˣ 的所有{1}关联函数；
(2) 若 y=x2−lnx+mx 是其自身的一个(0，+∞)关联函数，求实数m的取值范围；
(3) 对定义在R上的函数y=g(x), 证明: “gx=g0+x对一切x∈R恒成立”是“存在函数. y=fx,使得对任意正整数n, y=f(x)是y=g(x)的一个 1n+11n关联函数”的充要条件.
【解析】
由题意可知，
略略略